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北京市海淀区2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题


海淀区高二年级第一学期期末练习

数学(理科)
2014.01

学校

班级

姓名

成绩

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)抛物线 y 2 ? 2 x 的

准线方程是 (A) x = ( (C) x = )

1 2

(B) y =

1 2

1 2

(D) y = -

1 2
( )

(2)若直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则实数 a ? (A) ?

1 2

(B) ?2

(C)

1 2

(D) 2

(3) 在四面体 O - ABC 中, 点 P 为棱 BC 的中点. 设 OA ? a , OB ? b ,OC ? c , 那么向量 AP 用 基底 {a, b, c} 可表示为( ) (B) ?a + C

??? ?

??? ?

????

??? ?

1 1 1 a+ b? c 2 2 2 1 1 (C) a + b ? c 2 2
(A) ? (4)已知直线 l ,平面 ? .则“ l ^ (A)充分而不必要条件 (C)充要条件

1 1 b? c 2 2 1 1 1 (D) a + b ? c 2 2 2

P O A B ( )

? ”是“ $ 直线 m ? ? , l ^ m ”的
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)若方程 mx ? (2 ? m) y ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是(
2 2



(A) (1, ??)

(B) (0, 2)

(C) (1, 2)

(D) (0,1)

(6)已知命题 p : 椭圆的离心率 e ? (0,1) ,命题 q : 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切 线,那么 (A) p ? q 是真命题 (B) p ? (?q) 是真命题
·1 ·





(C) (?p) ? q 是真命题

(D) p ? q 是假命题

(7)若焦距为 4 的双曲线的两条渐近线互相垂直,则此双曲线的实轴长为 (A) 4 2 (B) 4 (C) 2 2 (D) 2





(8)如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是 的一个动点,平面 BED1 交棱 AA1 于点 F .则下列命题中 ( )
A1 D1 B1 D B C1 E

棱 CC1 上 假命题 是 ...

(A)存在点 E ,使得 A1C1 //平面 BED1 F
F

C

(B)存在点 E ,使得 B1 D ? 平面 BED1 F (C)对于任意的点 E ,平面 A1C1 D ? 平面 BED1 F (D)对于任意的点 E ,四棱锥 B1 ? BED1 F 的体积均不变

A

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上. (9)在空间直角坐标系中,已知 a = (2, - 1,3) , b = (- 4, 2, x) .若 a ^ b ,则 x = (10)过点 (1,1) 且与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切的直线方程是
2 2 2

.

.

(11)已知抛物线 C : y ? 4 x , O 为坐标原点, F 为 C 的焦点, P 是 C 上一点. 若 ?OPF 是等腰 三角形,则 PO = .
D1 P A1 B1 C1

(12)已知点 F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点,过点 F2 的直线交 线 C 的一支于 A, B 两点,若 ?ABF1 为等边三角形,则双曲 的离心率为 .
A

双曲 线C

D

C B

( 13 )如图所示,已知点 P 是正方体 ABCD ? A 1 B 1C 1 D 1 的棱 上的一个动点,设异面直线 AB 与 CP 所成的角为 ? ,则 cos? 小值是 .
·2 ·

A1 D1
的 最

(14) 曲线 C 是平面内与定点 F (2,0) 和定直线 x ? ?2 的距离的积等于 4 的点的轨迹.给出下列四个结 论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于 x 轴对称; ③曲线 C 与 y 轴有 3 个交点; ④若点 M 在曲线 C 上,则 MF 的最小值为 2( 2 ? 1) . 其中,所有正确结论的序号是___________.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题共 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A (4 ,0),动点 M 在 y 轴上的正射影为点 N ,且满足直线

MO ? NA .
(Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)当 ?MOA ?

π 时,求直线 NA 的方程. 6

(16)(本小题共 11 分) 已知椭圆 C : 3x ? y ? 12 ,直线 x ? y ? 2 ? 0 交椭圆 C 于 A, B 两点.
2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的焦点坐标及长轴长; (Ⅱ)求以线段 AB 为直径的圆的方程.

(17)(本小题共 11 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正

P

方形,
B C D

PB ? BC , PD ? DC ,且 PC ? 3 .
(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B ? PD ? C 的余弦值; (Ⅲ)棱 PD 上是否存在一点 E ,使直线 EC 与平面 BCD 所成 是 30? ?若存在,求 PE 的长;若不存在,请说明理由.
·3 ·
A

的 角

(18)(本小题共 12 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过如下五个点中的三个点: P ) , P2 (0,1) , 1 ( ?1, ? 2 2 a b

1 2 2 P3 ( , ) , P4 (1, ) , P5 (1,1) . 2 2 2
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设点 A 为椭圆 M 的左顶点, B, C 为椭圆 M 上不同于点 A 的两点,若原点在 ?ABC 的外部, 且 ?ABC 为直角三角形,求 ?ABC 面积的最大值.

·4 ·

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学(理科)
参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 (1) C (2) D (3) B (4) A (5) D (6) B (7) C (8) B

2014.01

二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9)

10 3

(10) y ? 1 ? 0

(11)

3 或1 2

(12) 3

(13)

3 3

(14)①②④

注: (11)题少一个答案扣2分. 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则 N (0, y ) , OM ? ( x, y ) , NA ? (4, ? y ) .????????2 分 因为 直线 MO ? NA ,
2 所以 OM ? NA ? 4 x ? y ? 0 ,即 y ? 4 x .

???? ?

??? ?

???? ? ??? ?

2

?????????4 分 ?????????5 分

所以 动点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x ( x ? 0 ).
2

(Ⅱ)当 ?MOA ?

π π 时,因为 MO ? NA ,所以 ?NAO ? . 6 3 π 2π 所以 直线 AN 的倾斜角为 或 . 3 3 π 当直线 AN 的倾斜角为 时,直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 ; ?????8 分 3 2π 当直线 AN 的倾斜角为 时,直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 . ????10 分 3
·5 ·

(16) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)原方程等价于

x2 y2 ? ? 1. 4 12

由方程可知: a 2 ? 12 , b2 ? 4 , c2 ? a 2 ? b2 ? 8 , c ? 2 2 . ????????3 分 所以 椭圆 C 的焦点坐标为 (0, 2 2) , (0, ?2 2) ,长轴长 2a 为 4 3 .?????5 分

?3 x 2 ? y 2 ? 12, 2 (Ⅱ)由 ? 可得: x ? x ? 2 ? 0 . ? x ? y ? 2 ? 0,
解得: x ? 2 或 x ? ?1 . 所以 点 A, B 的坐标分别为 (2, 0) , (?1, ?3) . 所以 A, B 中点坐标为 ( , ? ) , | AB |? ?????????7 分

1 2

3 2

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 . ?????9 分

所以 以线段 AB 为直径的圆的圆心坐标为 ( , ? ) ,半径为 所以 以线段 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? )2 ? ( y ? ) 2 ?

1 2

3 2

3 2 . 2

1 2

3 2

9 . ???????11 分 2

(17) (本小题满分 11 分) (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, CD ? AD . 因为 CD ? PD , AD ? PD ? D , 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 CD ? PA . 同理, BC ? PA . 因为 ?????????2 分 ?????????1 分

BC ? CD ? C ,
?????????3 分

所以 PA ? 平面 ABCD . (Ⅱ)解:连接 AC ,由(Ⅰ)知 PA ? 平面 ABCD . 因为 AC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AC . 因为 PC ?

?????????4 分

3 , AC ? 2 ,
·6 ·

所以 PA ? 1 . 分别以 AD , AB , AP 所在的直线分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 由题意可得: B(0,1,0) , D(1, 0, 0) , C (1,1, 0) , P(0, 0,1) . 所以 DC ? (0,1, 0) , DP ? ( ?1, 0,1) , BD ? (1, ?1, 0) , BP ? (0, ?1,1) . 设平面 PDC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) ,

????

??? ?

??? ?

??? ?

???? ? ?n ? DC ? 0, ? y ? 0, 则 ? ??? 即? 令 x ? 1 ,得 z ? 1. ? ? x ? z ? 0. ? n ? DP ? 0 , ? ?
所以 n ? (1, 0,1) . 同理可求:平面 PDB 的一个法向量 m ? (1,1,1) . 所以 cos ? n, m ?? ?????????6 分

n?m 1? 0 ?1 6 ? ? . | n || m | 3 2? 3
6 . 3
??? ?
?????????8 分

所以 二面角 B ? PD ? C 的余弦值为 (Ⅲ)存在.理由如下:

若棱 PD 上存在点 E 满足条件,设 PE ? ? PD ? (? , 0, ?? ) , ? ? [0,1] . 所以 EC ? PC ? PE ? (1,1, ?1) ? (? , 0, ?? ) ? (1 ? ? ,1, ? ? 1) .???????9 分 因为 平面 BCD 的一个法向量为 AP ? (0, 0,1) .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EC ? AP 所以 | cos ? EC , AP ?|? ??? ? ??? ? ? EC AP

? ?1
2(1 ? ? ) 2 ? 1





1 2 . ? sin 30? ? , 解得: ? ? 1 ? 2 2 2(1 ? ? ) ? 1
2

? ?1

经检验 ? ? 1 ?

2 ? [0,1] . 2

所 以 棱 PD 上 存 在 点 E , 使 直 线 EC 与 平 面 BCD所 成 的 角 是 30? , 此 时 PE 的 长 为
z P y B C D x

·7 ·

A

2 ?1 .

?????????11 分

(18) (本小题满分 12 分)
2 ? ? 2? 2? 2? ?1? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 (?1) ? 2 ? 1 ? 2 ? 12 12 1 2 2? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2? ? 2 ? 2 知,P3 ( , 解: (Ⅰ) 由 ) 和 P5 (1,1) 2 2 2 2 a b a b a b a b 2 2 2 2 2

不在椭圆 M 上,即椭圆 M 经过 P 1 ( ?1, ? 于是 a ? 2, b ? 1 .
2 2

2 2 ) , P2 (0,1) , P4 (1, ). 2 2

x2 ? y 2 ? 1. 所以 椭圆 M 的方程为: 2

?????????2 分

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, (Ⅱ)①当 ?A ? 90? 时,设直线 BC : x ? ty ? m ,由 ? 得 ? x ? ty ? m,
(t 2 ? 2) y 2 ? 2tmy ? (m2 ? 2) ? 0 . 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) , 则 ? ? 16 ? 8m2 ? 8t 2 ? 0 ,

2tm ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? t ?2 ? 2 ?y y ? m ? 2. 1 2 ? t2 ? 2 ?
所以 k AB k AC ?

y1

x1 ? 2 x2 ? 2 y1 y2

?

y2

?

y1 y2 (ty1 ? m ? 2)(ty2 ? m ? 2)

?

t y1 y2 ? t (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2) 2
2

?

m? 2 ? ?1 . 2( m ? 2)

于是 m ? ?

2 2 16 ,此时 ? ? 16 ? . ? 8t 2 ? 0 ,所以 直线 BC : x ? ty ? 3 3 9

16 2 , 0) ,即原点在线段 AM 的延长线上, 因为 y1 y2 ? ? 2 9 ? 0 ,故线段 BC 与 x 轴相交于 M (? 3 t ?2 即原点在 ?ABC 的外部,符合题设. ?????????6 分
·8 ·

所以 S?ABC ?

1 2 | AM | ? | y1 ? y2 |? | y1 ? y2 | 2 3

2 16 2t 2 2 3 ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [( 2 ) 2 ? 4(? 2 9 )] 9 9 t ?2 t ?2
? 16 9t 2 ? 16 16 4t 4 ? 7t 2 8 ? 2 ? (4 ? )≤ . 2 4 2 81 (t ? 2) 81 t ? 4t ? 4 9
?????????9 分

8 . 9 ②当 ?A ? 90? 时,不妨设 ?B ? 90? .
当 t ? 0 时取到最大值 设直线 AB : x ? ty ? 2(t ? 0) ,由 ?
2 2 ? ? x ? 2 y ? 2,

? ? x ? ty ? 2,

得 (t ? 2) y ? 2 2ty ? 0 .
2 2

所以 y ? 0 或 y ?

2 2t . t2 ? 2

所以 B(

2t 2 ? 2 2 2 2t 2t 3 , ) BC : y ? ? tx ? ,由 ,可得直线 . AB ? BC t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ? 2

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 8t 2 (t 2 ? 1) ? 2 2 2 3 3 由? 2t 得 (t ? 2)(2t ? 1) y ? 2 2t y ? t 2 ? 2 ? 0 . , ? y ? ?tx ? 2 t ?2 ?
所以 yB yC ? ?

8t 2 (t 2 ? 1) ? 0. (t 2 ? 2)2 (2t 2 ? 1)

所以 线段 BC 与 x 轴相交于 N (

2t 2 , 0) . t2 ? 2

显然原点在线段 AN 上,即原点在 ?ABC 的内部,不符合题设. 综上所述,所求的 ?ABC 面积的最大值为

8 . 9

????????12 分

注:对于其它正确解法,相应给分.

·9 ·


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