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高中数学三角函数诱导公式


公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)

公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα +α)=cotα c

os(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π

公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα α)=-cotα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-

公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα -α)=-cotα tan(π-α)=-tanα cot(π

公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα tan(2π-α)=-tanα cos(2π-α)=cosα cot(2π-α)=-cotα

公式六: π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα tan(π/2+α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα tan(π/2-α)=cotα sin(3π/2+α)=-cosα tan(3π/2+α)=-cotα sin(3π/2-α)=-cosα tan(3π/2-α)=cotα (以上 k∈Z) 注意:在做题时,将 a 看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值, cos(π/2+α)=-sinα cot(π/2+α)=-tanα cos(π/2-α)=sinα cot(π/2-α)=tanα cos(3π/2+α)=sinα cot(3π/2+α)=-tanα cos(3π/2-α)=-sinα cot(3π/2-α)=tanα

①当 k 是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到α相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot

→→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4?π/2-α) ,k=4 为偶数,所以取 sinα。 当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°) ,sin(2π-α)<0,符号为“-” 。 所以 sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时,角 k?360°+α(k∈Z) ,-α、180°±α,360° -α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割) ; 三两切;四余弦(正割) ” . 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+” ; 第二象限内只有正弦是“+” , 其余全部是“-” ; 第三象限内切函数是“+” ,弦函数是“-” ;第四象限内只有余弦是“+” ,其余全部 是“-” . 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦 同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα?cotα=1 α 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法: (参看图片或参考资料链接) 构造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中间 1”的正六边形为模型。 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 cosα/sinα=cotα=cscα/sec

商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα

(1)倒数关系:对角线上两个函数互为倒数; (2)商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘 积。 (主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积) 。由此,可得商数关系式。 (3)平方关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等 于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ β cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ sinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsin

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα?tanβ) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 另也有 tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα) 万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] /2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 万能公式推导 附推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α) )??*, (因为 cos^2(α)+sin^2(α)=1) cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α

再把*分式上下同除 cos^2(α) ,可得 sin2α=2tanα/(1+tan^2(α) ) 然后用α/2 代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)] 三倍角公式推导 附推导: tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α) )/(cos^3(α)-cosα sin^2(α)-2sin^2(α)cosα) 上下同除以 cos^3(α) ,得: tan3α=(3tanα-tan^3(α) )/(1-3tan^2(α) ) sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α) )sinα =2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3 (α) =3sinα-4sin^3(α) cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα =(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α) =2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α) ) =4cos^3(α)-3cosα 即 sin3α=3sinα-4sin^3(α) 三倍角公式联想记忆 ★记忆方法:谐音、联想 正弦三倍角: 3元 减 4元3角 (欠债了 (被减成负数) , 所以要 “挣钱” (音似 “正弦” ) ) 余弦三倍角:4 元 3 角 减 3 元(减完之后还有“余” ) cos3α=4cos^3(α)-3cosα

☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。 ★另外的记忆方法: 正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是“3 倍”sinα, 无指的是减 号, 四指的是“4 倍” , 立指的是 sinα立方 余弦三倍角: 司令无山 与上同理 和差化积公式 三角函数的和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]?cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]?sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]?cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]?sin[(α-β)/2] 积化和差公式 三角函数的积化和差公式 sinα?cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα?sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα?cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα?sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式推导 附推导: 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b) )/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b) )/2 同样的, 我们还知道 cos (a+b) =cosa*cosb-sina*sinb, cos (a-b) =cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b) )/2 同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b) )/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b) )/2 /2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b) )

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b) )/2 /2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b) )

有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式。 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin( (x+y)/2)*cos( (x-y)/2) ( (x-y)/2) cosx+cosy=2cos( (x+y)/2)*cos( (x-y)/2) *sin( (x-y)/2) sinx-siny=2cos( (x+y)/2)*sin cosx-cosy=-2sin( (x+y)/2)


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