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13-14数列高考题汇编(含答案)


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13-14 数列高考题汇编 1(2013·新课标Ⅰ高考理科·T7)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 S m?1 ? ?2 , S m ? 0 , S m?1 ? 3 ,则 m ? ( C A. 3 B. 4 C. 5 D. )

2(2013·辽宁高考文科·T4)与(2013·辽宁高考理科

·T4)相 同 下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ?an ? 的四个命题:
p1 : 数列 ?an ? 是递增数列; p2 : 数列 ?nan ? 是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; p4 : 数列 ?an ? 3nd? 是递增数列; ?n?

其中的真命题为( D )
A. p1, p2 B. p3 , p4 C. p2 , p3 D. p1, p4
2 3

3(2013·新课标Ⅰ高考文科·T6)设首项为 1,公比为 的等比数 列{an}的前 n 项和为 Sn,则( A. S n ? 2an ? 1 B. S n ? 3an ? 2 ) C. S n ? 4 ? 3an D. S n ? 3 ? 2an

4(2013·福建高考理科·T9)已知等比数列 ?an ? 的公比为 q ,记
bn ? am ( n?1)?1 ? am ( n?1)? 2 ? ? ? ? ? am ( n?1)? m ,cn=am(n-1)+1· am(n-1)+2·…·am(n-1)+m,

?m, n ? N *? ,则以下结论一定正确的是(
A. 数列 ?bn ? 为等差数列,公差为 q m 比为 q 2 m C. 数列 ?cn ? 为等比数列, 公比为 q m 比为 q m
m 2

) B. 数列 ?bn ? 为等比数列,公

D. 数列 ?cn ? 为等比数列, 公

1

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5【2014 年重庆卷(理 02) 】对任意等比数列 {an } ,下列说法一定正确的是(



A.a1 , a3 , a9 成等比数列 C.a2 , a4 , a8 成等比数列

B.a2 , a3 , a6 成等比数列 D.a3 , a6 , a9 成等比数列


6 【2014 年福建卷 (理 03) 】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=2, S3=12, 则 a6 等于 ( A.8 B.10 C.12 D.14

7.【2014 年全国大纲卷(10) 】等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项 和等于( A.6 二、填空题 8【2014 年广东卷(理 13) 】若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 ,则 ) B.5 C.4 D.3

ln a1 ?ln a2 ?

?ln a20 ?



9.【2014 年北京卷(理 12) 】若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当

n ? ________时 ?an ? 的前 n 项和最大.
10. 【2014 年安徽卷 (理 12) 】 数列 {an } 是等差数列, 若 a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5 构成公比为 q 的等比数列,则 q ? _________.

11(2013·安徽高考理科·T14) )如图,互不相同的点 A1,A2,…,An,…

和 B1,B2,…,Bn,…分别在角 O 的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有
梯形
AnBnBn+1An+1 的面积均相等。设 OAn = an . 若 a1=1,a2=2 则数列 {an } 的通

项公式是_______。
O A1 A2 A3 B1 B2 B3

2

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三、解答题 12(2013·大纲版全国卷高考文科·T17)等差数列 ?an ? 中,
a7 ? 4, a19 ? 2a9 ,

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?
1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

13. (2013·天津高考文科·T19)已知首项为 3 的等比数列 {an } 的前
2

n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 ?2S2 , S3 , 4S4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 证明 Sn ?
1 13 ? (n ? N *) Sn 6

3

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14.(2013· 天津高考理科· T19)已知首项为 3 的等比数列{an}不是递减
2

数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 Tn ? Sn ?
1 (n ? N *) ,求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn

15. (2013·湖北高考理科·T18)已知等比数列 ??n ? 满足:
| a2 ? a3 |? 10, a1a2a3 ? 125.

(Ⅰ)求数列 ??n ? 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 m,使得 小值;若不存在,说明理由.
1 1 1 ? ? .... ? 1 ?若存在,求 m 的最 a1 a2 am

16(2013·新课标Ⅰ高考理科·T14)若数列 {an } 的前 n 项和
Sn ? 2 1 a n ? ,则 {an } 的通项公式是 an ? ________ 3 3

4

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17.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an. (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

18(2013·江苏高考数学科·T19)设 {an} 是首项为 a ,公差为 d 的 等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和。记 bn ? 数。 (1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ) ;
nS n , n ? N * ,其中 c 为实 2 n ?c

19.(2013·江西高考理科·T17)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:
Sn 2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an. (2)令 bn = 都有 Tn ?
n+1 , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 证明: 对于任意 n ? N* , (n+2)2a n 2
5 . 64

5

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20. (2013· 江西高考文科· T16) 正项数列 {an} 满足 a n 2 ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0 . (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn=
1 (n ? 1)a n

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

21.(2013·广东高考理科·T19)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1,
2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N? . n 3 3

(1)求 a2 的值; (2)求数列{ an }的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1 a2 ? 1 7 ? . an 4

6

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22.(2013·广东高考文科·T19)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n
2 ? 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ?1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1a2 a2 a3 ? 1 1 ? . an an ?1 2

23【2014 年全国大纲卷(18) 】 (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 10 , a 2 为整数,且 Sn ? S4 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

7

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24.【2014 年山东卷(理 19) 】(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {a n } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列。 (I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)令 bn = (?1) n ?1

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

25.【2014 年四川卷(理 19) 】设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的
x

图象上( n ? N * ) 。 (1)若 a1 ? ?2 ,点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ;

26.【2014 年广东卷(理 19) 】 (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 和为 S n ,满足

Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n, n ? N * ,且 S3 ? 15 ,
(1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式。

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27.【2014 年湖北卷(理 18) 】已知等差数列 {a n } 满足: a 1 =2,且 a1 , a2 , a 3 成等比数列. (1) 求数列 {a n } 的通项公式. (2) 记 Sn 为数列 {a n } 的前 n 项和, 是否存在正整数 n , 使得 Sn ? 60n ? 800? 若存在, 求 n 的最小值;若不存在,说明理由. (Ⅱ)根据 {an } 的通项公式表示出 {an } 的前错误!未找到引用源。项和公式错误!未找到 引用源。,令 S n ? 60n ? 800 ,解此不等式。

28.【2014 年江西卷(理 17) 】 (本小题满分 12 分) 已 知 首 项 都 是 1 的 两 个 数 列 (1) 令 (2) 若 ,求数列 ,求数列 . 的通项公式; 的前 n 项和 .



), 满 足

29. 【 2014 浙 江 卷 ( 理 19 ) 】 ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 满 足

a1a2 ??? an ? ( 2)bn (n ? N * ) .若 {an } 为等比数列,且 a1 ? 2 , b3 ? 6 ? b2 . ⑴求 an 与 bn ; 1 1 ? (n ? N * ) .记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn . ⑵设 cn ? an bn ①求 Sn ;
②求正整数 k ,使得对任意 n ? N ,均有 Sk ? Sn
*

9

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参考答案 三、解答题 12【解题指南】 (I)根据条件中给出的特殊项求出等差数列的首项和

公差,再根据等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 求出 ?an ? 的通项公 式. (II)将(I)中 的通项公式代入到 bn ?
1 nan

中,采用裂项相消法求和.

【解析】 (I)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 an ? a1 ? (n ? 1)d . 因为 ?
?a 7 ? 4 ?a ? 6d ? 4 1 ,所以 ? 1 ,解得 a1 ? 1, d ? . 2 ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d ) ?a19 ? 2a9
n ?1 . 2

所以 {an } 的通项公式为 a n ? (II)因为 bn ?
1 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) nan n(n ? 1) n n ?1
1 2 1 3 1 n
2n 1 )? . n ?1 n ?1

所以 S n ? 2[1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13【解题指南】(Ⅰ)

由 ?2S2 , S3 , 4S4 成等差数列求等比数列 {an } 的公比,

然后写出其通项公式; (Ⅱ) 写出等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 表示 S n ? 数讨论起最大值,进而得出证明. 【解析】(Ⅰ) 设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 ?2S2 , S3 , 4S4 成等差数列, 所以 S3 ? 2S2 ? 4S4 ? S3 , S4 ? S3 ? S2 ? S4 ,可得 2a4 ? ?a3 , 于是 q ? a4
a3 1 ? ? .又 2
1 Sn

, 分 n 为奇数或偶

3 1 n?1 3 3 n ?1 a1 ? , 所以等比数列 {an } 的通项公式为 an ? ? (? ) ? (?1) ? n . 2 2 2 2
1 ? 2? n n , n为奇数, ? 2 (2 ? 1) 1 n 1 1 n 1 ? (Ⅱ) Sn ? 1 ? (? ) , Sn ? ? 1 ? (? ) ? ?? 1 1 2 Sn 2 1 ? (? ) n ? 2 ? n n , n为偶数, 2 ? 2 (2 ? 1) ?

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当 n 为奇数时, S n ? 当 n 为偶数时, S n ?

1 Sn 1 Sn

随 n 的增大而减小,所以 Sn ? 随 n 的增大而减小,所以 Sn ?

1 1 13 ? S1 ? ? . Sn S1 6 1 1 25 ? S2 ? ? . Sn S2 12

故对于 n ? N * ,有 Sn ?
14【解题指南】(1)由

1 13 ? . Sn 6

S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列求等比数列{an}的

公比,然后写出其通项公式. (2)写出等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,表示 Tn ? Sn ? 数讨论其最值. 【解析】(1) 设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成 等差数列, 所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q 2 ? a5 不是递减数列且 a1 ? 3 , 所以 q ? ? 1 .
2 2
1 ? . 又{an} a3 4 1 Sn

,分 n 为奇数或偶

故等比数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? (? 1 )n?1 ? (?1)n?1 ?
2 2

3 . 2n

(2)由(1)

1 ? 1 ? , n为奇数, 1 n ? ? 2n 得 Sn ? 1 ? (? ) ? ? 2 ?1 ? 1 , n为偶数, ? ? 2n

当 n 为奇数时, Sn 随 n 的增大而减小,所以 1 ? Sn ? S1 ? 3 , 故
2
1 1 3 2 5 0 ? Sn ? ? S1 ? ? ? ? . Sn S1 2 3 6

当 n 为偶数时, Sn 随 n 的增大而增大,所以 3 ? S2 ? Sn ? 1, 故
4
0 ? Sn ? 1 1 3 4 7 ? S2 ? ? ? ?? . Sn S2 4 3 12
12 ? Sn ? 1 5 5 ? . 所以数列 {Tn } 的最大项的值为 Sn 6 6

综上,对于 n ? N * ,总有 ? 7 与最小项的值为 ? 7 .
12

15【解题指南】 (Ⅰ)用 a1 和公比

q 表示,解方程组.(Ⅱ)求和。
?a13 q3 ? 125,
2 ? ?| a1q ? a1q |? 10,

【解析】 (Ⅰ) 设等比数列 {an } 的公比为 q, 则由已知可得 ? ?

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5 ? ? a1 ? , 解得 ? 3 ? ? q ? 3,

或?

?a1 ? ?5, ,故 an ? 5 ? 3n?1 ,或 an ? ?5 ? (?1)n?1 . 3 ?q ? ?1.
1 3 1 n ?1 3 1 1 ? ? ( ) ,故 { } 是首项为 ,公比为 的等比 an 5 3 5 3 an

(Ⅱ)若 an ? 5 ? 3n?1 ,则
3

数列,
3 1 ? [1 ? ( )m ] 1 5 9 1 9 3 从而 ? ? ? ? [1 ? ( )m ] ? ? 1 . 1 10 3 10 n ?1 an 1? 3
m

若 an ? (?5) ? (?1)n?1 ,则 数列, 从而 ? 1

1 1 1 1 ? ? (?1) n ?1 ,故 { } 是首项为 ? ,公比为 ?1 的等比 an 5 5 an

? 1 ?? , m ? 2k ? 1 (k ? N? ), ?? 5 n ?1 an ? ?0, m ? 2k (k ? N? ).
m
m

故? 1
n ?1

m

an

?1.

综上,对任何正整数 m,总有 ? 1
n ?1

an

? 1 .故不存在正整数 m ,使得

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ? 1 成立. am

17【解题指南】(1)由 a1,2a2+2,5a3 成等比数列可以求得 a1 与

d 的关系,

进而可求得 d 与 an. (2)由 d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再 根据等差数列前 n 项和的性质求解. 【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2, d2-3d-4=0,解得 d=-1 或 d=4,所以 an=-n+11 或 an=4n+6. (2)设数列{an}前 n 项和为 Sn, 因为 d<0,所以 d=-1,an=-n+11,则 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=- n2+
1 2 21 n; 2

n≥12 时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…
12

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-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11= n2-

1 2

21 n +110. 2

1 21 ? ? n 2 ? n, n≤11, ? 2 2 综上所述,|a1|+|a2|+…+|an|= ? ? ? 1 n 2 ? 21 n ? 110, n≥12. ? ?2 2
18(1)若 c ? 0 ,得 bn ?
2 b2 ? b1b4 ,

Sn (n ? 1)d ?a? .又因为 b1,b2,b4 成等比数列,所以 n 2

d? 3d ? 2 ? 即: ? ? a ? ? ? a? a ? ? ,化简得 d -2ad=0.因为 d≠0,所以 d=2a. ? 2? ? 2 ?

2

因此,对于所有的 m∈N*,有 Sm=m2a. 从而对于所有的 k,n∈N*,有 Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.
19【解题指南】(1)由题目中的等式求出 Sn ,然后由 Sn 求 an; (2)化简

bn ,观察结构特征,选取求和的方法求 Tn.

【解析】 (1)由 Sn 2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 得 [Sn ? (n 2 ? n)](Sn ?1) ? 0 由于 ?a n ? 是正项数列,所以 Sn ? 0,Sn ? n2 ? n .于是,当 n ? 2 时,
a n ? Sn ? Sn ?1 ? (n 2 ? n) ? [(n ?1)2 ? (n ?1)] = 2n ,又因为 a1 ? s1 ? 2 符合上式.综

上,数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 2n . (2)因为 a n ? 2n , bn = 则 Tn ?
? n+1 1 1 1 n+1 ? [ 2? ]. ,所以 bn = 2 2 2 2 (n+2) 4n 16 n (n ? 2) 2 (n+2) a n ? 1 1 1 1 ? ? 2? ] 2 2 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2) 2

1 1 1 1 1 1 [1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 16 3 2 4 3 5

1 1 1 1 1 1 5 [1 ? 2 ? ? ] ? (1 ? 2 ) ? 2 2 16 2 (n ? 1) (n ? 2) 16 2 64

20【解题指南】借助二次三项式的因式分解来求 a n ,分析{bn}通项

公式的特点选择正确的求和方法.

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【解析】(1)由 a n 2 ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0 ,得 (a n ? 2n)(a n ? 1) ? 0 .由于{an}是正 项数列,所以 a n ? 2n . (2)由 a n ? 2n ,bn=
1 (n ? 1)a n

,则 bn ?
?

1 1 1 1 ? ( ? ). 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

所以 Tn ? 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
2 2 2 3

1 1 1 1 1 1 n . ? ? ? ) ? (1 ? )? n ?1 n n n ?1 2 n ? 1 2(n ? 1)

21【解题指南】本题以递推数列为背景,考查通项公式与前

n 项和的

关系及不等式的证明,要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用. 证明不等式的过程中,放缩的尺度要拿捏准确.
2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? 中令 n ? 1 ,可得 a2 ? 4 ; n 3 3 1 2 n( n ? ( 1 ) 2 ) n? (2) 由已知可得 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n , 即 2Sn ? nan ?1 ? ①, 3 3 3 (n ? 1) n( n ? 1) 则当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? (n ? 1)an ? ②,① ? ②可得 3

【解析】 (1)因为 a1 ? 1 ,在

也就是 (n ? 1)an ? nan?1 ? n(n ? 1) , 同除以 n(n ? 1) 2an ? nan?1 ? (n ?1)an ? n(n ? 1) , 可得
an ?1 an a a ? ? 1 ,数列{ n }是公差为 1 的等差数列,且 1 ? 1 ,所以 n 1 n ?1 n

an ? n , an ? n2 ,显然 a1 ? 1 也满足 an ? n2 ,即所求通项公式为 an ? n2 . n

(3)当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, 当 n ? 3 时,
1 1 ? ? a1 a2
?

1 1 7 ? 2 ? 1 ? 结论成立; a1 1 4

1 1 1 5 7 ? ? 1 ? ? ? 结论成立; a1 a2 4 4 4

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,则 an n n(n ? 1) n ? 1 n ?
1 1 1 1 ? 1? ? ? ? 2 4 2 ? 3 3? 4 n ? 1 n(n ? 1)

?

1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? 2 ? an 4 3 4
?

5 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 4 2 3 3 4

1 1 7 1 7 ? ? ? ? ,即对一切 n ? N? , n ?1 n 4 n 4

14

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1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? 成立. an 4

22【解题指南】本题以递推数列为背景,考查通项公式与前

n 项和的

关系及不等式的证明,要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用. 证明不等式的过程中,放缩的尺度要拿捏准确.
2 2 【解析】 (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,因为 an ? 0 ,所以

a2 ? 4a1 ? 5 ;
2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4 ,
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

因为 an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 2 ,当 n ? 2 时,?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 2 因为 a2 , a5 , a14 构成等比数列, a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 6 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得

a2 ? 3 ,
2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4, a1 ? 1 ,又因为 a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ,则 ?an ? 是首

项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (3)
1 1 ? ? a1a2 a2 a3 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
?(

?

? 2n ?1?? 2n ? 1?

1

1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5 5 7

1 1 1 1 1 ? )] ? (1 ? )? . 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2

23 解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,而 a1 ? 10 ,从而有 an ? 10 ? (n ?1)d 若 d ? 0 , Sn ? 10n ,此时 S n ? S 4 不成立 若 d ? 0 ,数列 {an } 是一个单调递增数列, Sn 随着 n 的增大而增大,也不满足 S n ? S 4 当 d ? 0 时,数列 {an } 是一个单调递减数列,要使 S n ? S 4 ,则须满足 ?

?a5 ? 0 即 ?a4 ? 0

?10 ? 4d ? 0 10 5 ? ? ? d ? ? ,又因为 a2 ? a1 ? d 为整数,所以 d ? Z ,所以 d ? ?3 ? 3 2 ?10 ? 3d ? 0 此时 an ? 10 ? 3(n ?1) ? 13 ? 3n
(2)由(1)可得
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1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? )? an an ?1 (13 ? 3n)(10 ? 3n) (3n ? 13)(3n ? 10) 3n ? 13 3n ? 10 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (? )) ? (? ? (? )) ? ? ( ? )? 所以 Tn ? (? 3 10 7 3 7 4 3n ? 13 3n ? 10 3 bn ?

1 1 1 1 1 ( ? ? ( ? ) ? (? ) ? (? ) ? 3 10 7 7 4

?

1 1 1 1 1 n ? ) ? (? ? )?? 3n ? 13 3n ? 10 3 10 3n ? 10 10(3n ?10)

24 解: (I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (II) bn ? (?1) n ?1

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1
25 解: (1)点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的图象上,所以 bn ? 2 n ,
x
a

又等差数列 {an } 的公差为 d 所以

bn ?1 2an?1 ? an ? 2an?1 ? an ? 2d bn 2
a8

因为点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上,所以 4b7 ? 2

? b8 ,所以

2d ?

b8 ?4?d ?2 b7

n(n ? 1) d ? ?2n ? n 2 ? n ? n 2 ? 3n 2 26【解析】 S2 ? 4a3 ? 20 , S3 ? S2 ? a3 ? 5a3 ? 20 ,又 S3 ? 15 ,
又 a1 ? ?2 ,所以 S n ? na1 ?
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? a3 ? 7 , S2 ? 4a3 ? 20 ? 8 ,又 S2 ? S1 ? a2 ? (2a2 ? 7) ? a2 ? 3a2 ? 7 , ? a2 ? 5 , a1 ? S1 ? 2a2 ? 7 ? 3 ,
综上知 a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7 ; (2)由(1)猜想 an ? 2n ? 1,下面用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,结论显然成立; ②假设当 n ? k ( k ? 1 )时, ak ? 2k ? 1 , 则 Sk ? 3 ? 5 ? 7 ? (2k ? 1) ?

3 ? (2k ? 1) 2 ? k ? k (k ? 2) ,又 Sk ? 2kak ?1 ? 3k ? 4k , 2

?k (k ? 2) ? 2kak ?1 ? 3k 2 ? 4k ,解得 2ak ?1 ? 4k ? 6 ,
? ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 1 ,即当 n ? k ? 1 时,结论成立;
由①②知, ?n ? N*, an ? 2n ? 1 . 27【解析】 (1)设数列 {a n } 的公差为 d ,依题意, d, 2 ? d, 2 ? 4d 成等比数列,故有

(2 ? d)2 ? 2(2 ? 4d)
2 化简得 d ? 4d ? 0 ,解得 d ? 0 或 d ? 4

当 d ? 0 时, a n ? 2 当 d ? 4 时, a n ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 从而得数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 2 或 a n ? 4n ? 2 。 (2)当 a n ? 2 时, Sn ? 2n 。显然 2n ? 60n ? 800 此时不存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800 成立。 当 a n ? 4n ? 2 时, S n ?
2

n[2 ? (4 n ? 2)] ? 2n 2 2
2

令 2n ? 60n ? 800 ,即 n ? 30n ? 400 ? 0 , 解得 n ? 40 或 n ? ?10 (舍去) , 此时存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800 成立, n 的最小值为 41。

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综上,当 a n ? 2 时,不存在满足题意的 n ; 当 a n ? 4n ? 2 时,存在满足题意的 n ,其最小值为 41。

28【解析】(1) an bn ?1 ? an ?1bn ? 2bn ?1bn ? 0, bn ? 0
同时除以 bn ?1bn ,得到
an an?1 ? ? 2 ? 0 ……………………………………………………2 分 bn bn?1

?

an ?1 an ? ? 2 即: cn ?1 ? cn ? 2 ……………………………………………………3 分 bn ?1 bn
a1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列…………………………………4 分 b1

所以, ?cn ? 是首项为

所以, cn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ……………………………………………………5 分 (2)
cn ? an ? 2n ? 1 ,? an ? ? 2n ? 1? 3n ?1 ………………………………………6 分 bn
? ? 2n ? 3? ? 3n ? ? 2n ? 1? ? 3n ?1 ? ? 2n ? 3? ? 3n?1 ? ? 2n ? 1? ? 3n? 2 ………………………9 分

? Sn ? 1? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? ?3Sn ? 1? 33 ? 3 ? 34 ? 5 ? 35 ?

两式相减得:
?2Sn ? 32 ? 2 ? ?33 ? 34 ? ? 3n?1 ? ? ? 2n ?1? ? 3n?2 ? ?18 ? ? 2n ? 2? ? 3n?2 …………………11 分

? Sn ? 9 ? ? n ? 1? ? 3n ? 2 …………………12 分

29 解: (Ⅰ )∵ a1a2a3…an=

(n∈N ) ① ,当 n≥2,n∈N 时, ② ,

*

*

由① ② 知:

,令 n=3,则有

.∵ b3=6+b2,∴ a3=8. =4, 由题意知 an>0, ∴ q>0, ∴ q=2.
*

∵ {an}为等比数列, 且 a1=2, ∴ {an}的公比为 q, 则 (n∈N ) .又由 a1a2a3…an= , ,∴ bn=n(n+1) (n∈N ) . (Ⅱ ) (i)∵ cn= = =
* *



(n∈N )得:



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∴ Sn=c1+c2+c3+…+cn=

=

=

=



(ii)因为 c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;当 n≥5 时,





=

>0,得

, 所以,当 n≥5 时,cn<0,综上,对任意 n∈N 恒有 S4≥Sn,故 k=4
*

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