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数列的概念与简单表示方法


数列的概念与简单表示法 1
要点精讲
1.按照一定的顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。数 列中的每一项都与它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(也叫首项) ,排 在第二位的数称为这个数列的第 2 项??排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。数列:

a1 , a2 , a3 ,?, an ,

?,简记为 {an } 。
2.项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列。 3.从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第 2 项起,每一项都 小于它的前一项的数列叫做递减数列;各项相等的数列叫做常数列;从第 2 项起,有些项大 于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。 4. 数列可以看成以正整数集 N? (或它的有限子集 {1, 2, ? , n} 为定义域的函数 an ? f (n) 。 如果数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫 做这 个数列的通项公式。如三角形数依次构成的数列的通项公式 an ? 构成的数列的通项公式 an ? n2 。

1 n(n ? 1) ;正方形数依次 2

范例分析
例 1. (1)数列存在于现实生活,举出几个数列的例子。 (2)数列 2,5,7,8 和数列 5, 2,7,8 是同一数列吗? (3)下面的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? ①学生的学号由小到大构成的数列:1,2,3,4,? ,55。 ②“一尺之棰,日取其半,万世不竭”每日得棰长构成的数列:

1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

③某人 2004 年 1~12 月份的工资,按月份顺序排成的数列:1500,1500,1500,?, 1500。 ④ ?1 的 1 次幂,2 次幂,3 次幂,4 次幂??构成的数列: ?1 , 1 , ?1 , 1 ,?。

1 / 13

例 2.写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: (1) 1, ?

1 1 1 1 1 1 2 1 2 , ,? ; (2) 2,0, 2,0 ; (3) 1, , , ; (4) 1, 。 , , 2 3 4 3 5 7 2 2 4

引申:根据下面各数列的前几项的值,写 出数列的一个通项公式: (1) 7,77,777,7777, ??? (2) 1,3, 7,15,31, ??? (3) 1, ,

1 9 17 33 , , , ??? 3 35 63 99

例 3.用列表、图象和通项公式分别表示下列数列 (1) 2, 4, 6, ?, 2 n ,?。

[来源:Zxxk.Com]

(2) 1,3,9, ?, 3

n ?1

,?。

引申: (1)已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 ? 1,求证数列 {an } 为递增数列。
n (2)已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? ( ) ,求数列 {an } 的最大项。

3 4

例 4. (1)根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第 n 个图中有___________ 个点.



。。。

。 。 。 。 。 。 。
(3)
2 / 13

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
(4) (5)

(1)

(2)

(2) 两两相交的 n 条直线, 交点的个数最多是 an , 已知 an ? an2 ? bn ? c , 求常数 a, b, c 的 值。 (3)数列 2,3,5,8,13 ,?按规律判断 89,145 是否数列中的项。

规律总结 1.数列 {an } 与集合含义不一样,与函数概念有联系也有区别,可用函数观点来处理数列问 题。但数列问题也有特殊的处理方法,如数列单调性的证明。 2.数列的通项公式 an ? f (n) 相当与函数的解析式, n 为自变量, an 为函数值,函数中的 变量代换在数列中仍然成立,如 an2 ? f (n ) 。
2

3.根据数列的前几项,总结项与序号的关系,写出通项公式。

基础训练

一、选择题 1.在数列 1,1, 2,3,5,8,13, x,34,55 ,?中, x 的值是( A. 19



B. 20 C. 21 D. 22 10 13 16 2.数列 4 , ?1 , , ? , ,?的一个通项公式是( ) 17 31 49 n ?1 2n ? 1 n ?1 3n ? 1 n ?1 2n ? 1 A、(?1) B、(?1) C、(?1) 2 2 2n ? 1 2n ? 1 2n 2 ? 1

D、(?1)

n ?1

3n ? 1 2n 2 ? 1


3.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? log2 (3 ? n2 ) ? 2 ,那么 log2 3 是这个数列的( A.第 3 项 B.第 4 项 C.第 5 项 4.若一数列的前四项依次是 0, 2,0, 2 ,则下列式子中,不能作为它的通项公式的是( A. an ? 1 ? (?1)n
2 C. an ? 2 cos

D.第 6 项 )

B. an ? 1 ? (?1)n?1 D. an ? (1 ? cos n? ) ? (n ?1)(n ? 2)

n? 2

5.设数列 {an } , an ? A. 递增

na ,其中 a, b, c 均为正数,则此数列( nb ? c
C. 先增后减
3 / 13



B. 递减

D.先减后增

二、填空题 6.设数列 2, 5,2 2, 11, ,则 2 5 是这个数列的 .

7.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去 , 则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以 是 三、解答题 9.已知数列 {an } 的通项公式 an ? cn ? . 8.已知 an ? ?2n2 ? 9n ?1(n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项的值为____________.

d 3 ,且 a2 ? a4 ? ,求 a10 。 n 2

10.已知数列的通项公式为 an ?

n2 (n ? N ? ) 2 n ?1

(1) 0.98 是否是它的项? (2)判断此数列的增减性与有界性(注:有界数列指数列的项的数值在一个闭区间上) 。

能力提高

11.已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,则实数 ? 的取值范围是( A. ? ? ? 3 B. ? ? ?2 C. ? ? ?1 D. ? ? 0
a



12 . 设 函 数 f ( x) ? log 2 x ? log x 2 (0 ? x ? 1) , 数 列 {an } 的 通 项 an 满 足 f ( 2 n )? 2 n

(n ? N ? ) 。
(1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)试讨论数列 {an } 的单调性。

4 / 13

数列的概念与简单表示法 2
要点精讲

1.在 数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 1) ,由 a1 可计算出 a2 , a3 ,?,像这样给出 数列的方法叫做递推法,其中 an ? 2an?1 ? 1(n ? 1) 称为递推公式。递推公式也是数列的一 种 表示方法。 2.设数列 {an } 的前 n 项之和为 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 an ? ?

? S1 , n ? 1 。 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

?T1 , n ? 1 ? 3.设数列 {an } 的前 n 项之积为 Tn ? a1 ? a2 ????? an ,则 an ? ? Tn 。 ?T , n ? 2 ? n?1

范例分析

例 1. (1)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 1) ,写出数列 {an } 的前 5 项。 (2)在数列 {an } 中, a1 ? ?

1 1 (n ? 1) ,写出数列 {an } 的前 5 项。 , an ? 1 ? 4 an?1

例 2.已知数列 {an } , a1 ? 1 , an ?1 ?

an ( n ? N * ),写出这个数列的前 4 项,并根据规 1 ? 2 an

律,写出这个数列的一个通项公式,并加以验证。

5 / 13

例 3. (1)数列 {an } 的前 n 项之和 Sn ? 1 ? 2 ,求 an 。
n

(2)数列 {an } 的前 n 项之和 Sn ? n ? 2n ,求 an 。
2

(3)数列 {an } 的前 n 项之积 Tn ? 1 ? n ,求 an 。
2

2 例 4.设数列 {an } 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ?

? 3n?1 an ?

n ?1 (n? N * ) ,求 an 。 3

规律总 结

1.递推公式是数列的一种表示方法,利用数列的递推公式可以逐项求值。 2.递推公式与函数方程相类似。如 an ? 2an?1 ? 1 与 f (n) ? 2 f (n ? 1) ? 1 相类似。 3.由 Sn 或 Tn 求 an ,不能忘记讨论 n ? 1 。
[来源:学科网]

4.由 f (1)a1 ? f (2)a2 ???? ? f (n)an ? g (n) 求 an 与由 Sn 求 an 方法类似。

基础训练

一、选择题 1.在数列 {an } 中, an?1 ? an?2 ? an , a1 ? 2, a2 ? 5 ,则 a6 的值是( A. ? 3 B. ?11 C. ? 5 D. 19 )

6 / 13

2.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且满足 an ?1 ?

1 1 an ? ,则此数列的第三项是( 2 2n
D.



A. 1

B.

1 2

C.

3 4

5 8

3 .数列 ?an ? 满足 a n ? a n ?1 ? ( ) A.

1 , (n ? 1, n ? N ), a 2 ? 1, S n 是 ?an ? 的前 n 项和,则 S21 ? 2

9 2

B.

11 2

C. 6

D.10

n ?1 2 4.若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 5bn ? 4bn ,bn ? ( ) ,?an ? 的最大值为第 x 项,最小

2 5

项为第 y 项,则 x ? y 等于( A



3

B

4

C

5

D

6
an ? 3 ,则 a2008 ? ( 1 ? 3an
D. 3 )

5.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 3 ,且满足 an ?1 ?

A. ? 3 二、填空题

B. ?

3 3

C. 0

2 6.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 3n ,则 an ?



2 7 . 数 列 {an } 中 , a1 ? 1, 对 所 有 的 n ? 2 都 有 a1a2 a3 ?an ? n , 则 通 项 公 式 an ?

________



* 8.已知数列 ?an ? 对于任意 p,q ? N ,有 a p ? aq ? a p ?q ,若 a1 ?

1 ,则 a36 ? 9

三、解答题

[来源:Z+xx+k.Com]

9.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 ?an ? 的通项公式。

10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, a4 ? 23 ,且 an?1 ? ? an ? ? ,求实数 ? , ? 的值。
7 / 13

能力提高

11. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 3 , 且满足 an ?1 ? 则 ? n ?1 与 ?n 的递推关系是

an ? 3 , 若 an ? tan ?n( ?n 是弧度数) , 1 ? 3an

?, 12.设 ?an ? 是首项为1 的正项数列,且 ?n ? 1?an?1 ? nan ? an?1an ? 0?n ? 1,2,3,.....
2 2

(1)求 a2 , a3 , a4 , a5 ; (2)猜想数列 ?an ? 的通项公式,并加以验证。

8 / 13

数列的概念与简单表示法 1
例 1.分析:利用数列的概念和数列的分类等知识解题。 解: (1)略 (2)不是同一数列,因为数列与顺序有关。 (3)①为递增数列,②为递减数列,③为常数列,④为摆动数列 评注:数列与集合的区别 数列 集合 按照一定的顺序排列着的一列数 一些对象组成的总体 与数的顺序有关 与元素的顺序无关 一个数列的数可以重复 集合中的元素不能重复 数列分为有穷数列和无穷数列 集合分为有限集和无限集 例 2.分析:根据数列的前几项,总结项与序号的关系,写出通项公式。 (1) an ?

(?1) n ?1 1 2 n ?1 ; (2) an ? (?1)n?1 ? 1 ; (3) an ? ; (4) an ? ( ) 2n ? 1 n 2
7 (10n ? 1) 9
(2) an ? 2n ? 1 (3) an ?

引申: (1) an ?

2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1)

例 3.分析:数列是自变量为正整数的一类函数,用函数的表示法来表示数列。 解: (1) n 1 2 3 k ? ? 2 4 6 2k ? ?

an

图象略,通项公式为 an ? 2n (2)

n
an

1 1

2

[来

3 9

? ?

k
3k ?1

? ?

源:Zxxk.Com]

3

图象略,通项公式为 an ? 3n?1 引申: (1) an?1 ? an ? 2n ? 1 ? 0 , an?1 ? an ,所以数列 {an } 为递增数列 (2)

an ?1 n ? 1 3 数列 {an } 为递增数列, 所以当 n ? 4 ? ? ? 1 ,n ? 3 , 所以当 n ? 3 时, an n 4
81 为数列 {an } 的最大项。 64

时,数列 {an } 为递减数列,而 a3 ? a4 ?

例 4.分析:把规律概括出来,根据规律解决问题。
2 解: (1) n ? n ? 1; (2) a ?

1 1 ,b ? ? ,c ? 0 ; (3) 89 是, 145 不是 2 2
9 / 13

评注:列出前几项找规律是求通项公式的关键一 步。

基础训练 1.C 2.D

3.A

4.D

5.A

6.第七项

7. 2 n ? 1

8. 9

d 3 ? 1 2c ? ? , ? ? ?c ? , ? 2 2 9.由题意知 ? 解得 ? 4 d 3 ?4c ? ? , ? ?d ? 2. ? ? 4 2
∴an ?

1 2 27 n ? ,∴a10 ? 。 4 n 10

10. (1)设

n2 ? 0.98 ,得 n ? 7 , 0.98 是数列的第 7 项; n2 ? 1

(n ? 1)2 n2 2n ? 1 (2)∵ an?1 ? an ? ? 2 ? ? 0 ,∴ an?1 ? an , 2 (n ? 1) ? 1 n ? 1 [(n ? 1)2 ? 1](n2 ? 1)
∴数列 {an } 是递增数列, ∴当 n ? 1 时, an 有最小值

1 , 2

又 an ? 1 ,所以 an ? [ ,1] ,∴数列 {an } 是有界数列。
? 11.A 提示: an?1 ? an ? 2n ? 1 ? ? ? 0 对任意 n ? N 成立,∴ 3 ? ? ? 0 , ? ? ?3

1 2

12. (1)由 f (2 n ) ? 2n ,得 an ?
a

1 ? 2n , an2 ? 2nan ?1 ? 0 , an ? n ? n 2 ? 1 an
an

∵ f ( x ) 的定义域 {x | 0 ? x ? 1} ,∴ 0 ? 2
2 ∴ an ? n ? n ? 1

? 1 ,∴ an ? 0 ,

(2)∵ an ? n ? n 2 ? 1 ?

?1 n ? n2 ? 1



∴ an?1 ? an ?

1

n ? n2 ? 1 n ? 1 ? (n ? 1)2 ? 1

?

1

? 0 ,∴ an?1 ? an

∴数列 {an } 为递增数列。

10 / 13

数列的概念与简单表示法 2
例 1.分析:利用数列的递推公式逐项求值。 解: (1) a1 ? 1, a1 ? 3, a1 ? 7, a1 ? 15, a1 ? 31 。 (2) a1 ? ?

1 4 1 , a2 ? 5, a3 ? , a4 ? ? , a1 ? 5 4 5 4

例 2.分析:利用数列的递推公式逐项求值,并根据前 4 项的特点,寻找规律,猜想数 列的通项公式,再给予验证。 解: a1 ? 1 , a2 ?

1 1 1 1 , a3 ? , a4 ? ,猜想 an ? 。 3 5 7 2n ? 1
1 1 an 1 ? 2n ? 1 ? ? ,而 2 1 ? 2 an 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

证明:假设 an ?

1 ,则 an ?1 2n ? 1

例 3. (1) an ? ?

? 3, n ? 1 ; n ?1 ?2 , n ? 2

(2) an ? ?

? ?1, n ? 1 ,两段可合并,得 an ? 2n ? 3 ( n ? N * ) ?2n ? 3, n ? 2

2, n ? 1 ? 1 ? n2 ? 2 a ? n? N * ) a ? (3) n ? 1 ? n ,两段可合并,得 n 2 ( , n ? 2 1 ? ( n ? 1) ?1 ? ( n ? 1) 2 ?
评注: Sn ? 1 ? n 和 Tn ? 1 ? n 是数列中较简单也最常见的递推公式,要学会求这种递
2 2

推公式下的数列的通项公式。 例 4.解:对于 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ?

? 3n?2 an?1 ? 3n?1 an ?

n ?1 , 3



n ? 1 时, a1 ?

2 , 3

当 n ? 2 时,以 n ? 1 代换 n ,得

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ?
由① ? ②,得 3
n ?1

? 3n?2 an?1 ?
an ?

(n ?1) ?1 , 3



1 1 ,∴ an ? n 3 3

11 / 13

?2 ,n ?1 ? ?3 ∴ an ? ? ? 1 ,n ? 2 ? ? 3n
基础训练 1.A 2 .C 3.A 提示:因为 a2 ? 1 ,所以 a1 ? ?

1 , 2 9 2
2

故 S21 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? ? a4 ? a5 ? ?

? ? a20 ? a21 ? ?

?2? 4.A 解:令 t ? ? ? ?5?
所以当 t ? 5.D 6. an ? 4n ? 5

n ?1

? 2? 4 ? ? 0,1? ,则 an ? 5t ? 4t ? 5 ? t ? ? ? , ? 5? 5
2

2 ,即 n ? 2 时, an 达到最小值;当 t ? 1 ,即 n ? 1 时, an 达到最大值。 5

( n ? 1) ?1 ? 7. an ? ? n 2 ? ( n ? 1) 2 (n ? 2) ?
8. 4 提示:令 q ? 1 ,则 ap?1 ? a p ? a1 ,所以 an ? na1 ,故 a36 ? 4 。
n?1

9.由 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 得 Sn ? 1 ? 2 当 n ? 1 时, a1 ? 2 ?1 ? 3 ,
2

,则 Sn ? 2

n?1

?1 ,

当 n ? 1 时, an ? Sn?1 ? Sn ? 2 ∴ an ? ?

n?1

? 2n ? 2n ,

? 3 (n ? 1) n ?2 (n ? 2)

? a2 ? ? a1 ? ? 2? ? ? ? 5 ? ? 2 10. ? a3 ? ? a2 ? ? ,得 ? 2 ,消去 ? ,得 5? ? (? ? 1)(5 ? 2? ) ? 23 ?5? ? ?? ? ? ? 23 ?a ? ? a ? ? 3 ? 4

? ? 2 或 ? ? ?3
∴?

?? ? 2 ?? ? ?3 或? ? ? ? 1 ? ? ? 11

11. ? n ?1 ? ? n ?

?
3

? k? , k ? Z
12 / 13

12. (1)计 算 a2 ?

1 1 1 1 1 , a3 ? , a4 ? , a5 ? ,猜想 an ? 。 2 3 4 5 n 1 1 ,则 an ?1 ? , n n ?1

(2)假设通项公式 an ?
2 2

代入 ? n ?1? an?1 ? nan ? an?1an ? 0 中等式成立。

13 / 13


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