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2014版高中数学复习方略课时提升作业:8.5椭 圆(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)


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课时提升作业(五十五)
一、选择题 1.(2013·商洛模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍,则椭圆的离心率等于 ( (A) (B) (C) (D) )
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br />2.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,且它的长轴长等于圆 C:x2+y2-2x-15=0 的半径,则椭圆的标准方程是 ( (A) + =1 (C) +y2=1 ) (B) + =1 (D) + =1 )

3.(2013·马鞍山模拟)椭圆 x2+4y2=1 的离心率为 ( (A) (B) (C) (D)

4.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直平 分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是 ( (A)圆 (C)双曲线 (B)椭圆 (D)抛物线 )

5.(2013·宜春模拟)过椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为 ( (A) (B) (C) (D) )

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6.(能力挑战题)以 F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线 x-y+3=0 有公共点的椭圆中, 离心率最大的椭圆方程是 ( (A) + =1 (C) + =1 二、填空题 7.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 . ) (B) + =1 (D) + =1

8.已知点 P 是椭圆 16x2+25y2=400 上一点,且在 x 轴上方,F1,F2 分别是椭圆的左、 右焦点,直线 PF2 的斜率为-4 ,则△PF1F2 的面积是 .

9.已知 F1,F2 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点,以原点 O 为圆心,OF1 为半 径的圆与椭圆在 y 轴左侧交于 A,B 两点,若△F2AB 是等边三角形,则椭圆的离心 率等于 三、解答题 10.(2013·南昌模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线 C 上任意一点 P 到两个定 点 F1(- ,0)和 F2( ,0)的距离之和为 4. (1)求曲线 C 的方程. (2)设过(0,-2)的直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,以线段 AB 为直径作圆. 试问:该圆能否经过坐标原点?若能,请写出此时直线 l 的方程,并证明你的结论; 若不能,请说明理由. 11.(2013· 淮南模拟)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的右顶点 A 为抛物线 y2=8x 的焦 点,上顶点为 B,离心率为 . (1)求椭圆 C 的方程.
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.

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(2)过点(0, )且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,若线段 PQ 的中点 横坐标是,求直线 l 的方程.

12.(2013·九江模拟)已知点 P 是圆 F1:(x+ )2+y2=16 上任意一点,点 F2 与点 F1 关于原点对称.线段 PF2 的中垂线与 PF1 交于 M 点. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程. (2)设轨迹 C 与 x 轴的两个左右交点分别为 A,B,点 K 是轨迹 C 上异于 A,B 的任意 一点,KH⊥x 轴,H 为垂足,延长 HK 到点 Q 使得|HK|=|KQ|,连接 AQ 并延长交过 B 且垂直于 x 轴的直线 l 于点 D,N 为 DB 的中点.试判断直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系.

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答案解析
1.【解析】选 B.由题意得 2a=2 b,即 a= b. 又 a2=b2+c2,所以有 b=c,∴a= c,得离心率 e= . 2.【解析】选 A.圆 C 的方程可化为(x-1)2+y2=16. 知其半径 r=4,∴长轴长 2a=4,∴a=2. 又 e= = , ∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3, ∴椭圆的标准方程为 + =1. 3.【解析】选 A.先将 x2+4y2=1 化为标准方程 + =1,则 a=1,b= ,c= 心率 e= = . 4. 【解析】 选 B.点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又 AM 是圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆的定义知,P 的轨迹是椭圆. 5.【解析】选 B.由题意知点 P 的坐标为(-c, )或(-c,- ),因为∠F1PF2=60°,那 么 = ,∴2ac= b2,这样根据 a,b,c 的关系式化简得到结论为 . 6.【思路点拨】由于 c=1,所以只需长轴最小,即公共点 P,使得|PF1|+|PF2|最小 时的椭圆方程. 【解析】选 C.由于 c=1,所以离心率最大即为长轴最小. 点 F1(-1,0)关于直线 x-y+3=0 的对称点为 F′(-3,2), 设点 P 为直线与椭圆的公共点, 则 2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|=2 . 取等号时离心率取最大值, 此时椭圆方程为 + =1.
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= .离

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7.【解析】根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 + =1(a>b>0). ∵e= ,∴ = .根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 ,所以椭圆方程为 + =1. 答案: + =1 8.【解析】由已知 F1(-3,0),F2(3,0),所以直线 PF2 的方程为 y=-4 (x-3),代入 16x2+25y2=400,整理得 76x2-450x+650=0,解得:x= 或 x= (因为 x<3,故舍去), 又点 P(x,y)在椭圆上,且在 x 轴上方,得 16〓( )2+25y2=400, 解得 y=2 , ∴ 答案:6 9.【解析】因为△F2AB 是等边三角形 ,所以 A(- , c)在椭圆 + =1 上,所以 + =1,因为 c2=a2-b2, = |F1F2|·y= 〓6〓2 =6 .

所以,4a4-8a2c2+c4=0,即 e4-8e2+4=0, 所以,e2=4〒2 答案: -1 -1 或 +1 的错误,其错误原因是没有注意到 ,e= -1 或 e= +1(舍).

【误区警示】本题易出现答案为 或不知道椭圆离心率的范围.

10.【解析】(1)根据椭圆的定义,可知曲线 C 的轨迹为椭圆,其中 a=2,c= ,则 b= =1.

所以曲线 C 的轨迹方程为 +y2=1. (2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx-2,设 A(x1,y1),B(x2,y2),
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=0,则 x1x2+y1y2=0.

∵y1=kx1-2,y2=kx2-2, ∴y1y2=k2x1·x2-2k(x1+x2)+4. ∴(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0.…………………………① 由方程组 得(1+4k2)x2-16kx+12=0.

Δ=162k2-4〓12〓(1+4k2)>0,∴k2> ,………………② 则 x1+x2= (1+k2)· ,x1·x2= -2k· ,代入①,得 +4=0.即 k2=4,

∴k=2 或 k=-2,满足②式. 所以,存在直线 l,其方程为 y=2x-2 或 y=-2x-2. 11.【解析】(1)抛物线 y2=8x 的焦点为 A(2,0),依题意可知 a=2. 因为离心率 e= = ,所以 c= . 故 b2=a2-c2=1, 所以椭圆 C 的方程为: +y2=1. (2)直线 l:y=kx+ , 由 消去 y 可得(4k2+1)x2+ 8 kx+4=0, 因为直线 l 与椭圆 C 相交于 P,Q, 所以Δ=(8 k)2-4(4k2+1)〓4>0, 解得|k|> . 又 x1+x2= ,x1x2= ,
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设 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 中点 M(x0,y0), 因为线段 PQ 的中点横坐标是所以 x0= = =, ,

解得 k=1 或 k= , 因为|k|> ,所以 k=1, 因此所求直线 l:y=x+ . 12.【解析】(1)由题意得,F1(- ,0),F2( ,0), 圆 F1 的半径为 4,且|MF2|=|MP|, 从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=2 , ∴点 M 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆,其中长轴 2a=4,焦距 2c=2 , 则短半轴 b= = =1,

椭圆方程为: +y2=1. (2)设 K(x0,y0),则 + =1. ∵|HK|=|KQ|,∴Q(x0,2y0),∴OQ= =2,

∴Q 点在以 O 为圆心,2 为半径的圆上,即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上. 又 A(-2,0),∴直线 AQ 的方程为 y= 令 x=2,得 D(2, ). ). (x+2).

又 B(2,0),N 为 DB 的中点,∴N(2, ∴ ∴ =(x0,2y0), · =(x0-2, ).

=x0(x0-2)+2y0·

=x0(x0-2)+

=x0(x0-2)+

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0, ∴ ⊥ ,∴直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切.
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