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2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷理科)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} ,集合 B 为整数集,则 A ? B ? A. {?1, 0,1, 2} B. {?2, ?1, 0,1} C. {0,1} D.

{?1, 0}

2.在 x(1 ? x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为 A. 30 B. 20 C. 15 D. 10

3. 为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象, 只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上 所有的点 A.向左平行移动

1 个单位长度 2

B.向右平行移动

1 个单位长度 2

C.向左平行移动 1 个单位长度

D.向右平行移动 1 个单位长度

4.若 a ? b ? 0 , x ? d ? 0 ,则一定有 A.

a b ? c d

B.

a b ? c d

C.

a b ? d c

D.

a b ? d c

5.执行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 t ?[?2, 2] ,则输出的 S 的最 大值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,学科网最右端不能拍甲,则不同的排法共有 A. 192 种 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种

7. 平面向量 a ? (1, 2) ,b ? (4, 2) ,c ? ma ? b( m ? R ) , 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, 则m? A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 2

8.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点。设点 P 在线段

CC1 上,直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 ? ,则 sin ? 的取值范围是
A. [

3 ,1] 3

B. [

6 ,1] 3

C. [

6 2 2 , ] 3 3

D. [

2 2 ,1] 3

9.已知 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) , x ? (?1,1) 。现有下列命题: ① f (? x) ? ? f ( x) ;② f ( A.①②③

2x ) ? 2 f ( x) ;③ | f ( x) |? 2 | x | 。其中的所有正确命题的序号是 x ?1
2

B.②③ C.①③
2

D.①②

10.已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA ? OB ? 2 (其中

O为

坐标原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是 A. 2 B. 3 C.

17 2 8

D. 10

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.复数

2 ? 2i ? 1? i



12.设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ?[?1,1) 时,

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 3 ,则 f ( ) ? f ( x) ? ? 2 0 ? x ? 1, ? x,



13. 如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 67 ,

30 ,此时气球的高是 46m ,则河流的宽度 BC 约等于

(用四 m。

sin 67 ? 0.92 , cos 67 ? 0.39 , 舍五入法将结果精确到个位。 参考数据: sin 37 ? 0.60 , cos 37 ? 0.80 , 3 ? 1.73 )
14. 设m? R , 过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P ( x, y ) , 则 | PA | ? | PB | 的最大值是 。

15.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组成的集合:对于函数

? ( x) ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] 。例如,当 ?1 ( x) ? x3 ,

?2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A , ?2 ( x) ? B 。现有如下命题:
①设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,则“ f ( x) ? A ”的充要条件是“ ?b ? R , ?a ? D , f (a) ? b ” ; ②学科网函数 f ( x) ? B 的充要条件是 f ( x ) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ? 其中的真命题有

x ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) ? B 。 x ?1
2

。 (写出所有真命题的序号)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.已知函数 f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)。

(1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若 ? 是第二象限角, f ( ) ?

?

3

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值。 5 4

17.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出 现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获 得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得 ?200 分) 。学科网设每次击鼓出现音乐的概率为 且各次击鼓出现音乐相互独立。 (1)设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了。 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

1 , 2

18.三棱锥 A ? BCD 及其侧视图、俯视图如图所示。设 M , N 分别为线段 AD , AB 的中点, P 为 线段 BC 上的点,且 MN ? NP 。 (1)证明: P 为线段 BC 的中点; (2)求二面角 A ? NP ? M 的余弦值。

19.设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的图象上( n ? N ) 。
x
*

(1)若 a1 ? ?2 ,点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x ) 的图象上,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (2) 若 a1 ? 1 , 学科网函数 f ( x ) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ? 的前 n 项和 Tn 。

1 a , 求数列 { n } ln 2 bn

20.已知椭圆 C: 三角形。

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正 a 2 b2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q。 (i)证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; (ii)当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标。 | PQ |

21.已知函数 f ( x) ? e x ? ax2 ? bx ? 1,其中 a, b ? R , e ? 2.71828

为自然对数的底数。

(1)设 g ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (2)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点,求 a 的取值范围


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