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高二数学周练10教师版


高二数学周练 10 教师版
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1、若集合 A ? {x | 2 ? 2x ? 8} ,集合 B ? {x | log2 x ? 1} ,则集合 A

B ? ______. (2,3]

1 2 2 3、△ ABC 中,三内角 A 、

B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 B ? 60? ,不等式 ? x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | a ? x ? c} ,则 b ? __ ___. 2 3 3 2 4、存在实数 x ,使得 x ? 4bx ? 3b ? 0 成立,则 b 的取值范围是__ __. b ? 或b ? 0 4 (- , +? ) 2、函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________.
2 ? ? x ? 2ax, x ? 2 5、已知函数 f ( x ) ? ? x ,若 f ( f (1)) ? 3a 2 ,则 a 的取值范围是(-1,3). ? ?2 ? 1 , x ? 2

提示:由题知, f (1) ? 2 ? 1 ? 3, f ( f (1)) ? f (3) ? 32 ? 6a ,若 f ( f (1)) ? 3a 2 , 则 9+ 6a ? 3a ,即 a ? 2a ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 3 . 6、已知数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…}的首项是 1,随后两项都是 2,接下来 3 项都是 3,再接下来 4
2 2

项都是 4,…,以此类推,若 an?1 ? 20, an ? 21 ,则 n = 211 . 提示:∵ n ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ?

? 20 ?

20 ? (1 ? 20) ? 210 ,? n ? 211 . 2

x,y) 在曲线 y ? f '( x) 上运动, 7、 若函数 f ( x) ? 4ln x , 点 P( 作 PM ? x 轴, 垂足为 M , 则△ POM ( O
为坐标原点)的周长的最小值为______ . 4 ? 2 2
3 2 8、已知 f ( x) ? x ? x f '(1) ? 3xf '(?1) ,则 f '(1) ? f '(?1) 的值为___

.?

3 4

?2 x ? y ? 4 n?m ? 9、若动点 P ( m, n) 在不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域内部及其边界上运动,则 t ? 的取值范围 m ?1 ?y ? 0 ?
是 . [? ,4]

2 3

11、已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) ? 范围为___ ___. (

1 3 1 x ? | a | x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹角 3 2

?
3

,? ]

ax (a? 0 12 、 设 函 数 f ( x)? , 且 a ? 1) , [ m ] 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 , 则 函 数 1? ax
1 1 [ f ( x) ? ] ? [ f (? x) ? ] 的值域是_ 2 2
___ . {?1, 0}

13、 各项都为正数的数列 ?an ? , 其前 n 项的和为 Sn ,且 Sn ? ( Sn?1 ? a1 )2 (n ? 2) , 若 bn ?

an?1 an , ? an an?1

且数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn ,则 Tn = 提示: Sn ? Sn?1 ?

4n 2 ? 6n . 2n ? 1

S1 , Sn ? n S1 , Sn ? n2 a1 ,

2n ? 1 2n ? 1 2 2 ? ? 2? ? , 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 2 2 2 2 Tn ? (2 ? ? ) ? (2 ? ? ) ? ? (2 ? ? ) 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ?1)a1 , bn ?

? 2n ? 2 ?

2 4n 2 ? 6n ? . 2n ? 1 2n ? 1
1 ? 3 在 区 间 ( 0,?? )上 有 且 仅 有 一 个 解 , 那 么 实 数 a 的 取 值 范 围 为 x2

14 、 如 果 关 于 x 的 方 程 ax ? ______. a ? 2或a ? 0 二、解答题 15、 已知关于 x 的不等式

x?2 ? 0. x ? (1 ? a) x ? a
2

(1)当 a ? 2 时,求此不等式的解集; (2)当 a ? ?2 时,求此不等式的解集. 解:(1) 当 a ? 2 时,不等式可化为

x?2 ? 0 ,所以不等式的解集为 ?x | ?2 ? x ? 1或x ? 2?. ( x ? 1)(x ? 2)

(2) 当 a ? ?2 时,不等式可化为

x?2 ? 0, ( x ? 1)(x ? a)

当 ? 2 ? a ? 1 时,解集为 x | ?2 ? x ? a或x ? 1 ; 当 a ? 1 时,解集为 ?x | x ? ?2且x ? 1?;

?

?

当a ? 1 时,解集为 ?x | ?2 ? x ? 1或x ? a?.

16、在 ? ABC 中,C-A= (1)求 sinA 的值;

? 1 ,sinB= . 3 2

(2)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力.本题属容易题. 【参考答案】 (1)由 A ? B ? C ? ? 及 C ? A ?

? ? ? ,得 2 A ? ? B ,故 0 ? A ? , 2 4 2

并且 cos 2 A ? cos(

?

1 3 ? B ) ? sin B ,即1 ? 2 sin 2 A ? ,得 sin A ? . 2 3 3

(2)由(1)得 cos A ?

AC BC 6 ? .又由正弦定理得 , sin B sin A 3

所以 BC ?

AC ? sin A ? ? 6 ? 3 2 .因为 C ? ? A ,所以 sin C ? sin( ? A) ? cos A ? . sin B 2 2 3

因此, S?ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ? 3 2. 2 2 3

17、请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等 的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的 包装盒.点 E、F 在 AB 上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2) 若厂商要求包装盒的容积 V(cm )最大, 试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
3 2

D

C

P

A

x

E

F

x

B

(第 17 题)

【解析】本题主要考查函数的概念、导数等基础知识,考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力 及解决实际问题的能力.本题属中等题. 【参考答案】 设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm).由已知得 a ?

2x ,h ?

60 ? 2 x 2

? 2(30 ? x) , 0 ? x ? 30.

2 (1) S ? 4ah ? 8x(30 ? x) ? ?8( x ? 15) ? 1800 ( 0 ? x ? 30 ) ,所以当 x=15 时,S 取得最大值.

(2) V ? a2 h ? 2 2(?x3 ? 30x2 )(0 ? x ? 30) , V ' ? 6 2x(20 ? x) . 由 V ' ? 0 得 x ? 0 (舍) ,或 x ? 20.

当 0 ? x ? 20 时, V ' ? 0 , V 递增;当 20 ? x ? 30 时, V ' ? 0 , V 递减. 所以当 x ? 20 时,V 取得极大值,此时

a 1 ? . h 2 1 . 2

由题设的实际意义可知 x ? 20 时,V 取得最大值,此时包装盒的高与底面边长的比值为 答案: (1)x=15cm 时包装盒的侧面积 S(cm )最大;
3 (2) x ? 20 cm 时包装盒的容积 V(cm )最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为 2

1 . 2

因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 50 3 .

18、椭圆 C:

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1 ? F1 F2 ,且 PF1 ? , 2 2 a b

F1 F2 ? 2 3 .
(1)求椭圆 C 的方程. (2)以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC, 这样的直角三角形是否存在?若 存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由. 解:(1)? F1 F2 ? 2 3 ? c ?

3 ,又 PF1 ? F1 F2 ,
? 49 7 , PF2 ? , 4 2

? PF2

2

? PF1 ? F1 F2

2

2

2 2 2 ? 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 4, 则a ? 2, b ? a ? c ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 ? 所求椭圆 C 的方程为 4 .
(2)假设能构成等腰直角三角形 ABC,其中 B(0,1) ,由题意可知,直角边 BA, BC 不可能垂直或平行于

x 轴,故可设 BA 边所在直线的方程为 y ? kx ? 1 , (不妨设k ? 0) , 则 BC 边所在直线的方程为
1 y ? - x ? 1. k
由?

? y ? kx ? 1 ,
2 2 ? x ? 4 y ? 4,

得 x1 ? 0(舍),x2 ? ?

8k 8k 8k 2 , 故 A(? ,? ? 1) , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? AB ? (?

2 8k 2 8k 2 2 8 k 1 ? k ) ? ( ? ) ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

用-

1 8 1? k 2 , 代替上式中的 k ,得 BC ? k 4? k2

(4 ? k ) ? 1 ? 4k , 由 AB ? BC , 得 k
2 2

即 k 3 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 0, 即 (k ? 1)(k 2 ? 3k ? 1) ? 0,

? k ? 0, ? 解得k ? ?1或k ?

?3? 5 , 2

故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形. 19、(1) 已知两个等比数列 ?an ? , ?bn ? ,满足 a1 ? a(a ? 0), b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2,

b3 ? a3 ? 3 .若数列 ?an ? 唯一,求 a 的值;
(2) 是否存在两个等比数列 ?an ? , ?bn ? ,使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差不为 0 的等差数 列?若存在,求 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;若不存在,说明理由. 解:(1)设 ?an ? 的公比为 q ,则 b1 ? 1 ? a, b2 ? 2 ? aq, b3 ? 3 ? aq 2 . 由 b1 , b2 , b3 成等比数列得 (2 ? aq)2 ? (1 ? a)(3 ? aq2 ) , 即 aq2 ? 4aq ? 3a ? 1 ? 0 .( ? )
2 由 a ? 0 得 ? ? 4a ? 4a ? 0 ,故方程( ? )有两个不同的实根.

再由 ?an ? 唯一,知方程必有一根为 0,将 q ? 0 代入方程得 a ?

1 . 3

(2) 假设存在两个等比数列 ?an ? , ?bn ? ,使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差不为 0 的等差数列, 设 ?an ? 的公比为 q1 , ?bn ? 的公比为 q2 . 则 b2 ? a2 ? b1q2 ? a1q1 ,

b3 ? a3 ? b1q22 ? a1q12 , b4 ? a4 ? b1q23 ? a1q13 .
由 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成等差数列得
2 2 ? ?2(b1q2 ? a1q1 ) ? b1 ? a1 ? (b1q2 ? a1q1 ), ? 2 2 3 3 ? ?2(b1q2 ? a1q1 ) ? b1q2 ? a1q1 ? (b1q2 ? a1q1 ).

2 2 ? (*) ?b1 (q2 ? 1) ? a1 (q1 ? 1) ? 0, 即? 2 2 ? ?b1q2 (q2 ? 1) ? a1q1 (q1 ? 1) ? 0. (**)

(*) ?q2 -(**)得 a1 (q1 ? q2 )(q1 ?1)2 ? 0 . 由 a1 ? 0 得 q1 ? q2 或 q1 ? 1 . 当 q1 ? q2 时,由(*) (**)得 b1 ? a1 或 q1 ? q2 ? 1 ,这时 (b2 ? a2 ) ? (b1 ? a1 ) ? 0 ,与公差不为 0 矛盾. 当 q1 ? 1 时,由(*) (**)得 b1 ? 0 或 q2 ? 1 ,这时 (b2 ? a2 ) ? (b1 ? a1 ) ? 0 ,与公差不为 0 矛盾. 综上所述,不存在两个等比数列 ?an ? , ?bn ? ,使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差不为 0 的等差数 列. 20、已知函数 f 1( x ) ?

mx 1 x?m , f 2( x) ? ( ) ,其中 m ? R且m ? 0 . 2 2 4 x ? 16

(1)判断函数 f 1 ( x ) 的单调性;

? f1 ( x) ? f( (2)若 m ? ?2 ,求函数 f ( x) 2 x) ( x ? ?? 2,2?) 的最值;
(3)设函数 g ( x) ? ?

? f 1 ( x), x ? 2 ,当 m ? 2 时,若对于任意的 x1 ? ?2,??? ,总存在唯一的 x2 ? ?? ?,2? , ? f 2 ( x), x ? 2

使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,试求 m 的取值范围. 解: (1) f ?1( x) ?

m(4 ? x 2) , 则当 m ? 0 时,知函数 f 1 ( x) 在 (?2,2) 上单调递增,在 ?? ?,?2? 及 (2,??) 上 (2 x 2 ? 8) 2

单调递减;当 m ? 0 时,知函数 f 1 ( x ) 在 (?2,2) 上单调递减,在 ?? ?,?2? 及 (2,??) 上单调递增.
x?m ? 2m ? ( ) x . (2)由 m ? ?2,?2 ? x ? 2 ,可得 f 2( x) ? ( )

1 2

1 2

? f ( x) ? f1 ( x) ? f( 2 x) ?

mx 1 ? 2m ? ( ) x . 2 2 4 x ? 16

由(1)知,当 m ? ?2 , ? 2 ? x ? 2 ,函数 f 1 ( x ) 在 ?? 2,2? 上是减函数,
m x 而函数 f 2( x) ? 2 ? ( ) 在 ?? 2,2? 上也是减函数,
m 故当 x ? ?2 时,函数 f ( x) 取得最大值 4 ? 2 ?

1 2

m m , 即2 m ? 2 ? . 16 16

m?2 ? 当 x ? 2 时, 函数 f ( x) 取得最小值 2

m . 16

(3)当 m ? 2 时,由于 x1 ? 2 ,则 g ( x1 ) ? f1 ( x1 ) ? 由(1)知,此时函数 g ( x1 ) 在 ?2,??? 上是减函数,

m x1 4 x1 ? 16
2



(0,f 1(2)],即 g ( x1 ) ? (0, ] 从而 g ( x1 ) ?
若 m ? 2 时,由于 x2 ? 2 , 则 g ( x2 ) ? f 2 ( x2 ) ? ( )

m 16

1 2

x2 ? m

=( )

1 2

m ? x2

m =( ) ?2 2 , x

1 2

(0,f 2(2)),即 g ( x 2 ) ? (0, ( ) m?2 ) . 易知 g ( x2 ) 在 ?? ?,2?上单调递增,从而 g ( x 2 ) ?
要使 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,只需 设 h ( m) ?

1 2

m 1 m 1 ? ( ) m ? 2 ,即 ? ( ) m ? 2 ? 0 成立即可, 16 2 16 2

m 1 ? ( ) m ? 2 , 则易知函数 h(m) 在 ?2,??? 上单调递增,且 h(4) ? 0 , 16 2

故 m ? 4 ,所以 2 ? m ? 4 .


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