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函数的三要素(复习+习题)


函数的三要素

1. 映射 f : A ? B 的概念。
一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法 则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确 定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f: ? B 为从集合 A 到集合 B A 的一个映射。记作“f:A ? B” 。

在理解映射概

念时要注意: ⑴ A 中元素必须都有象且唯一; ⑵ B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
例 1.设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的映射,下列说法正确的是 ( )

A、 M 中每一个元素在 N 中必有象 B、 N 中每一个元素在 M 中必有原象 C、 N 中每一个元素在 M 中的原象是唯一的 D、 N 是 M 中所在元素的象的 集合 例 2. 设 f : x ? x 2 是集合 A 到集合 B 的映射,若 B={1,2},则 A ? B 一定是 _____

2. 函数 f : A ? B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都 是非空数集
例 1.已知函数 f ( x) ,x ? F , 那么集合 {( x, y) | y ? f ( x), x ? F} ? {( x, y) | x ? 1} 中 所含元素的个数有 个

3. 函数的三要素 定义域、值域、对应法则

(1) 定义域 (在研究函数问题时要树立定义域优先的原则)
例1
1? x2 求 y? 2 2x ? x ? 1

的定义域

例2

函数 f ( x) 的定义域是 [a, b] , ? ?a ? 0 , 则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的 b (答: [a, ?a] )

定义域是__________

(2)值域(最值)
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依
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解析式的特点分可分三类:(1)求常见函数值域;(2)求由常见函 数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而 得函数的值域。
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①直接法:利用常见函数的值域来求: 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ? (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; 二次函数
f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为

k x

R,
2

当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };
4a

当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }
2

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4a

②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常
转化为型如: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式; 二次函数在给出区间上的最值有两类: 一是求闭区间 [m, n] 上的最 值;二是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题

例 1 求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域(答:[4,8]) 例 2 当 x ? (0,2] 时,函数 f ( x) ? ax 2 ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最
1 2

大值,则 a 的取值范围是___(答: a ? ? )

③分式转化法(或改为“分离常数法”; ) ④换元法:通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的
函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型; 例1 例2 例3 例4
y ? 2sin 2 x ? 3cos x ? 1的值域为_____(答: [?4,
17 ]) 8

y ? 2 x ? 1 ? x ? 1 的值域为_____(答: (3, ??) )

1 y ? sin x ? cos x ? sin x? x 的值域为____(答: [?1, ? 2] ) cos 2
y ? x ? 4 ? 9 ? x2

的值域为____(答: [1,3

2 ? 4] )

运用换元法时,要特别要注意新元 t 的范围

⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函 数有界性来求值域
例1 y? 例2y? 例3y?
2sin ? ? 1 1 ? sin ?

3x 1 ? 3x
2sin ? ? 1 1 ? cos ?

(答: (??, ] 、 (0,1) (??] 、 ,

1 2

3 ) ; 2

⑥基本不等式法:

1.转化成型如:y ? x ? k (k ? 0) , 利用平均值不等式公式或者对
x

勾函数来求值域;
2.利用基本不等式 a ? b ? 2
ab (a, b ? R ? ) 求函数的最值,其题型特征

解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有 时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧 例 设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比数列,则
( a1 ? a 2 ) 2 的 b1b2

取值范围是____________.(答: (??,0] ? [4, ??) )

⑦单调性法: 函数为单调函数, 可根据函数的单调性求值域, 注意利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调
性。 例 1 y ? x ? (1 ? x ? 9) 例 2 y ? sin 2 x ?
9 80 11 ,的值域为______(答: (0, ) 、 [ ,9] ) 2 1 ? sin x 9 2 1 x

⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来 求值域:函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直
线斜率

⑨逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取 值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围;常用来解,型如:
y? ax ? b , x ? (m, n) cx ? d

⑩判别式法:对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通 用,但这类题型有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式 法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不等式 1. y ? 例 2. 例 3. 例
b 型,可直接用不等式性质 k ? x2 3 3 求y? 的值域(答: (0, ] ) 2 2? x 2 bx 型,先化简,再用均值不等式 y? 2 x ? mx ? n 1 1 x 求y? 的值域(答:[? , ] 2 2 2 1? x 2 x ? m?x ? n? y? 型,可用判别式法或均值不等式法 mx ? n x2 ? x ? 1 求y? 的值域(答: (??, ?3] ? [1, ??) ) x ?1

(3)对应法则

3.函数相等的判定:当且仅当两个函数的定义域和对应法则都
分别相同时,这两个函数才是同一个函数
例 下面各组函数中为相同函数的是( A. f ( x) ? ( x ? 1) 2 , g ( x) ? x ? 1 B. f ( x) ? x 2 ? 1, g ( x) ? x ? 1 x ? 1 C. f ( x) ? ( x ? 1) 2 , g ( x) ? ( x ? 1) 2 D. f ( x) ? ) D

x2 ?1 , g ( x) ? x?2

x2 ?1 x?2


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