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2007年上海市TI杯高二年级数学竞赛个人赛试题


杯高二年级数学竞赛个人赛试题 2007 年上海市 TI 杯高二年级数学竞赛个人赛试题
(2007 年 5 月 20 日上午 9:00~10:30) 题 号 得 分 评卷人 复卷人 一 二 三 四 总 分

准考证号

一、填空题(共 8 小题,前 4 小题每题 6 分,后 4 小题每题 9 分,满分 60 分) 1 1、连分数 3 + 的值为 (精确到 10?9 ) . 1 7+ 1 15 + 1 1+ 292

性别 线

7 2007 + 1310 = 2、计算: 2007513
年级

(精确到 0.001) .
1571-1630)第三定律:行星公转周期的

3、利用“开普勒( 【德】Kepler.J


平方和它们离太阳的平均距离的立方成正比. 可以计算太阳系中行星绕 ” 太阳一周所需要的时间 (即公转周期) 如果设地球离太阳的平均距离 α1 = 1 . 个天文单位,已知地球绕太阳的公转周期 T1 = 365.26 天,火星离太阳的平

姓名

均距离 α 2 = 1.524 个天文单位,那么火星的公转周期 T2 =
0.01 天) ,合 4、使得



天(精确到

年(精确到 0.001 年) . 个.

n 是完全平方数的正整数 n 有 100 ? n

学校

5、直线 y = x 与在区间 ( ?π , 0 ) 及 ( 0, π ) 上函数 y = cot x 的图像分别交于 A,B

两点,那么线段 AB 的长等于

(精确到 0.01) . . 个.

6、计算: ( 3 + tan1° )( 3 + tan 2° ) L ( 3 + tan 29° ) =
7、底面直径为 4,高为 18 的封闭圆柱,装半径为 1 的球,至多能装

?1 < x < 2 , ? 2 ?2 < x < 3, ? 8、不等式组 ?3 < x3 < 4, 的解集非空,则正整数 n 的最大值为 ? LL ? ?n < x n < n + 1 ?
解答以下三题必须写出解题的必要步骤.
1



二、 (本题满分 20 分) 求正整数 n,使得 [ log 3 1] + [ log3 2] + [ log 3 3] + [ log3 4] + L + [ log3 n ] = 2007 , 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数. 三、 (本题满分 20 分) 如图,正方形 ABCD 内接于椭圆,正方形 EFGH 和 正方形 IJHK 中的顶点 E,F,I 在椭圆上,顶点 K,H,G 在边 AB 上,顶点 J 在边 HE 上. 已知正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的面积比为 4∶1, 求正方形 IJHK 与正方形 EFGH 的面积比(精确到 0.001) .
y D
K H

A
I E J

O
G

x
F

C

B

四、 (本题满分 20 分)我们知道, 也得

49 1 约分后是 ,但按下面的方法,居然 98 2

1 49 4 1 : = = .试求出所有分子和分母都是十进制两位正整数,分子的个 2 98 8 2

位数与分母的十位数相同,且具有上述“奇怪”性质的真分数

2


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