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高中数学必修4第三章考试卷2


必修四第三章考试卷 2

一、选择题(题型注释) 1.若 sin 2? ?

1 ? ? ,且 ? ? ( , ) ,则 cos ? ? sin ? 的值是( 4 4 2
B.



A.

3 2

3 4

C. ?

>
3 2

D. ?

3 4

2.已知 cos 4 ? ? sin 4 ? ? 3. sin A. ?

7? 7? cos 的值为: ( ) 4 4
B. ?

? 2 ? , ? ? (0, ) ,则 cos(2? ? ) ? ______ 3 2 3

1 2

2 2

C.

1 2

D.

2 2

4.已知 sin ? ?

2 ,则 1 ? cos 2? = 4
1 2
(C)

(A)

1 2

(B) ?

1 4

(D) ?

1 4

5.已知 tan ? ? 值为( A. ? ).

1 2 , tan( ? ? ? ) ? ,那么 tan(? ? 2? ) 的 2 5
9 8
C. ?

3 4

B. ?

1 12

D.

7 9
)

6.已知 a ? (0,

?
2

),cos ? ?

? 3 ,则 cos(? ? ) 等于( 6 3
6 6
C. ? = (

A.

1 6 ? 2 6

B. 1 ?

1 6 ? 2 6
)

D. ?1 ?

6 6

7.已知 A. B. C. D. 8.已知 sin ? ? cos ? ? A.

,则

24 25

1 ,则 sin 2? 等于 ( 5 24 12 B. ? C. ? 25 25
试卷第 1 页,总 3 页

) D.

12 25

9. cos43 cos77 ? sin 43 cos167 的值为(
? ? ? ?



A.

1 2

B. ?

1 3
?

C.

1 3
cos( ? ?

D. ?

1 2

?
2

10.已知 2 tan ? ? sin ? ? 3 ,

?? ? 0
,则

?

) 6 的值是
1 D. 2


A.0

3 B. 2

C.1

11.已知 ? 和 ? 都是锐角,且 sin ? ? A.

33 65

B.

16 65

C.

56 65

5 4 ,cos(? ? ? ) ? ? ,则 sin ? 的值是( 13 5 63 D 65

12. 2 ? 2cos8 ? 2 1 ? sin8 的化简结果是 A、 4 cos 4 ? 2sin 4 B、 2sin 4 C、 2sin 4 ? 4 cos 4 D、 ?2sin 4

二、填空题(题型注释) 13. sin 75? cos15? ? cos 75? sin15? =_ _▲____. 14.已知 sin ? ? cos ? ? ?

1 2 , cos ? ? sin ? ? , 则 sin(? ? ? ) = 2 3

15.设 α 为锐角,若 cos ? ? ?

? ?

??

4 ? ? = 5 ,则 sin(2α + 12 )=__________. 6?

16. 已知 0 ? ? ? ? , 2 sin 2? ? sin ?,则 cos( 2? ?

?
2

) 等于



17.式子 tan20° +tan40°+ 3 tan20°tan40°的值是____. 三、解答题(题型注释) 18. (本小题满分 12 分)已知 a ? ? cos x,sin x ? , b ? ? 2sin x,sin x ? cos x ?? x ? R ? , 设函数 f ? x ? ? a ?b . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间.
1 19.已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? , x ? R. 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别 a , b, c, 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin( A ? C ) ? 2sin A, 求
a , b 的值.

20.(本小题满分 14 分)

试卷第 2 页,总 3 页

已知

tan (

?
4

? ? ) ? 2,

(1)求 tan? 的值

1 2 (2)求 2sin ? cos ? ? cos ? 的值
21.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 sin 2 x . (I)求 f ( x ) 的最小正周期; (II)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
4

] 上的取值范围.

22. (本小题 10 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ? 为1. (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)将 f ( x) 的图象向左平移 ∈ [0,

?

) cos( x ? ) ? sin 2 x ? a 的最大值 4 4

?

?
6

个单位,得到函数 g ( x) 的图象,若方程 g ( x) =m 在 x

?
2

]上

有解,求实数 m 的取值范围.

试卷第 3 页,总 3 页

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参考答案 1.C 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于

sin 2? ?

1 ? ? , 且 ? ?( , ) , 4 4 2

1 3 ? (cos ? -sin ? ) 2 =1-sin 2? =1- = ,因为角的三角函数的定义可知,cos ? -sin ? <0,故可 4 4
知答案为 ?

3 2 ,故选 C.

考点:二倍角公式 点评:主要是考查了二倍角的公式的运用,属于基础题。 2.

2 ? 15 6
2 2 sin ,得 (cos ? ? 3
2

【解析】由 cos 4 ? ? sin 4 ? ?

) ?(cos ?

2

? sin? ) 2 ? ?

2 2 ,即 cos2 ? ? , 3 3

又由 ? ? (0, ) ,得 2? ? (0, ? ) ,∴ sin2? ? , 2 3 于是, cos(2? ? 3. A 【解析】 sin 4.C 【解析】略 5. C

?

5

?
3

) ? cos 2? cos

?
3

? sin 2? sin

?

2 1 5 3 2 ? 15 . ? ? ? ? ? 3 3 2 3 2 6

7? 7? 1 7? 1 cos ? sin ? ? . 4 4 2 2 2

2 1 ? tan( ? ? ? ) ? tan ? 1 【 解 析 】 tan( ? ? 2? ) ? ? 5 2 ?? . 1 ? tan( ? ? ? ) tan ? 1 ? 2 ? 1 12 5 2
6.A 【解析】 试题分析:∵ ? ? (0,

?
2

) , cos ? ?

3 6 ,∴ sin ? ? , 3 3

∴ cos(? ?

?
6

) ? cos ? cos

?
6

? sin ? sin

?
6

?

3 3 6 1 1 6 . ? ? ? ? ? 3 2 3 2 2 6

考点:1.三角函数求值;2.两角和与差的余弦公式. 7.C

答案第 1 页,总 6 页

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【解析】因为 所以 ,选 C.



8.B 【解析】本题考查同角三角函数关系式,倍角公式及运算能力.

1 1 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? n i s 2 两边平方得: , 即1 ? 5 25 24 . 故选 B 所以 sin 2? ? ? 25
由 sin ? ? cos ? ? 9.D 【解析】 试题分析:根据题意,由于

??

1 ; 25

cos 43? cos 77? ? sin 43? cos167? ? cos 43? cos 77? ? sin 43? sin 77? ? cos(43? ? 77 ? ) ? cos120? ? ?
故可知结论为 D. 考点:两角和差的公式 点评:主要是考查了两角和差的三角关系式的运用,属于基础题。 10.A 【解析】 2sin 2 ? ? 3cos ? ,即2cos2 ? ? 3cos ? ? 2 ? 0 ,解得 cos ? ?

1 2

?

?
2

? ? ? 0,?? ? ?

?

; 则 cos(? ? ) ? cos(? ) ? 0 故选 A 3 6 2 12 c? os ? ? ? , ? ? 13

?

?

1 , cos ? ? ?2(舍去) 2

11 . C

?? 【解析】由 sin

3 ) 5 3 12 4 5 56 ? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? ? ? ? ? . 5 13 5 13 65

5 ? ? , ? (0, ? ), 13 2

? (0, ), ?s ? i n? ( ?,

12.D 【解析】略

3 13. 2
【解析】略 14.

47 72

【解析】略 15.

17 2 50

答案第 2 页,总 6 页

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【解析】设 α +
2

? 4 3 24 =θ ,cosθ = ,sinθ = ,sin2θ =2sinθ cosθ = ,cos2θ = 5 5 25 6

2cos θ - 1 =

7 ? ? ? ? ?? ? ? , sin ? 2? ? = sin ? 2? ? ? = sin2 θ · cos - cos2 θ · sin = ? 25 4 4 12 ? 4? ? ?

17 2 . 50
16.

15 8

【解析】略 17. 3 【解析】 试题分析:因为 tan 60? ? tan( 20? ? 40?) ?

tan 20? ? tan 40? , 1 ? tan 20? tan 40?

所以 t an 20? ? t a n 40? ? 3 (1 ? t a n 20? t a n 40?) , 则 tan20 ° +tan40 ° + tan40° ? 3 . 考点:两角和的正切公式的灵活运用. 18 . (Ⅰ)函数 f ? x ? 的最小正周期 T ? (Ⅱ)单调递增区间为 [?

3 tan20 °

?
8

? k? ,

3? ? k? ], k ? Z . 8

2? ?? ; 2

【 解 析 】 先 根 据 数 量 积 的 坐 标 表 示 及 三 角 恒 等 变 换 公 式 可 求 出

f ? x? ?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? ,易确定其周期,及单调递增区间. 2 4 2

解: (Ⅰ) f ? x ? ? a ?b ? ? cos x,sin x ? ? ? 2sin x,sin x ? cos x ?

? sin 2 x ? sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x = sin(2 x ? ) ? , 5 分 2 2 2 4 2 2? ?? 2
7分 9分

∴函数 f ? x ? 的最小正周期 T ? (Ⅱ)由 ? 得 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
4

?

?

?
8

? k? ? x ?

3? ? k? , k ? Z 8

2

? 2 k? , k ? Z

所以函数 f ? x ? 在 R 上的单调递增区间为 [? 19.(Ⅰ)0 (Ⅱ)

?
8

? k? ,

?

3? ? k? ], k ? Z . 12 分 8

答案第 3 页,总 6 页

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【解析】本题考查三角函数的化简,考查三角函数的性质,考查正弦、余弦定理的运用,属 于中档题. (1)利用二倍角公式、辅助角公式化简三角函数,即可求函数 f(x)的最大值和最小正周 期; (2)先求出 C,再利用 sin(A+C)=2sinA,结合正弦、余弦定理,可求 a,b 的值. 解: (1) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1…………….3 分 2 2 2 6
2? ? ? …………………6 分 2

则 f ( x ) 的最大值为 0,最小正周期是 T ? (2) f (C ) ? sin(2C ?

) ? 1 ? 0 则 sin(2C ? ) ? 1 6 6 ? ? 11 ? 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? 2? ?? ? 2C ? ? ? 6 6 6 ? 2C ?

?

?

?

6

?

?

2

?C ?

?

3 a 1 ? ①………………………………9 分 b 2

?sin( A ? C ) ? 2sin A 由正弦定理得
2 2 2 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos

?

3

即 a 2 ? b2 ? ab ? 9 ② 由①②解得 a ? 3 20.

b ? 2 3 ………………………………………12 分

1 (1) 3 2 (2) 3 tan(
【解析】(1) 由 (2)

?
4

??) ?

1 ? tan ? ? 2, 1 ? tan ?

1 得 tan ? ? ; 3

--- 5 分

1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2sin ? cos ? ? cos ? 2? 2 tan ? ? 1 1 ( )2 ? 1 2 ? 3 ? . 1 2? ?1 3 3

? ? ? 5分

? ? ? 4分

3 3 21. (1) T ? ? ; (2) f ( x) max ? f ( ? ) ? 1 ? , f ( x) min ? f ( ? ) ? 1 ? 12 2 4 2 2 【解析】本试题主要是考查了三角函数的性质的运用
答案第 4 页,总 6 页

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(1)因为 f(x) ? sin(2 x ? ? ) ?

3

3 2 ,然后利用周期公式得到结论一。

(2)根据已知中定义域? x ? [0, ? ] 得到结论。

? 2 x ? ? ? [ ? , 5? ] 4 ,可知 3 3 6 ,然后结合三角函数的性质
3 cos 2 x ? 3 2 2

解: f ( x ) ? 1 sin 2 x ? 3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ?

2

2

2

(1) T ? ?

? sin(2 x ? ? ) ? 3 3 2

(2)? x ? [0, ? ]

4

? 2 x ? ? ? [ ? , 5? ] 3 3 6

? f ( x) max ? f ( ? ) ? 1 ? 3 , f ( x) min ? f ( ? ) ? 1 ? 3 12 2 4 2 2

? ? 5? ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ? 12 ? 22. (1) ? 12 (2)-3≤m≤ 3 ? 1
【解析】 试题分析: (1)先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数:

?? ?? ? ? ? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? a ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? a ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a 2? 3? ? ? ,再
根据基本三角函数性质求其单调增区间( 2 )先根据图像变换得函数 g ( x) 的解析式,即

[0, ] g ? x ? =2cos(2x+ 6 )-1,再求函数 g ( x) 在 x∈ 2 上值域,从而可得实数 m 的取值范
围.

?

?

?? ? ? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? a ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? a 2? ? 试题解析: (1)

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a 3? ? ? 2 ? a ? 1 ,? a ? ?1
?


?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k?

5? ? ? k? ? x ? ? k? 12 ,解得 12 , ?

? ? 5? ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ? 12 ? 所以函数的单调递增区间 ? 12
? ? ? f x (3)? 将 的图象向左平移 6 个单位,得到函数 g ? x ? 的图象,

答案第 5 页,总 6 页

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? ? ?? ?? ?? 2? ? ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? 6? 6 ? 3? 3 ? ? ? ?

? ? ? - 1 ( 或 写 成 g ? x ? =2cos

?
(2x+ 6 )-1 )

2? 2? ? 2? 5? ? ? ? ?? 2? 2? sin ? 2 x ? ? x ? ?0, ?,? 2 x ? ?? , ? 2x ? ? 3 3 ? 3 3 ? ?当 ? 2? 3 3 时, ?
取最大值 3 ? 1 ; 当

3 ? ?? ? 2 , g ?x ?

2x ?

2? ? ? 2? 3? sin ? 2 x ? ? ? ?1 ? 3 ? 3 2 时, ? , g ? x ? 取最小值-3.

方程 g ( x) =m 在 x∈

[0, ] 2 上有解,即 -3≤m≤ 3 ? 1

?

考点:二倍角公式、配角公式,三角函数图像与性质

答案第 6 页,总 6 页


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