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正弦函数的性质


正 余 弦 函 数 的 性 质

要点回顾. 正弦函数、余弦函数的图象
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

(1)定义域: 实数集R (2)值域: [-1,1]

白居易的《赋得古原草送别》中有这样几句:
离离原上草,一岁一枯荣。 野火烧不尽,春分吹又生。
……
问题1:这首诗揭示了自然界的什么规律? 问题2:生活中有其他类似的事例吗?请举例说明 。 问题3:今天是星期五,还有哪天是星期五?

观察正、余弦函数的图象, 探究y=sinx( x?R )的周期性
y

1

x -5? -4? -3? -2? -? o ? 2? 3? 4? 5?

-1
余弦曲线

y=sin x, x∈R

y
1

-3?

?

5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

归 纳 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x), 那么函 数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T就叫做这个函数的 周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数,那么这个最小的正数就叫f(x)的最小正周期. 正弦函数是周期函数, 2kπ(k∈Z, k≠0 )都是它的 周期,最小正周期是2π. 余弦函数是周期函数吗?如果是周期是什么?最小正 周期是多少?

思考

(1)对于函数y = sinx,x ? R有 π 2π π 2π sin( + )= sin ,能否说 是它的周期? 6 3 6 3
(2)如果T是函数f(x)的周期,那么对于任意的k?Z, k≠0, kT也是函数f(x)的周期吗? (3)f(x)=c是不是周期函数?有最小正周期吗?

例 题

例1 求下列函数的周期:

例1:求下列函数周期:

( 11 ) ? 3cos x, x ? R; ( )y y=3cosx , x? R ( 2 ) ( 2 ) y ? sin 2 x,x ? R; 1 ? ( 3 ) ),x ? R. ( 3 ) y ? 2sin( x ? 2 6
思考

函数的周期与解析式中那些量有关?

函数

周期

y ? 3 cos x y ? sin 2 x 1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 6
1 ? y ? 2 sin( ? x ? ) 2 6

T ? 2?

2? 1
2? 2
2? 1 2 2?
1 2

T ??
T ? 4? T ? 4?

两 个 函 数

y ? A sin(?x ? ? ), x ? R y ? A cos(?x ? ? ), x ? R

T?

2?

?

(其中

A, ? , ? 为常数且A≠0)

的周期仅与自变量的系数有关,那么如何 用自变量的系数来表述上述函数的周期?

解:

? f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?

? Asin ?? x ? ? ? 2? ?
? A sin ? ??? x ? 2? ? ? ? ? ?

? ? 2? ? A sin ?? ? x ? ? ? ?

? ? ? ??? ? ?

2? ? ? ? f ?x? ? ? ? ?

?T ?

2?

? ? 0? ? ?

归纳总结
一般地,函数y ? A sin(? x ? ? ), x ? R及函 数y ? A cos(? x ? ? ), x ? R (其中A, ? , ?为常 2? 数, 且A ? 0, ? ? 0)的周期为 : T ? .

?

课堂练习:
求下列函数的周期:

3 (1) y ? sin x, x ? R 4 (2) y ? cos4 x, x ? R 1 (3) y ? cos x, x ? R 2 1 ? (4) y ? sin( x ? ), x ? R 3 4

T?

2? ? T? ? 4 2 2? T? ? 2? 1 2? T? ? 2? ? 3 ? 6? 1 3

2? 4 8? ? 2? ? ? 3 3 3 4

当堂检测
1 A、y ? sin x 2 x B、y ? cos 2 D、y ? cos 2 x

(1)下列函数中,最小正周期是 ? 的函数是( D )
C、y ? cos x

(2)函数 y ? sin ?x 的最小正周期为_____ 2 。
?

? (3)已知函数 y ? sin(?x ? ), ? ? 0 的周期为 3 ,则 3

? ? ___ 6

(4)函数 y ? cos

(1 ? x )? 2

的最小正周期是 4





(1)周期函数、周期及最小正周期的概念. (2)正(余)弦函数的周期. (3)函数y ? A sin(?x ? ? ), x ? R及函数y ? A cos(?x ? ? ), x ? R 的周期
T? 2?


?

思考 :

1.y=sinx(x∈[0,4π])是周期函数吗?
x sin x 2. y ? 是不是周期函数?为什么? x
3.已知函数 y ? f ( x ) 时, f ( x ) ? x 2 ? 1 的周期是4,且当x ?[?2,2] ,求 f (1), f (5), f (16). 吗?

思考: f (5) ? 52 ? 1 ? 26


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