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高中数学复习 任意角和弧度制及任意角的三角函数人教版必修4


任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一

个位置所成的图形.旋转开始时的射线OA叫做角的始边
,旋转终止时的射线OB叫做角的终边,按逆时针方向旋 转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角.若一条射线没作任何旋转,称它形成了一个零角 .
<

br /> 2.象限角 把角置于直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的

始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限
,我们就说这个角是第几象限角.

象限角 第一象限 角 第二象限 角

象限角α的集合表示 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z} {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}

第三象限 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z} 角

第四象限 角

{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}

3.象限界角(即轴线角)
角α终边位置 在x轴非负半轴上 在x轴非正半轴上 在y轴非负半轴上 在y轴非正半轴上 在x轴上 角α的集合 {α|α=k·360°,k∈Z} {α|α=k·360°+180°,k∈Z} {α|α=k·360°+90°,k∈Z} {α|α=k·360°-90°,k∈Z} {α|α=k·180°,k∈Z}

在y轴上

{α|α=k·180°+90°,k∈Z}

注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何 一个象限,即为象限界角(或轴线角).

4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k·360°,k∈Z}或S={β|β=α+2kπ,k∈Z}, 前者α用角度制表示,后者α用弧度制表示.

注意:(1)终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定 相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍. (2)一般地,终边相同的角或通式表达形式不唯一,如α= k·180°+90°(k∈Z)与β=k·180°-90°(k∈Z)都表示 终边在y轴上的所有角. (3)应注意整数k为奇数、偶数的讨论.

5.弧度制 (1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角.以弧

度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制,它的单位符
号是rad,读作弧度. (2)一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个 负数,零角的弧度数是0.

6.度与弧度的换算关系 1 ∵周角的 为1度的角 360 1 1 即 周角=1°, 周角=1rad 2? 360 ∴360°=2πrad ? ∴180°=πrad,1°= rad,1rad= 180 ? 180 ? °≈57°18′.
? ? ? ? ?

7.扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为圆心角 弧长l=αR,即弧长等于该弧所对的圆心角的弧度数乘以半

径.扇形面积S= 1 l·R= 1 α·R2.
2 2

8.在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么


(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)y,x叫做α的正切,记作tanα,即tanα=
y (x≠0). x

9.利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数 设直角坐标系中任意大小的角α终边上任意一点的坐标为(x

,y),它与原点的距离是r(r>0),那么任意角的三角函数
的定义:

注意:要特别注意三角函数的定义域.

10.各象限角的三角函数值和符号如图所示

三角函数正值口诀:Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余 弦.

11.终边相同的角的同一三角函数的值相等,即 sin(α+k·2π)=sinα

cos(α+k·2π)=cosα (其中k∈Z)
tan(α+k·2π)=tanα

12.三角函数线 图中有向线段MP,OM,AT分别表示正弦线、余弦线和正

切线.

注意:当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成 一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边

与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时
角α的正切值不存在.

考点陪练

1.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的 角},下列四个命题:①A=B=C,②A?C,③C?A,④

A∩C=B,其中正确命题的个数为(
A.0 C.2 答案:A B.1 D.3

)

2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是(

)

A. C.

?
3

B. ? D. ?

?
3

?
6

?
6

答案:B

3? 3.若扇形的面积为 , 半径为1, 则扇形的圆心角?为? 8 3? 3? A. B. 2 4 3? 3? C. D. 8 16
答案:B

?

4.有下列命题: (1)终边相同的角的同名三角函数的值相等;

(2)终边不同的角的同名三角函数的值不等;
(3)若sinα>0,则α是第一?二象限的角; (4)若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cosα=

?x x2 ? y 2

.

其中正确的命题的个数是( A.1个 B.2个

)

C.3个

D.4个

解析:根据任意角三角函数的定义知(1)正确; ? 2? sin ? sin ; 对(2),我们可举出反例 3 3 ? 对(3),可指出 sin ? 0,但? 不是第一?二象限的角;
2

对(4),因为α是第二象限的角,已有x<0,应是cosα= 答案:A

2

. x ? y2
2

x

5.若sinα<0且tanα>0,则α是( A.第一象限角

)

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

解析:∵sinα<0,∴α是第三?四象限的角或角的终边在y轴负 半轴上.又∵tanα>0,∴α是第一?三象限的角. ∴α是第三象限的角. 答案:C

类型一

角的集合表示

解题准备:(1)任意角β都可以表示成

β=α+k?360°(0°≤α<360°,k∈Z).
(2)并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时, 它就不属于任何象限. (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相 同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.

(4)注意“第一象限角”?“锐角”?“小于90°的角”是范
围不同的三类角,需加以区别.

【典例1】 (1)如果α是第三象限角,那么-α,2α的终边落在何 处?

(2)写出终边在直线 y ? 3x
(3)若角θ的终边与

上的角的集合;
角的终边相同,求在[0,2π)内终边

[分析] 利用终边相同的角的集合进行求解.

? 与 角的终边相同的角. 3

6? 7

[解] (1)由α是第三象限角得 3? π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z) 2 3? ?? -2kπ<-α<-π-2kπ(k∈Z).
2



? +2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z). 2

∴-α的终边在第二象限; 3? 由π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z) 2 得2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z). ∴角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.

(2)在(0,π)内终边在直线

? y ? 3x 上的角是 , 3

∴终边在直线 y ? 3x 上的角的集合为 ? +kπ,k∈Z}. {α|α= 3 ? 2? 2k? 6? +2kπ(k∈Z),∴ ? ? (3)∵θ= (k∈Z). 3 7 3 7

2? 2k? 3 18 依题意0≤ ? ? 2? (k ? Z) ? ≤k ? (k ? Z). 7 3 7 7
? k ? 0,1, 2, 即在[0, 2? )内终边与 角的终边相同的角为 3 2? 20? 34? , , . 7 21 21

?

[反思感悟] (1)利用终边相同的角的集合 S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把

这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍,然后判
断角α所在的象限. (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法 是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过 对集合中的参数k赋值来求得所需角.

类型二

扇形弧长,面积公式应用

解题准备:设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(弧度),半径为r,则 1 1 l=|α|?r;S扇形= lr ? |α|r2. 2 2 注意:这里给出的弧长?扇形面积公式是在弧度制下的,使用时 切记将圆心角用弧度来表示.

【典例2】 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径为r. (1)若α=60°,r=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;

(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形
有最大面积?

[解] ?1? 设弧长为l,弓形面积为S弓,?? ? 60? ?

?
3

, r ? 10,

10 1 10 1 ? 2 ? l ? ? ? cm ? ,S弓 ? S扇 ? S? ? ? ? ?10 ? ?10 ? sin 3 2 3 2 3 ?? 3? ? 50 ? ? cm2 ? . ? 3 2 ?? ? ? ?

c ? 2 ? 解法一 :? 扇形周长c ? 2r ? l ? 2r ? ? r.? r ? 2 ?? 1 1 ? c ? c2 1 2 ? S扇 ? ? ?r ? ? ? ? ? ?? 2 2 ? 2 ?? ? 2 4 ? 4? ? ? 2 c2 1 c2 ? ? ≤ , 2 4 ? ? ? 4 16
2

?

?当且仅当? ?

4

?

, 即? ? 2(? ? ?2舍去)时, 扇形面积有最大值.

c?l 解法二 :由已知2r ? l ? c,? r ? (l ? c), 2 1 1 c ?l 1 ? S ? rl ? ? ? (cl ? l 2 ) l 2 2 2 4 1 ? c ? c2 ? ? ?l ? ? ? , 4 ? 2 ? 16 c c2 l ?当l ? 时,Smax ? , 此时? ? ? ? 2. 2 16 r c? c 2 2
∴当扇形圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值.
2

c 2

类型三

三角函数的定义

解题准备:(1)任意角的三角函数值,只与角的终边位置有关,而

与终边上的点的位置无关;(2)当点P的坐标中含字母时,表
达r时要注意分类讨论思想的应用.

【典例3】 已知α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα? cosα?tanα的值.

[分析] 根据任意角三角函数的定义,应首先求出点P到原点的
距离r,由于含有参数a,要注意分类讨论.

[解]r ? (?4a) 2 ? (3a) 2 ? 5 | a | . y 3a 3 若a ? 0, r ? 5a, ? 角在第二象限.sin? ? ? ? , r 5a 5 x ?4a 4 y 3a 3 cos? ? ? ? ? , tan? ? ? ?? . r 5a 5 x ?4a 4

若a ? 0, r ? ?5a, ? 角在第四象限. 3 4 3 sin? ? ? , cos? ? , tan? ? ? . 5 5 4

[反思感悟] (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时, 要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.

(2)熟记几组常用的勾股数组,如
(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,会给我 们解题带来很多方便. (3)若角α已经给定,不论点P选择在α的终边上的什么位置,角 α的三角函数值都是确定的;另一方面,如果角α终边上一点

坐标已经确定,那么根据三角函数定义,角α的三角函数值
也都是确定的.

类型四

象限角与三角函数符号问题

解题准备:三角函数的符号如下表

正值口诀:Ⅰ全正?Ⅱ正弦?Ⅲ正切?Ⅳ余弦.

【典例4】 (1)如果点P(sinθ?cosθ,2cosθ)位于第三象限,试 判断角θ的终边所在的象限.
sin(cos? ) 的符号是什么? cos( sin2? )

(2)若θ是第二象限角,则

[分析] (1)由点P所在的象限,知道sinθ?cosθ,2cosθ的符号, 从而可求sinθ与cosθ的符号.

(2)由θ是第二象限角,可求cosθ,sin2θ的范围,进而把
cosθ,sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其 所在的象限,从而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符号可定.

[解] (1)因为点P在第三象限, ∴sinθ?cosθ<0且2cosθ<0,

因此必有sinθ>0,cosθ<0,故θ的终边在第二象限.

(2)因为θ是第二象限角, 所以cosθ<0,且-1≤cosθ<0,

即cosθ是第四象限角,
因此sin(cosθ)<0; 又sin2θ=2sinθ?cosθ<0, 所以-1≤sin2θ<0, 即sin2θ也是第四象限角, sin(cos? ) ? 0. 因此cos(sin2θ)>0.故 cos( sin2? )

[反思感悟] 此处要正确理解sin(cosθ)的含义,sin(cosθ)中, 是把角θ的余弦值(一个实数)作为一个角的弧度数,求该角

的正弦值,因此只需研究cosθ这个角的范围(所在象限)即
可.

错源一 忽视表示区间角的不等式两端的大小关系 【典例1】 用集合表示终边在阴影部分的角α的集合.

? [错解] 由图可知,终边落在射线OA上的角为2kπ+ (k∈Z), 4

终边落在射线OB上的角为2kπ- ? (k∈Z). 3

? 所以终边落在图中阴影部分的集合为α∈{α|2kπ+ ≤α≤2kπ4 ? ,k∈Z}.
3

[剖析] 上面集合中的关于角的不等式是一个矛盾的不等 式,左边的比右边的大.

[正解] 由图知,终边落在射线OA上的角为2kπ+ (k∈Z),终边落在射线OB上的角为2kπ+ ≤α≤2kπ+
5? ,k∈Z}. 3 5? 3

? 4

(k∈Z).所 ? 以终边落在图中阴影部分的集合为α∈{α|2kπ+
4

[评析] 利用终边相同的角的表达式表示区域角要把握两条原

则:(1)按逆时针方向书写;(2)表示区域角的不等式两个端点
值的差必须是终边落在两条边界射线(或直线)上的最小差 值.

错源二 利用三角函数值符号判断角的位置时,忽视轴线角而 致错

【典例2】 已知sinα≥0,cosα≥0,试确定α终边的位置. [错解] 由sinα≥0知,α终边在第一象限,或第二象限,或y轴的

非负半轴上;
又由cosα≥0知,α终边在第一象限,或第四象限,或x轴的非负 半轴上. 故α终边在第一象限. [剖析] 错解的解答中由sinα≥0和cosα≥0确定α终边位置时,

分别遗漏了x轴和y轴的情形,造成错误.

[正解] 由sinα≥0知,α终边在第一象限或第二象限,或x轴,或y 轴的非负半轴上;

由cosα≥0知,α终边在第一象限或第四象限,或y轴,或x轴的非
负半轴上. 故α终边在第一象限,或x轴的非负半轴上,或y轴的非负半轴上 .

技法一

等分单位圆

一?单位圆的二?四等分法

? ? 在单元圆中,当角α=kπ+ 或α=kπ± (k∈R)(此时 4 4 |sinα|=|cosα|)时,其终边分单位圆为二?四等份的情况如
下图1?图2.

表1:

大小关系 终边范围 大小关系 终边范围

sinα>cosα
图1中Ⅰ |sinα|>|cosα| 图2中1?3

sinα<cosα
图1中Ⅱ |sinα|<|cosα| 图2中2?4

【典例1】 在(0,2π)内,使sinα>cosα成立的α的取值范围为( )

? ? ? ? ? 5? ? ? ? 5? ? A. ? , ? ? ? ? , ? B. ? , ? 4 ? ?4 2? ? ?4 4 ? ?? ? ? ? ? ? 5? 3? ? C. ? , ? ? D. ? , ? ? ? ? , ? ?4 ? ?4 ? ? 4 2 ?
[解析] 由图1和表1可知此题选B.
[答案] B

二?标象限法 在单位圆中,当角α=
k? 2

(k∈Z)时,角的终边和坐标轴重

合,其终边分单位圆为四个象限的情况如下图.

表2:

3.单位圆的八等分法

在单位圆中,当α= 份的情况如上图.

k? 4

(k∈Z)时,其终边分单位圆为八等

表3:

大小关系
终边范围 大小关系

-1<sinα+cosα≤0
图4中4?7 -1<sinα-cosα≤0

0≤sinα+cosα<1
图4中3?8 0≤sinα-cosα<1

终边范围

图4中1?6

图4中2?5

特别地,当角α终边与坐标轴重合时,sinα±cosα的值是1或-1.

【典例2】 若sin2α>cos2α,则α的取值范围是( ? 3? A.{α|2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z} 4 4 ? 5? B.{α|2kπ+ <α<2kπ+ ,k∈Z} ?4 ? 4 C.{α|kπ<α<kπ+ ,k∈Z} 4 4 ? D.{α|kπ+ <α<kπ+ ,k∈Z} 3? 4 4

)

[解析] sin2α>cos2α?|sinα|>|cosα|,由表1,角α的终边在图 2的区域1,3.故选D.

[答案] D

4.结论分析举例 【典例3】 证明:当α∈(2kπ+π,2kπ+

),sinα+cosα∈ [? 2, ?1). [证明] 如右图,根据三角函数的定义,在单位圆中,
sinα=MP,cosα=OM,

3 π)(k∈Z时 2

在△OPM中,
∵|MP|+|OM|>|OP|, ∴-MP-OM>1,∴MP+OM<-1.

5 又α=2kπ+ π(k∈Z)时,|OM|=|MP|, 4 |MP|+|OM|有最大值 2,
即MP+OM有最小值
∴sinα+cosα∈
? 2.

[? 2, ?1).

[方法与技巧] 大家可类似以三角函数线对其他情况加以理 解.

技法二

标扇形法

3 【典例4】在[0, 2? ]上满足sinx≥ 的x的取值范围是 ? 2 ?? ? ? ?? 2 ? A. ? , ? B. ? , ? ? ?3 2? ?2 3 ? ?? 5 ? ?? 2 ? C. ? , ? ? D. ? , ? ? ?6 6 ? ?3 3 ?

?

2 3 ? sin π= [解析] ∵sin ,又由正弦函数线关于y轴 2 3 3 对称可知,角x在如图中的阴影区域,故答案为D.
[答案] D

?

[方法与技巧] 我们看到上述方法互相关联,形象直观,掌握它 有助于简单,快捷,准确地解题,特别适合解答一些“小?巧?

活”的三角客观题.名师作业?练全能


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