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2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.2.4精要课件 二面角及其度量


3.2.4

3.2.4 二面角及其度量
【学习要求】 1.掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单
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图形中的二面角的平面角. 2.掌握求二面角的基本方法、步骤. 【学法指导】 二面角可以通过作二面角的平面角来求,但作平面角比较困 难,利用向量求二面角的平面角只需求出两个平面的法

向量, 经过简单运算即可,体现了向量的工具性.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.2.4

1.二面角的概念 (1)二面角的定义: 平面内的一条直线把平面分成
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两部分,其中的每一部分都叫做半平面.从一条

两个半平面 直线出发的______________所组成的图形叫做
二面角.如图所示,其中,直线 l 叫做二面角的

棱 面 ______,每个半平面叫做二面角的______,如图中的 α,β.
(2)二面角的记法:棱为 l,两个面分别为 α,β 的二面角,记 作 α—l—β.如图,A∈α,B∈β,二面角也可以记作 A—l—B.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.2.4

(3)二面角的平面角:在二面角 α—l—β 的棱上任取一点 O, 在两半平面内分别作射线 OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB 叫做二 面角 α—l—β 的平面角,如图所示,由等角定理知,这个平 面角与点 O 在 l 上的位置无关.
本 专 (5)二面角的范围是[0° ,180° ]. 题 栏 2.用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 目 (1)如图,分别在二面角 α—l—β 的面 α、β 内, 开 关

(4)直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角.

并沿 α、β 延伸的方向,作向量 n1⊥l,n2⊥l, 则〈n1,n2〉等于该二面角的平面角. (2)如图,设 m1⊥α,m2⊥β,则〈m1,m2〉与 该二面角相等或互补.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.2.4

探究点一 定义法求二面角 问题 1 如何找二面角的平面角?
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答案

(1)定义法

由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目 选择棱上一个特殊点,求解用到的是解三角形的有关知识. (2)垂面法 作(找)一个与棱垂直的平面,与两面的交线就构成了平面角. (3)三垂线定理(或逆定理)作平面角,这种方法最为重要,其作 法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致.

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问题 2
答案

3.2.4

如何利用面积射影求二面角?

教材 P110 例 2 结论:如图,已知二面角 π α—l—β 的大小为 θ (0≤θ≤ ),在 α 内有△ABC, 2
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它在 β 内的射影为△A′BC,它们的面积分别为 S′ S,S′,则有 cos θ= . S

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例1 如图所示,S 是△ABC 所在平面外一点,

3.2.4

且 SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB =BC,E 是 SC 的中点,DE⊥SC 交 AC 于 D.求二面角 E—BD—C 的大小.
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解 ∵SB=BC,E 为 SC 的中点, ∴SC⊥BE. 由题设知,SC⊥ED, 而 ED∩EB=E, ∴SC⊥平面 BDE,∴SC⊥BD. 又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BD. ∴BD⊥平面 SAC, ∴∠EDC 为二面角 E—BD—C 的平面角.

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设 SA=a,则 SB= 2a, 又∵AB⊥BC,由三垂线定理,SB⊥BC. ∴在 Rt△SBC 中,SC=2a. 在 Rt△SAC 中,∵SA=a,SC=2a,∴∠SCA=30° .
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3.2.4

故∠EDC=60° ,即二面角 E—BD—C 的大小为 60° .
小结 利用定义法求二面角的过程要体现一作、二证、三计 算.即首先作出二面角的平面角,然后证明(或说明)所作角 为什么是二面角的平面角,最后再计算出二面角的平面角的 大小.

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跟踪训练 1 如图,ABCD 是正方形,V 是平面 ABCD 外一点,且 VA=VB=VC=AB,求二面 角 A—VB—C 的余弦值.
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3.2.4



取 VB 的中点为 E,

连接 AE,CE. ∵VA=AB=BC=VC, ∴AE⊥VB,CE⊥VB. ∴∠AEC 是二面角 A—VB—C 的平面角.

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3.2.4

设 AB=a,连接 AC,在△AEC 中, 3 AE=EC= a,AC= 2a, 2
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由余弦定理可知: ? 3 ? ? ? ? ?2 ? 3 ?2 2 a ? +? a ? -? 2a? ?2 1 ? ? ?2 ? cos∠AEC= =- , 3 3 3 2× a× a 2 2 1 ∴二面角 A—VB—C 的余弦值是- . 3

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探究点二 问题 用向量方法求二面角

3.2.4

怎样利用向量法求二面角?

答案 (1)分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直的两个向 量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;
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(2)通过平面的法向量求解:设二面角的两个面的法向量分别为 n1 和 n2,则二面角的大小等于〈n1,n2〉(或 π-〈n1,n2〉). 利用空间向量方法求二面角时,注意结合图形判断二面角是锐 角还是钝角.

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例2

3.2.4

(教材 P109 例 1)二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、

BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB. 已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17,则该二面角的
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大小为________. → → → → 解析 由条件,知CA· =0,AB· =0, AB BD → → → → CD=CA+AB+BD. → 2 →2 →2 →2 → → → → → → ∴|CD| =|CA| +|AB| +|BD| +2CA· +2AB· +2CA· AB BD BD → → 2 2 2 =6 +4 +8 +2×6×8cos〈CA,BD〉=(2 17)2. 1 → → → → ∴cos〈CA,BD〉=-2, 〈CA,BD〉=120° ,
∴二面角的大小为 60° .

答案 60°

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3.2.4

小结
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若 AB, 分别是二面角 α—l—β 的两个面 CD

内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的平面角就是 → → 向量AC与BD的夹角(如图所示).

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跟踪训练 2 如图所示,在 120° 的二面角 α—AB—β 中 , AC ? α , BD ? β , 且 AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为 A、B.已 知 AC=AB=BD=6,试求线段 CD 的长.
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3.2.4

解 ∵AC⊥AB,BD⊥AB, → → → → ∴CA· =0,BD· =0, AB AB

又∵二面角 α—AB—β 的平面角为 120° , → → ∴〈CA,BD〉=180° -120° =60° . → → → → ∴CD2=CD2=(CA+AB+BD)2 →2 →2 →2 → → → → → → =CA +AB +BD +2CA· +2CA· +2BD· AB BD AB =3×62+2×62cos 60° =144,∴CD=12.

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例 3 如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中 , ∠ABC = 90°, SA⊥ 平 面 1 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,求平面 2 SCD 与平面 SAB 所成二面角 α 的正切值.
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3.2.4

解 方法一 延长 BA、CD 交于 E 点. 1 ∵AD 綊 BC,∴AD 为△EBC 的中位线,A 2 为 BE 的中点. 面 SCD∩面 SAB=SE,过 A 作 AH⊥SE 于 H 点,连接 HD. ∵AD⊥面 SAB,∴HD⊥SE, ∴∠AHD 为二面角 A—SE—D 的平面角.

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2 在 Rt△SAE 中,AH= , 2 1 AD 2 2 在 Rt△AHD 中,tan∠AHD= = = . AH 2 2 2 2 ∴二面角 A—SE—D 的正切值为 . 2 即平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角 α 的正切值为 2 . 2

3.2.4

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方法二

3.2.4

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易证△SCD 在面 SAB 上射影为△SAB. 5 5 在△SCD 中,SD= ,SC= 3,DC= , 2 2 ? 3? ?5 ? 1 6 2 ?2 ? ? -? ∴S△ SCD= × 3· = . 2 2? ? 2 ? 4 ? ? ? 1 又 S△ SAB= ,设平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角为 θ, 2 S△SAB 6 2 ∴cos θ= = ,∴tan θ= . 2 S△SCD 3

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3.2.4

方法三

由题设条件知,以点 A 为坐标原点,

分别以 AD、AB、AS 所在直线为 x 轴、y 轴、
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z 轴,建立空间直角坐标系(如图所示). 则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0), ?1 ? D? ,0,0?,S(0,0,1). ?2 ? ? → → ?1 SD=? ,0,-1?,SC=(1,1,-1), ?2 ?

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设平面 SCD 的法向量为 n=(x,y,z), ? → ?n· =0 SD 则? → ?n· =0 SC ?
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3.2.4

?1 ? x-z=0 ,即?2 , ?x+y-z=0 ? n=(2,-1,1).

?x=2z ? ∴? .取 z=1,得 ?y=-z ? ? → ?1 又AD=? ,0,0?, ?2 ?

1 2 → ∴cos〈n,AD〉= = . 1 6 × 6 2 → 设平面 SAB 与 SCD 的夹角为 θ,由图知 θ=〈n,AD〉为锐 2 角,即 tan θ= . 2

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3.2.4

小结
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当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时,

用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平 面的法向量,经过简单的运算即可求出,有时不易判断两法 向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补),但我们 完全可以根据图形观察得到结论,因为二面角是钝二面角还 是锐二面角一般是明显的.

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3.2.4

跟踪训练 3 在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中, AB⊥AC, PA⊥平面 ABCD, PA=AB, 是 PD 的中点, 且 E 求二面角 E—AC—D 的大小.
解 方法一
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如图,以 A 为原点,分别以

AC,AB,AP 所在直线为 x,y,z 轴建立空 间直角坐标系. 设 PA=AB=a,AC=b,连接 BD 与 AC 交 于 O,取 AD 中点 F,则 → → C(b,0,0),B(0,a,0),BA=CD.

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∴D(b,-a,0),P(0,0,a), ?b ?b ? a a? ∴E?2,-2,2?,O?2,0,0?, ? ? ? ? a a? → → ? OE=?0,-2,2?,AC=(b,0,0). ? ? → → → → ∵OE· =0,∴OE⊥AC, AC ? a → 1→ ? → → ?0,- ,0?,OF· =0. OF= BA= AC 2 2 ? ? → → ∴OF⊥AC.

3.2.4

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∴∠EOF 等于面 EAC 与平面 ABCD 的夹角(或补角). → → OE· OF 2 → → cos〈OE,OF〉= = . 2 → → |OE||OF| ∴二面角 E—AC—D 的大小为 45° .

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方法二 建系如方法一,∵PA⊥平面 ABCD, → ∴AP=(0,0,a)为平面 ABCD 的法向量, a a? → → ?b AE=?2,-2,2?,AC=(b,0,0). ? ?
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3.2.4

设平面 AEC 的法向量为 m=(x,y,z). ? → ?m· =0, AE 由? → ?m· =0, ? AC a a ?b ? x- y+ z=0, 2 2 得?2 ?bx=0. ?

∴x=0,y=z.∴取 m=(0,1,1), → m· AP a 2 → cos〈m,AP〉= = = . → 2· 2 a |m||AP| ∴二面角 E—AC—D 的大小为 45° .

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.2.4

1. 如图所示, 已知二面角 α—l—β 的大小为 60° , m,n 为异面直线, m⊥α,n⊥β, 且 则直线 m,
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n 的夹角为 A.30° C.90° B.60° D.120°

( B )

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3.2.4

2.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜; ②双向倾斜; ③四向倾斜. 记三种盖法屋顶面积分别为 P1、 P2、P3.
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若屋顶斜面与水平面所成的二面角都是 α,则 A.P3>P2>P1 C.P3=P2>P1 B.P3>P2=P1 D.P3=P2=P1

( D )

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3.2.4

3.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两 平面所成的二面角为__________.
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设二面角的平面角为 θ, 1 2 ∵cos〈m,n〉= = 2 ,∴θ=45° 135° 或 . 1× 2 答案 45° 135° 或 解析

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3.2.4

4.PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2.求二面 角 A—PB—C 的余弦值.


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方法 一

如图 建立 空 间直 角坐 标系 ,

A(0,0,0),B( 2,1,0),C(0,1,0), P(0,0,1), → → ∴AP=(0,0,1),AB=( 2,1,0), 设平面 PAB 的法向量 n1=(x1,y1,z1), ? → ?n1· =0, AP 由? → ?n1· =0, ? AB
?z =0, ? 1 得? ? 2x1+y1=0. ?

令 x1=1,则 n1=(1,- 2,0).

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→ → ∵CP=(0,-1,1),CB=( 2,0,0), 设平面 PBC 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),
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3.2.4

? → ?n2· =0, CP 由? → ?n2· =0, ? CB

?-y2+z2=0, ? 得? ? 2x2=0. ?

令 z2=1,则 n2=(0,1,1). - 2 n1· 2 n 3 ∴cos〈n1,n2〉= = =- . |n1||n2| 3 3× 2 ∵所求二面角为锐角, 3 ∴二面角 A—PB—C 的余弦值为 . 3

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方法二 如图所示,取 PB 的中点 D,连接 CD.

3.2.4

∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AC. ∵PC= PA2+AC2= 2.
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∵PC=BC= 2,∴CD⊥PB. 作 AE⊥PB 于点 E, 那么二面角 A—PB—C 的大小 → → 等于DC与EA所成角 θ 的大小. ∵PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,∴PC⊥BC. PA2 1 2 2 ∴PB= PC +BC =2.∴PD=1,PE= = . PB 2 1 ∴DE=PD-PE= . 2

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3.2.4

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AP· AB 3 又∵AE= = ,CD=1,AC=1, PB 2 → → → → → → → → AC=AE+ED+DC,且AE⊥ED,ED⊥DC, → → → → → → ∴|AC|2=|AE|2+|ED|2+|DC|2+2|AE|· |· |DC cos(π-θ), 3 1 3 3 即 1= + +1-2· · cos θ,解得 cos θ= , 1· 4 4 2 3 3 故二面角 A—PB—C 的余弦值为 . 3

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二面角的求法: ①定义法. ②三垂线法,如图 A∈β,过 A 作 AB⊥α 于点 B,在 α 内作 BO⊥l 于点 O,连接 AO,则由 三垂线定理知 AO⊥l,故∠AOB 是二面角 α—l—β 的平面角. S′ ③用公式 cos θ= ,其中 S′为射影面积, 为原图形面积. S S → → ④利用向量夹角公式求〈OA,OB〉 . ⑤用法向量,若二面角 α—l—β 的大小为 θ,其两半平面的 法向量分别为 n1、n2,其夹角为 φ,则 θ=φ 或 θ=π-φ.一 定要注意检验.


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