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古典概型的特征和概率计算公式 教学


北师大版高中数学必修 3

§ 2.1 古典概型的特征和概率计算公式

教学设计

陕西宝鸡石油中学

2012 年 5 月

§ 2.1 古典概型的特征和概率计算公式
陕西宝鸡石油中学 沈涛 邮编 721002

一、教材分析
本节课是高

中数学北师大版(必修 3)第三章概率的第二节古典概型的第一 课时,是在随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教 学的。古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论 中占有相当重要的地位。 学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础, 同时有利于理解概率的概念, 有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题.根据本节课的内容 和学生的实际水平, 通过模拟试验让学生理解古典概型的特征:试验结果的有限 性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,归纳总结出古典概型 的概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列举法,学会运用数形结合、分 类讨论的思想解决概率的计算问题。 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义, 加强与实际生活 的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象。 适当地增加学生合作学习交流 的机会,尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生 在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学 态度和锲而不舍的求学精神。

二、教学目标
1.知识与技能 (1) 通过实例,理解古典概型及其概率计算公式; (2)理解古典概型的特征: 实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性; (3)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 2.过程与方法 根据本节课的内容和学生的实际水平, 通过两个试验的观察让学生理解古典 概型的特征: 试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比骰 子试验,归纳总结出古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列 举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。 3.情感态度与价值观 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义, 加强与实际生活 的联系, 以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流 的机会, 尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生 在体会概率意义的同时, 感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学 态度和锲而不舍的求学精神。
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三、重点、难点
重点:古典概型的特征及概率计算公式应用。 难点:如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事 件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

四、教学过程
教 学 环 节

教学内容
试验 1:掷一枚质地均匀的硬币,观察 出现哪几种结果? 试验 2:抛掷一颗均匀的骰子一次,观 察出现的点数有哪几种结果? 1.基本事件的概念 一次试验可能出现的每一个结果 称为 一个基本事件。 如:试验 1 中的“正面朝上” 、 “正面 朝下” ;试验 2 中的出现“1 点” 、 “2 点” 、 “3 点” 、 “4 点” 、 “5 点” 、 “6 点” 2.问题 1: (1)在一次试验中,会同时 出现“1 点”和“2 点”这两个基本事 件吗? (2 )事件“出现偶数点”包含了哪几 个基本事件? 由如上问题,分别得到基本事件如下的 两个特点: (1)任何两个基本事件是互斥的; (2 )任何事件(除不可能事件)都可 以表示成基本事件的和。

师生互动
教师创设问题情 境,为导入新知做准 备。 学生感悟体验,思 考回答。引出基本事 件的概念,结合试验 中结果理解基本事件 的概念。

设计意图
问题是数学的心脏, 随着问题的提出,激 发了学生的求知欲 望,提高学生的学习 积极性,提高学习数 学的兴趣。

以 境 激 情

学生回答两个问题, 教师适时引出基本事 件的两个特点,并加 以说明,加深新概念 的理解。

问题的引导可以使学 生更好的把握问题的 关键。 让学生从问题的相同 点和不同点中找出研 究对象的对立统一 面,这能培养学生分 析问题的能力,同时 也教会学生运用对立 统一的辩证唯物主义 观点来分析问题的一 种方法。 将数形结合和分类讨 论的思想渗透到具体 问题中来。由于没有 学习排列组合,因此 用列举法列举基本事 件的个数,不仅能让 学生直观的感受到对 象的总数,而且还能 使学生在列举的时候

研 探 论 证
3. 例 1. 从字母 a,b,c,d 中任意取出两个 不同字母的试验中,有哪些基本事件? 分析:为了解基本事件,我们可以用列 举法把所有可能的结果都列出来。画树 状图是列举法的基本方法,一般分布完 成的结果(两步或两步以上)可以用树状 图进行列举。 初步感知,熟悉构成 任何事件的基本事 件。 先让学生尝试着列出 所有的基本事件,教 师再讲解用树状图列 举问题的优点。

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解:所求的基本事件共有 6 个:
, , , , ,

作到不重不漏。解决 了求古典概型中基本 事件总数这一难点。

4.问题 2:以下每个基本事件出现的概 率是多少? 试验 1:P( “正面朝上” )=P( “反面朝 上” )= 让学生先观察对比, 试验 2:P( “1 点” )=P( “2 点” )=P 找出两个试验的共同 ( “3 点” )=P( “4 点” )=P( “5 点” ) 特点,再概括总结得 1 到的结论,教师最后 =P( “6 点” )= 补充说明。 6 5.问题 3:观察对比,找出试验 1 和试 验 2 的共同特点:

1 2

培养运用从具体到抽 象、从特殊到一般的 辩证唯物主义观点分 析问题的能力,充分 体现了数学的化归思 想。 启发诱导的同时, 训练了学生观察和概 括归纳的能力。通过 用表格列出,能让学 生很好的理解古典概 型。从而突出了古典 概型这一重点。

研 探 论 证

经观察,概括总结后得到: (1 )试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个; (有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等。 (等可能性) 我们将具有这两个特点的概率模型称 为古典概率概型,简称古典概型。 6.问题 4:向一个圆面内随机地投射一 个点,如果该点落在圆内任意一点都是 等可能的,你认为这是古典概型吗?为 什么? 解: 满足等可能性, 但不满足有限性。 问题 5:某同学随机地向一靶心进行射 击,这一试验的结果只有有限个: “命 中 10 环” 、 “命中 9 认环” 、 “命中 8 环” 、 “命中 7 环” 、 “命中 6 环” 、 “命中 5 环” 和“不中环” 。你为这是古典概型吗? 为什么? 学生互相交流,回答 补充,教师归纳。 两个问题的设计是为 了让学生更加准确的 把握古典概型的两个 特点。突破了如何判 断一个试验是否是古 典概型这一教学难 点。

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解:满足有限性, 但不满足等可能性

关注学生对生活中古 典概型的认识和了 解,教师根据学生回 答适当点评。

通过教师的介绍,学 生能够体会到生活中 处处有古典概型,感 受到数学的实际应 用。

问题 6:你能举出几个生活中的古典概 型的例子吗? 7.问题 7:在古典概型下,如何求随机 事件出现的概率? 试验 2: 掷一颗均匀的骰子,事件 A 为 “出 现偶数点” , 请问事件 A 的概率是多少? 探讨:基本事件的总数为 6,事件 A 包 含 3 个基本事件: “2 点” , “4 点” , “6 点” 。则 P(A)=P( “2 点” )+P( “4

1 1 1 3 )+P( “6 点” )= + + = 研 点” 6 6 6 6 1 探 =2


教师提出问题,引导 学生分析试验 2 中 “出 现偶数点”这一事件 的概率,先通过用概 率加法公式求出随机 事件的概率,再对比 概率结果,发现其中 的联系。

鼓励学生运用观察类 比和从具体到抽象、 从特殊到一般的辩证 唯物主义方法来分析 问题,同时让学生感 受数学化归思想的优 越性和这一做法的合 理性,突出了古典概 型的概率计算公式这 一重点。



P( “出现偶数点” )=

证 =“出现偶数点”所包含的基本事件的个数
基本事件总数

3 6

由上可以概括总结出,古典概型计算任 何事件的概率计算公式为: 深化对古典概型的概 率计算公式的理解, 也抓住了解决古典概 型的概率计算的关 键。

提醒: 在使用古典概型的概率公式时,应该注 意:要判断所用概率模型是不是古典概 型(前提) 。 8.例 2(课本第 136 页例 1)在一个健 身房里,用拉力器进行锻炼时,需要选取 2 个质量盘装在拉力器上.有 2 个装质量 盘的箱子,每个箱子中都装有 4 个不同 的质量盘:2.5 kg,5 kg,10 kg 和 20 kg,每 次都随机地从 2 个箱子中各取 1 个质量 盘装在拉力器上后,再拉动这个拉力器. (1)随机地从 2 个箱子中各取 1 个质量盘, 共有多少种可能的结果 ? 用表格列出所 有可能的结果. (2) 计算选取的两个质量盘的总质量分 别是下列质量的概率:

教师提醒,使加深对 古典概型的概率计算 公式的准确理解把 握。 先给出问题让学生完 成, 展示学生的解法, 并引导学生分析问 题,发现学生解答中 存在的问题及错误, 纠正。

巩 固 提 高

模型展示帮助学生更 加深刻的理解列举法

让学生明确决概率的 计算问题的关键是: 先要判断该概率模型 是不是古典概型(重 点判断是否满足等可 能性) , 再要找出随机 事件 A 包含的基本事 件的个数和试验中基 本事件的总数。

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① 20 kg;② 30 kg;③ 不超过 10 kg;④ 超过 10 kg. (3)如果一个人不能拉动超过 22 kg 的质 量 , 那么他不能拉开拉力器的概率是多 少? 解:(1)第一个箱子的质量盘和第二个箱 子的质量盘都可以从 4 种不同的质量盘 中任意选取.我们可以用一个“有序实数 对”来表示随机选取的结果.例如,我们用 (10,20)来表示: 在一次随机的选取中 , 从第一个箱子取的质量盘是 10 kg,从第 二个箱子取的质量盘是 20 kg.下表列出 了所有可能结果. (2.5,2.5) (2.5,5) (2.5,10) (2.5,20)

能够清晰的反映所有 不同的基本事件,是 研究概率问题的基本 工具。

加深对古典概型的理 解(尤其是等可能 性) , 巩固学生对已学 知识的掌握。

让学生先独立思考再 回答,教师对学生没 有注意到的关键点加 以说明。

巩 (5,2.5) (5,5) (5,10) (5,20) 固 (10,2.5) (10,5) (10,10) (10,20) 提 (20,2.5) (20,5) (20,10) (20,20) 高 从表中可以看出,随机地从 2 个箱子中
各取 1 个质量盘的所有可能结果共有 16 种.由于选取质量盘是随机的,因此这 16 种结果出现的可能性是相同的 , 这个试 验属于古典概型. (2)

利用列表数形结合和 分类讨论,既能形象 直观地列出基本事件 的总数,又能做到列 举的不重不漏。深化 巩固对古典概型及其 概率计算公式的理 解,和用列举法来计 算一些随机事件所含 基本事件的个数及事 件发生的概率。 培养学生运用数形结 合的思想,提高发现 问题、分析问题、解 决问题的能力,增强 学生数学思维情趣, 形成学习数学知识的 积极态度。

① 用 A 表示事件“选取的两个质量盘的 总质量是 20 kg”,因为总质量为 20 kg 的 所有可能结果只有 1 种,因此,事件 A 的 概率 P(A)=

1 =0.062 5. 16

② 用 B 表示事件“选取的两个质量盘的 总质量是 30 kg”,从表中可以看出,总质 量为 30 kg 的所有可能结果共有 2 种,因 此,事件 B 的概率 P(B)=

展示例题,供学生分 析,反思学习过程, 能力提升。

通过观察,发现问题 的根本原因是——研 究的问题是否满足古 典概型,从而再次突 出了古典概型这一教 学重点,体现了学生 的主体地位,逐渐养 成自主探究能力。

2 1 ? =0.125. 16 8
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③ 用 C 表示事件“选取的两个质量盘的

总质量不超过 10 kg”.总质量不超过 10 kg,即总质量为 5 kg,7.5 kg,10 kg 之一,从 表中容易看出,所有可能结果共有 4 种, 因此,事件 C 的概率 P(C)=

建立有效的模型,能 缩短解决问题的时 间,锻炼数学思维。

4 1 = =0.25. 16 4

④ 用 D 表示事件“选取的两个质量盘的 总质量超过 10 kg”.总质量超过 10 kg,即 总质量为 12.5 kg,15 kg,20 kg,22.5 kg,25 kg, 30 kg,40 kg 之一,从表中可以看出,所 有可能结果共有 12 种,因此,事件 D 的概 率 P(D)=

12 3 = =0.75. 16 4

巩 固 提 高

(3)用 E 表示事件“不能拉开拉力器”,即 总质量超过了 22 kg.总质量超过 22 kg 是指总质量为 22.5 kg,25 kg,30 kg,40 kg 之一,从表中可以看出,这样的可能结果 共有 7 种,因此,不能拉开拉力器的概率 P(E)=

7 ≈0.44. 16

10. 练习: 1. 单选题是标准化考试中常 用的题型,一般是从 A,B,C,D 四个 选项中选择一个正确答案。假设考生不 学生口答,教学适当 会做,他随机的选择一个答案,问他答 点评。 对的概率是多少? 解:这是一个古典概型,因为试验的可 能结果只有 4 个:选择 A、选择 B、选 择 C、选择 D,即基本事件共有 4 个, 考生随机地选择一个答案是选择 A,B, C,D 的可能性是相等的。从而由古典概 型的概率计算公式得:
“答对”所包含的基本事件的个数 1 P“ ( 答对”)= ? 基本事件的总数 4

随堂练习,及时巩固 新知。

探究:如果该题是不定项选择题,假如 考生也不会做,则他能够答对的概率为 多少?此时比单选题容易了,还是更难 了? 思考:基本事件总共有几个? “答对”包含几个基本事件?

引导学生用列表来列 举试验中的基本事件 的总数。

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口答:2.

1 3

2.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九 个自然数中任选一个,所选中的数是 3 的倍数的概率是 口答: 3.一副扑克牌,去掉大王和小王,在剩 1 1 1 3. A. ;B. ;C. 下的 52 张牌中随意抽出一张牌,试求 13 4 52 以下各个事件的概率: A:抽到一张 Q; B: 抽到一张“梅花”;C:抽到一张红桃 K。 考察学生对树状图的 优势的感知,并让学 生熟悉抛硬币这个典 11. 思 考 题 . 同 时抛 掷三枚 均 匀的 硬 型的古典概型。 币,会出现几种结果?出现“一枚正面 向上,两枚反面向上”的概率是多少? 1.知识点 (1)基本事件的两个特点: ①任何两个基本事件是互斥的; ②任何事件(除不可能事件)都可以表 示成基本事件的和。 (2)古典概型的定义和特点: ①试验中所有可能出现的基本事件只 有有限个; (有限性) ②每个基本 事件出现的可能性相等 。 (等可能性) (3 )古典概型计算任何事件的概率计 算公式 教师引导学生进行课 堂小结,自我评价。 学生可以展示自己的 所悟所得,与同伴分 享成功的喜悦;还可 以提出自己的困惑, 师生共同探讨。将课 堂小结作为自我评价 的主阵地。

拓展延伸,让学生带 着问题走出课堂,继 续研究。

应 用 评 价

通过学生提出学习本 节内容中的困惑和与 同伴分享学习成果, 引导学生进行反思与 自我评价。教师不仅 引导学生反思学习知 识, 还反思思想方法。

2.思想方法: 列举法(画树状图和列表) ,应做到不 重不漏。 (必做)课本 138 页练习第 3,4 题 学 生 通 过 作 业 进 行 学生通过作业,及时 课外反思,通过思考 反馈, 巩固所学知识; 发散思维, 发现创新。 教师通过分层次布置 作业,提高了学生的 教 师 通 过 布 置 作 学习效率,同时能在 业,进行自我评价, 作业中发现教学的不 更新教法。 足。

思 课本 151 页习题 3-2A 组第 3,4 题 维 创 (选做)课本 153 页习题 B 组第 3 题 新

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教 法 与 学 法 分 析

教 法 分 析 学 法 分 析

根据本节课的特点,采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法,通过提 出问题、思考问题、解决问题等教学过程,观察对比、概括归纳古典概型的概 念及其概率公式,再通过具体问题的提出和解决,来激发学生的学习兴趣,调 动学生的主体能动性,让每一个学生充分地参与到学习活动中来。最后在例题 中加入模型的展示,帮助学生突破教学难点。 学生在教师创设的问题情景中,通过观察、类比、思考、探究、概括、归 纳和动手尝试相结合,体现了学生的主体地位,培养了学生由具体到抽象,由 特殊到一般的数学思维能力,形成了实事求是的科学态度,增强了锲而不舍的 求学精神。

评 价 分 析

本节课的教学通过提出问题,引导学生发现问题,经历思考交流概括归纳后得出 古典概型的概念,由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解;再通 过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、 分析问题、解决问题的能力。 在解决概率的计算上,教师鼓励学生尝试列表和画出树状图,让学生感受求基本 事件个数的一般方法,从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。对 于古典概型的判断,两个条件的缺一不可,尤其是例题中等可能性的判断,教师通过 实例模型的给出,帮助学生突破思维难点整个教学设计的顺利实施,达到了教师的教 学目标。

五、板书设计 § 3.2.1 古典概型
1.基本事件: ⑴互斥 ⑵任何事件都可表示成基本事件的和 2.古典概型 ⑴有限性; ⑵等可能性。 3.古典概型概率计算公式

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