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前N项和以及通项求法


京方教育一对一辅导高中

数列求和
【自主梳理】 1.求数列前 n 项和 S n 主要方法: 2.等差数列求和公式: 等比数列求和公式: 3.常见的裂项公式有: (1) 或 推导方法: 推导方法:

1 ? n(n ? 1) 1 ? n ( n ? 2) 1 n ? n ?1 ?

(2)

>(3)

【自我检测】 1.求和: 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2.求和: 1 ? 2 ? 2 ? ? 2
2 100

?

3.数列

1 1 1 , ,? ? ?, ? 的前 n 项和为 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1
1 2 1 4 1 8 1 ,? 的前 n 项和为 2n


4.数列 1 ,2 ,3 ,? n ? 5.已知函数 f ? x ? ?

2x ,则 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2x ? 2
9 ? ? ? = ? ?1 0 ?

?1 ? ?2 ? ?8 ? f? ?? ? f ? ?f ?? f ? ? ? ?1 0 ? ?1 0 ? ?1 0 ?
6. 5,55,555 ,5555 ,? 的前 n 项和为

1

京方教育一对一辅导高中 二、课堂活动: 【例 1】填空题: (1)数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 an ?

1 ,则 S5 等于 n(n ? 1)

(2) 12 ? 22 ? 33 ? 42 ? ? ? (?1)n?1 n2 的值为 (3)数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 22 ),?,(1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ),?的前 99 项之和为

(4)已知 an ? n ? 2n?1 ,则数列{an}的前 n 项和 S n ?

22 42 (2n) 2 【例 2】求和 S n ? 。 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

【例 3】已知数列 1,3a,5a ,?, (2n ? 1)a
2

n ?1

,求前 n 项和。

三、课后作业 1.设{an}是首项为 2,公差为 1 的等差数列,则数列 {2an ? 1} 的前 n 项和为 1 1 1 1 2.数列 , , ,…, …的前 n 项和为 1× 3 3× 5 5× 7 ?2 n-1? ? 2 n+1? 3.正整数数列中,前 50 个偶数的平方和与 50 个奇数的平方和的差是 a1+a2+…+an 4.若数列{an}的通项为 an=4n-1,bn= ,n∈N*,则数列{bn}的前 n 项和是 n

5.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列 { n 项和 Sn=___ ____

1 } 的前 bnbn ?1

1 2 10 4x 6.已知 f(x)= x ,则 f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? 4 +2 11 11 11

2

京方教育一对一辅导高中 7.已知数列{an},an= 1 n+ n+1 (n∈N*),且数列{an}的前 n 项和 Sn=9,那么 n 的值为

8.

1 3 5 2n ? 1 , 2 , 3 ,? , n ,? 的前 n 项和为 2 2 2 2

9.设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(1)求 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

10.在等差数列{an}中,a1=3,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}各项均为正数,b1=1,且 S2 b2+S2=12,{bn}的公比 q= . b2 (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求 + +…+ . S1 S2 Sn

3

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简单的数列递推问题
【自主梳理】 求数列通项方法有: 1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式 2.公式法: ①已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an :用作差法: ②已知 a1a2 ?an ? f (n) 求 an :用作商法: 3.累加法:若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : 4.累乘法:已知

an ?1 ? f (n) 求 an : an

5.构造法: (构造等差、等比数列) 常见有: ①一阶递推关系 an ? pan?1 ? q :原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 ②用倒数法求通项:形如 an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项 kan ?1 ? b

【自我检测】 1.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 an ? an?1 ? 3(n ? 2) ,则 an ? 2.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 an ? 3an?1 (n ? 2) ,则 an = 3.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1, 且an ?

n ?1 an ?1 (n ? 2) ,则 an ? n

4.数列 {an } 中, a1 ? 2, an?1 ? 3an ? 2 ,则 {an } 的通项公式为
2 2 5.设 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 an (n∈N*) ,则数列{a n } ? an ?1 ? nan ? nan?1 ? 0 ,

的通项公式为 6.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1,

1 1 ? ? 1 ,则 an = an?1 an

4

京方教育一对一辅导高中 二、课堂活动: 【例 1】填空题: (1)数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ? 1 ,则 {an } 的通项公式为

1 1 , an ?1 ? an ? 2 ,则 an =_ 2 n ?n 3n ? 1 an (n ? 1) ,则 an = (3)数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ?1 ? 3n ? 2
(2)已知数列 {an } 满足 a1 ? (4)数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2n an ,则 {an } 的通项公式为___ 【例 2】已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2an?1 (n ? 2) ,求 an .

__

【例 3】已知数列

a 2a ? 1 {an } 满足 a ? 1 , ,求 an . 且当n ? 1,n ? N *时, 有 n?1 ? n?1 1 5 an 1 ? 2an

三、课后作业 1.在数列 {an } 中, a1 ? ?1 , an?1 ? an ? 2n ,则 an = 2.已知在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N ) ,则数列 ?a n ? 通项公式为
*

3.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,则 {an } 的通项公式为 4.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,则 {an } 的通项公式为 5.数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?

2an ?1 (n ? 2) ,则 {an } 的通项公式为 2 ? an ?1
5

京方教育一对一辅导高中 6.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an ?1 ?

1 (n ? 2) ,则 an = n ?1 ? n

7.数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项为 8.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?

1 ,则 {an } 的通项公式为 n(n ? 1)

9.数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 ? an ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。

10.设数列{ an }是首项为 1 的正项数列, (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0 ,求数列 ?an ?的
2 2

通项公式.

6


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