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上海市徐汇区2016届高考数学一模试卷(文科)(解析版)


2016 年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科)
一.填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的标准方程是 .

2.方程

的解是



3.设

,则数列{an}的各项和为

r />
4.函数

的单调递增区间是



5.若函数 f(x)的图象与对数函数 y=log4x 的图象关于直线 x+y=0 对称,则 f(x)的解析式为 f(x) = .

6.函数 f(x)=|4x﹣x2|﹣a 有四个零点,则 a 的取值范围是



7.设 x、y∈R+且

=1,则 x+y 的最小值为



8.若三条直线 ax+y+3=0,x+y+2=0 和 2x﹣y+1=0 相交于一点,则行列式

的值为



9.在△ ABC 中,边 BC=2,AB=

,则角 C 的取值范围是



10.已知四面体 ABCD 的外接球球心 O 在棱 CD 上, 接球上的球面距离是 .

,CD=2,则 A、B 两点在四面体 ABCD 的外

11.(x3+2x+1)(3x2+4)展开后各项系数的和等于



12.已知函数 f(x)=x2﹣1 的定义域为 D,值域为{0,1},则这样的集合 D 最多有

个.

13.正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3 把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的 6 个 数字之和恰好是 9 的概率为 .

14.设 x1,x2 是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根,若 x1 是虚数,

是实数,则

S=1+

=



二.选择题:(本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.已知向量 与 不平行,且 A.向量 C.向量 与 垂直 B.向量 与 ,则下列结论中正确的是( 与 垂直 平行 )

与 垂直 D.向量

16.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“

”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

17.(文)设 x、y 均是实数,i 是虚数单位,复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i 的实部大于 0,虚部不小于 0, 则复数 z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( )

A.

B.

C.

D.

18.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1、x2∈D,当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1)+f(x2)=2b, 则称点(a,b)为函数 y=f(x)图象的对称中心.研究函数 f(x)=x+sinπx﹣3 的某一个对称中心,并利 用对称中心的上述定义, 可得到 值为( ) 的

A.﹣4031

B.4031 C.﹣8062

D.8062

三.解答题:(本大题共 5 题,满分 74 分) 19.三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC 且 AC=2,BC= (1)证明:SC⊥BC; (2)求三棱锥的体积 VS﹣ABC. ,SB= .

20.已知函数 f(x)=sin22x﹣sin2xcos2x. (1)化简函数 f(x)的表达式,并求函数 f(x)的最小正周期; (2)若点 A(x0,y0)是 y=f(x)图象的对称中心,且 ,求点 A 的坐标.

21.已知实数 x 满足 32x﹣4﹣ (1)求实数 x 的取值范围;

+9≤0 且 f(x)=log2



(2)求 f(x)的最大值和最小值,并求此时 x 的值.

22.数列{an}满足 a1=5,且 (1)求 a2,a3,a4; (2)求数列{an}的通项公式; (3)令 bn= ,求数列{bn}的最大值与最小值.

(n≥2,n∈N*).

23.某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一 部分,其中 E(0,t)(0<t≤25);曲线 BC 是抛物线 y=﹣ax2+50(a>0)的一部分;CD⊥AD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建体育馆的高 OB=50(单位:米,下同).

(1)若 t=20、a=

,求 CD、AD 的长度;

(2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 a= ,求 AD 的最大值.

2016 年上海市徐汇区高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的标准方程是 y2=8x 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先根据准线求出 p 的值,然后可判断抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的正半轴上进而可设抛物线 的标准形式,将 p 的值代入可得答案. 【解答】解:由题意可知: =2,∴p=4 且抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的正半轴上 .

故可设抛物线的标准方程为:y2=2px 将 p 代入可得 y2=8x. 故答案为:y2=8x. 【点评】本题主要考查抛物线的标准方程.属基础题.

2.方程 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】由方程 【解答】解:由方程 故答案为 x=2.

的解是 x=2 .

可得 3x﹣5=4,即 3x=32,由此求得方程的解. 可得 3x﹣5=4,即 3x=32,解得 x=2,

【点评】本题主要考查对数方程的解法,对数的运算性质应用,属于基础题.

3.设

,则数列{an}的各项和为



【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题.

【分析】由已知可知

= ,从而可得数列{an}为公比的等比数列,要求等比数列的各项和,

即求前 n 项和的极限,由求和公式先求前 n 项和,然后代入求解极限即可 【解答】解:∵ = ,



= ,

则数列{an}是以 为首项以 为公比的等比数列 ∴ =

所以数列的各项和 S=

=

故答案为 【点评】本题所涉及的知识:等比数列定义在判断等比数列中的应用,等比 数列的求和公式,等比数列 的各项和与前 n 项和是不同的概念,要注意区别

4.函数 【考点】正弦函数的图象.

的单调递增区间是 [kπ﹣

,kπ+

],k∈Z .

【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用正弦函数的单调性,得出结论. 【解答】解:对于函数 求得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,故函数的增区间为 ],k∈Z. ,令 2kπ﹣ ≤2x﹣ , ≤2kπ+ ,

故答案为:[kπ﹣

,kπ+

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性,属于基础题.

5.若函数 f(x)的图象与对数函数 y=log4x 的图象关于直线 x+y=0 对称,则 f(x)的解析式为 f(x)= y= ﹣4﹣x . 【考点】对数函数的图象与性质;函数的图象. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】先设 f(x)上一点(x,y),求这个点关于 x+y=0 的对称点,则根据题意该对称点在函数 y=log4x 的图象上,满足函数 y=log4x 的解析式,从而可求出点(x,y)的轨迹方程 【解答】解:设函数 f(x)的图象上一点(x,y),则点(x,y)关于 x+y=0 的对称点(x',y')在对数 函数 y=log4x 的图象

由题意知

,解得 x'=﹣y,y'=﹣x

又∵点(x',y')在对数函数 y=log4x 的图象 ∴﹣x=log4(﹣y) ∴﹣y=4﹣x∴y=﹣4﹣x 故答案为:y=﹣4﹣x 【点评】本题考查函数的图象与性质,求函数的解析式.解题的关键是会求点个关于直线的对称点.属简 单题

6.函数 f(x)=|4x﹣x2|﹣a 有四个零点,则 a 的取值范围是 (0,4) . 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由题意可得,直线 y=a 和函数 y=|4x﹣x2|的图象有 4 个交点,数形结合求得 a 的取值范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=|4x﹣x2|﹣a 有四个零点,故直线 y=a 和函数 y=|4x﹣x2|的图象有 4 个交点,如 图所示: 结合图象可得 0<a<4, 故答案为 (0,4).

【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用数形结合的思 想,属于中档题.

7.设 x、y∈R+且

=1,则 x+y 的最小值为 16 .

【考点】基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】将 x、y∈R+且 【解答】解:∵ ∴x+y=(x+y)?( 取“=”). 故答案为:16. 【点评】本题考查基本不等式,着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,属于中档题. =1,代入 x+y=(x+y)?( ),展开后应用基本不等式即可.

=1,x、y∈R+, )= =10+ ≥10+2 =16(当且仅当 ,x=4,y=12 时

8.若三条直线 ax+y+3=0,x+y+2=0 和 2x﹣y+1=0 相交于一点,则行列式 【考点】二阶矩阵;两条直线的交点坐标. 【专题】计算题;方程思想;综合法;矩阵和变换.

的值为 1 .

【分析】先由三条直线 ax+y+3=0,x+y+2=0 和 2x﹣y+1=0 相交于一点,求出 a,再由二阶行列式展开法则 能求出 的值.

【解答】解:联立

,得 x=﹣1,y=﹣1,

∵三条直线 ax+y+3=0,x+y+2=0 和 2x﹣y+1=0 相交于一点, ∴直线 ax+y+3=0 过点(﹣1,﹣1),∴﹣a﹣1+3=0,解得 a=2,



=a﹣1=2﹣1=1.

故答案为:1. 【点评】本题考查二阶行列式的值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意二阶行列式展开法则的合 理运用.

9.在△ ABC 中,边 BC=2,AB= 【考点】余弦定理的应用. 【专题】综合题.

,则角 C 的取值范围是 (0,

]



【分析】利用余弦定理构建方程,利用判别式可得不等式,从而可求角 C 的取值范围. 【解答】解:由题意,设 AC=b, 3=b2+4﹣4bcosC ∴b2﹣4bcosC+1=0 ∴△=16cos2C﹣4≥0 ∵AB<BC ∴C 不可能是钝角 ∴ ∴角 C 的取值范围是(0, 故答案为:(0, ] ]

【点评】本题考查余弦定理的运用,考查解不等式,解题的关键是利用余弦定理构建方程,利用判别式得 不等式.

10.已知四面体 ABCD 的外接球球心 O 在棱 CD 上, 接球上的球面距离是 .

,CD=2,则 A、B 两点在四面体 ABCD 的外

【考点】球面距离及相关计算. 【专题】计算题;方程思想;综合法;球. 【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出 O 为 CD 的中点,且 OA=OB=OC=OD,进而在△ A0B 中, 利用余弦定理求得 cos∠AOB 的值,则∠AOB 可求,进而根据弧长的计算方法求得答案. 【解答】解:球心到四个顶点距离相等,故球心 O 在 CD 中点,则 OA=OB=OC=OD=1,

再由 AB= 则∠AOB= 故答案为:

,在△ A0B 中,利用余弦定理 cos∠AOB= ,则弧 AB= . ?1= .

=﹣ ,

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等,考查了学生观察分析和基本的运算能 力.

11.(x3+2x+1)(3x2+4)展开后各项系数的和等于 【考点】二项式系数的性质. 【专题】对应思想;转化法;二项式定理.

28 .

【分析】根据题意,令 x=1,代入多项式即可求出展开式中各项系数的和. 【解答】解:(x3+2x+1)(3x2+4)展开后含有字母 x, 令 x=1,则展开式中各项系数的和为: (13+2×1+1)(3×12+4)=28. 故答案为:28. 【点评】本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题,解题时应利用 x=1 进行计算,是基础题.

12.已知函数 f(x)=x2﹣1 的定义域为 D,值域为{0,1},则这样的集合 D 最多有 9 个. 【考点】函数的定义域及其求法;二次函数的性质. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据值域中的几个函数值,结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个 x 值,再加以组合即 可得到定义域 D 的各种情况. 【解答】解:∵f(x)=x2﹣1, ∴f(±1)=0,f(± )=1, },{﹣1,﹣ },{﹣1, },{1,﹣ },{﹣1,1, },{﹣1,1,

因此,定义域 D 有:{1, ﹣ {1, }, ,﹣ },{﹣1,

,﹣

},{﹣1,1,

,﹣

}共 9 种情况.

故答案为:9. 【点评】本题给出二次函数的一个值域,要我们求函数的定义域最多有几个,着重考查了函数的定义与进 行简单合情推理等知识,属于基础题.

13.正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3 把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的 6 个 数字之和恰好是 9 的概率为 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】 称求出基本事件总数 n=4×4=16, 再由列举法求出露在外面的 6 个数字之和恰好是 9 包含的基本事 件个数,由此能求出露在外面的 6 个数字之和恰好是 9 的概率. 【解答】解:正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3 把两个这样的四面体抛在桌面上, 露在外面的 6 个数字之和包含的基本事件总数 n=4×4=16, 设两个正四面体中压在桌面的数字分别为 m,n, 则露在外面的 6 个数字之和恰好是 9 的基本情况有:(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),共包含 4 个基本事件, ∴露在外面的 6 个数字之和恰好是 9 的概率 p= 故答案为: . 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用. .

14.设 x1,x2 是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根,若 x1 是虚数,

是实数,则

S=1+ 【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】方程思想;转化思想;数系的扩充和复数.

= ﹣2 .

【分析】设 x1=s+ti(s,t∈R,t≠0).则 x2=s﹣ti.则 x1+x2=2s,x1x2=s2+t2.利用

=s3﹣3st2+(3s2t﹣t3)

i 是实数, x1x2=s2+t2. 可得 3s2=t2. 于是 x1+x2=2s, 入化简即可得出. 【解答】解:设 x1=s+ti(s,t∈R,t≠0).则 x2=s﹣ti. 则 x1+x2=2s,x1x2=s2+t2. ∵ = =s3﹣3st2+(3s2t﹣t3)i 是实数,

+1=0, 取

=ω, ω3=1. 则 ω2+ω+1=0, 代

∴3s2t﹣t3=0, ∴3s2=t2. ∴x1+x2=2s,x1x2=s2+t2. ∴4s2= = +2x1x2=x1x2,



+1=0,



=ω,

则 ω2+ω+1=0, ∴ω3=1. 则 S=1+ =0+ω+ω2+ω+ω2 =﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题. =1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32

二.选择题:(本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.已知向量 与 不平行,且 A.向量 C.向量 与 垂直 B.向量 与 ,则下列结论中正确的是( 与 垂直 平行 )

与 垂直 D.向量

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】对应思想;分析法;平面向量及应用. 【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为 0 得出向量是否垂直. 【解答】 解: 设 ∵ 的夹角为 θ, 则 0<θ<π, ( ? ) ( = ) =0, ∴ ( ⊥ ) ( ) ,

故 A 正确;D 错误. ∵( ∵ )? = = ﹣ = = ﹣ + cosθ≠0,∴ cosθ≠0,∴ 与 不垂直;故 B 错误; 与 不垂直,故 C 错误;

故选:A. 【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系,属于基础题.

16.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“

”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等式的基本性质. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据不等式的性质,我们先判断“0<ab<1”?“ 要条件的定义即可得到答案. 【解答】解:若“0<ab<1” 当 a,b 均小于 0 时, 即“0<ab<1”?“ 若“ ” ”为假命题 ”与“ ”?“0<ab<1”的真假,然后结合充

当 a<0 时,ab>1 即“ ”?“0<ab<1”为假命题 ”的既不充分也不必要条件

综上“0<ab<1”是“ 故选 D.

【点评】本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件的判断,及不等式的性质,其中根据不等式 的性质判断“0<ab<1”?“ ”与“ ”?“0<ab<1”的真假,是解答本题的关键.

17.(文)设 x、y 均是实数,i 是虚数单位,复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i 的实部大于 0,虚部不小于 0, 则复数 z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( )

A.

B.

C.

D.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】数系的扩充和复数.

【分析】由复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i 的实部大于 0,虚部不小于 0,可得 规划的知识可得可行域即可. 【解答】解:∵复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i 的实部大于 0,虚部不小于 0, ∴ ,

,利用线性

由线性规划的知识可得:可行域为直线 x=2y 的右下方和直线的左下方,因此为 A. 故选:A. 【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域,属于中档题.

18.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1、x2∈D,当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1)+f(x2)=2b, 则称点(a,b)为函数 y=f(x)图象的对称中心.研究函数 f(x)=x+sinπx﹣3 的某一个对称中心,并利 用对称中心的上述定义, 可得到 值为( A.﹣4031 ) B.4031 C.﹣8062 D.8062 的

【考点】函数的值;抽象函数及其应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】利用函数对称中心的性质得到当 x1+x2=2 时,恒有 f(x1)+f(x2)=﹣4,能此能求出结果. 【解答】解:∵f(x)=x+sinπx﹣3, ∴当 x=1 时,f(1)=1+sinπ﹣3=﹣2, ∴根据对称中心的定义,可得当 x1+x2=2 时,恒有 f(x1)+f(x2)=﹣4, ∴ =2015[f( )+f( )]+f( )

=2015×(﹣4)﹣2 =﹣8062. 故选:C. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.

三.解答题:(本大题共 5 题,满分 74 分) 19.三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC 且 AC=2,BC= ,SB= .

(1)证明:SC⊥BC; (2)求三棱锥的体积 VS﹣ABC.

【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】(1)因为 SA⊥面 ABC,AC 为 SC 在面 ABC 内的射影,由三垂线定理可直接得证. (2)由题意可直接找出侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的平面角是∠SCA,在直角三角形中求解即可. 【解答】解:(1)∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A ∴SA⊥平面 ABC,∴AC 为 SC 在平面 ABC 内的射影, 又∵BC⊥AC,由三重线定理得:SC⊥BC (2)在△ ABC 中,AC⊥BC,AC=2,BC= ∵SA⊥AB,∴△SAB 为 Rt△ ,SB= ∵SA⊥平面 ABC,∴SA 为棱锥的高, ∴VS﹣ABC= × ×AC×BC×SA= ×2× × = . ,∴AB= =2 = , ,

,∴SA=

【点评】本题考查了三垂线定理的应用,考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力,计算能力;三垂 线定理也可看作是线线垂直的判定定理,是证明异面直线垂直的常用方法.

20.已知函数 f(x)=sin22x﹣sin2xcos2x. (1)化简函数 f(x)的表达式,并求函数 f(x)的最小正周期; (2)若点 A(x0,y0)是 y=f(x)图象的对称中心,且 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】函数思想;综合法;三角函数的图像与性质. ,求点 A 的坐标.

【分析】(1)利用降次公式,二倍角公式,和角公式化简 f(x)= 公式计算周期; (2)由对称中心的性质可知 sin(4x0+ 【解答】解:(1) 所以 f(x)的最小正周期 . =0, ∴4x0+ ) =kπ, x0= 或 x0= . )=0,结合 x0∈[0, ]求出 x0,得到 A 点坐标. =

,代入周期



y0) ∵点 A(x0, ∴sin (2) 是 y=f (x) 图象的对称中心, (4x0+ ∵x0∈[0, ],∴ 或



k∈Z. .

,解得 k=1 或 k=2,∴x0= .

∴点 A 的坐标为

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,正弦函数的图象与性质,属于中档题.

21.已知实数 x 满足 32x﹣4﹣ (1)求实数 x 的取值范围;

+9≤0 且 f(x)=log2



(2)求 f(x)的最大值和最小值,并求此时 x 的值. 【考点】对数的运算性质;函数的最值及其几何意义. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)将 3x﹣2 看作一个整体,因式分解结合指数的运算性质从而求出 x 的范围即可;(2)先将 f (x)配方,结合二次函数的性质求出其最值即可. 【解答】解:(1)由 得 32x﹣4﹣10?3x﹣2+9≤0, 即(3x﹣2﹣1)(3x﹣2﹣9)≤0, ∴1≤3x﹣2≤9,2≤x≤4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)因为 = ﹣﹣﹣ 当 ,即 时, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当 log2x=1 或 log2x=2,即 x=2 或 x=4 时,ymax=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣ 【点评】本题考察了对数以及指数的运算性质,考察二次函数的性质,是一道中档题.

22.数列{an}满足 a1=5,且 (1)求 a2,a3,a4; (2)求数列{an}的通项公式; (3)令 bn= ,求数列{bn}的最大值与最小值.

(n≥2,n∈N*).

【考点】数列递推式;数列的求和. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】(1)由 a1=5,且 (2)设数列 (n≥2,n∈N*).分别令 n=2,3,4,即可得出. ,得 即

的前 n 项和为 Sn,利用递推关系可得: ,再利用等比数列的通项公式即可得出.

(3)

,变形利用单调性即可得出.

【解答】解:(1)∵a1=5,且 分别令 n=2,3,4,可得: . (2)设数列 的前 n 项和为 Sn,则 ,得 即

(n≥2,n∈N*).







∴{an}从第二项起成等比数列,又 a2=10, ∴ .

(3)











所以当 n=3 时, 当 n=4 时 但 综上所述, , ,



,(bn)max=b1=5.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、数列的单调性、递推关系,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

23.某地拟建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓如图所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一 部分,其中 E(0,t)(0<t≤25);曲线 BC 是抛物线 y=﹣ax2+50(a>0)的一部分;CD⊥AD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建体育馆的高 OB=50(单位:米,下同). (1)若 t=20、a= ,求 CD、AD 的长度;

(2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 a= ,求 AD 的最大值.

【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】数形结合;综合法;直线与圆.

【分析】(1)分别求出 OD 和 AO 的长,相加即可;(2)问题转化为 等式的性质解出即可; (3)法一:根据三角函数知识解答;法二:根据圆的知识解答即可. 【解答】解:(1)因为圆 E 的半径为 OB﹣OE=50﹣t=30, 所以 CD=30. 在 中令 y=30,得 . ,

恒成立,根据级别不

在圆 E:x2+(y﹣20)2=302,中令 y=0,得 所以 .

(2)由圆 E 的半径为 OB﹣OE=50﹣t,得 CD=50﹣t. 在 y=﹣ax2+50 中令 y=50﹣t,得 由题意知, 当 故 (3)当 ,即 t=25 时, ,解得 时, . . . . 恒成立.

对 t∈(0,25]恒成立,所以 取得最小值 10,

又圆 E 的方程为 x2+(y﹣t)2=(50﹣t)2, 令 y=0,得 下求 方法一:令 则 , 从而当 方法二:令 时,AD 取得最大值 . , = ,其中 φ 是锐角,且 ,所以 ,从而 的最大值. .

,则题意相当于:已知 x2+y2=25(x≥0,y≥0),

求 z=AD=5(2x+y)的最大值. 当直线 与圆弧 x2+y2=25(x≥0,y≥0)相切时,z 取得最大值 米. .

答:当 t=5 米时,AD 的最大值为

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系,考查三角函数问题,考查函数恒成立问题,是一道难题.


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