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2017届高考数学一轮复习 必考部分 复数 算法 推理与证明 第1节 数系的扩充与复数的引入应用能力提升 文


第十一篇

复数、算法、推理与证明(必修 3、选修 1-2) 第1节 数系的扩充与复数的引入

【选题明细表】 知识点、方法 复数的相关概念 复数代数形式的运算 复数的几何意义 复数相等的应用 复数的综合
2

题号 1,5,10,12,14,15,19,22 3,6,8,9,16,24 2,11,13,18,

20 4,7,17,21 23,25

基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2016 资阳模拟)复数 m -1+(m+1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为( B ) (A)-1 (B)1 (C)±1 (D)±2 2 2 解析:若复数 m -1+(m+1)i 是纯虚数,则 m -1=0 且 m+1≠0,解得 m=1. 2.(2016 重庆模拟)在复平面内,复数 i·(1-i)对应的点位于( A ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解析:因为 i·(1-i)=1+i, 所以复数 i·(1-i)对应的点的坐标为(1,1),显然位于第一象限. 3.(2016 绵阳模拟)已知 i 是虚数单位,则 (A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i 解析: = = = =1-i. 等于( D )

4.(2016 宿州三模)设 i 为虚数单位,若 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

=b-i(a,b∈R),则 a+b 等于( C

)

解析:因为

=b-i(a,b∈R),

所以 a+2i=bi+1, 所以 a=1,b=2, 所以 a+b=3. 5.(2015 高考广东卷)若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则 等于( (A)2-3i (B)2+3i (C)3+2i (D)3-2i
1

A )

解析:因为 i(3-2i)=3i-2i =2+3i,所以 z=2+3i, 所以 =2-3i,故选 A.
3

2

6.(2015 高考四川卷)设 i 是虚数单位,则复数 i - 等于( (A)-i
3

C )

(B)-3i (C)i

(D)3i

解析:i - =-i+2i=i.故选 C.

7.(2015 高考新课标全国卷Ⅱ)若 a 为实数,且 (A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4

=3+i,则 a 等于( D )

解析:因为

=3+i,所以 2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,

又 a∈R,所以 a=4. 8.(2015 高考湖南卷)已知 (A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i 解析:z= = =-i(1-i)=-1-i,故选 D. =1+i(i 为虚数单位),则复数 z 等于( D )

9.(2015 高考安徽卷)设 i 是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)等于( C ) (A)3+3i (B)-1+3i (C)3+i (D)-1+i 2 解析:(1-i)(1+2i)=1+i-2i =3+i.故选 C. 2 10.(2016 岳阳二模)已知集合 M={x|x=a+(a -1)i}(a∈R,i 是虚数单位),若 M? R,则 a 等于 ( C ) (A)1 (B)-1 (C)±1 (D)0 2 2 解析:集合 M={x|x=a+(a -1)i}(a∈R,i 是虚数单位),若 M? R,可知复数 x=a+(a -1)i 是实数, 2 所以 a -1=0,解得 a=±1. 11.(2016 茂名二模)复数 1- (i 为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标是( (A)(1,1) (B)(1,-1) (C)(-1,1) (D)(-1,-1) B )

解析:因为复数 1- =1+ =1-i,在复平面上对应的点的坐标为(1,-1).

12.(2016 黄冈模拟) 是 z 的共轭复数,若 z+ =3,z- =3i(i 为虚数单位),z 的实部与虚部之和 为( B )

2

(A)0

(B)3

(C)-3

(D)2

解析:设 z=a+bi(a,b∈R),由 z+ =3,z- =3i,得

所以 a=b= .所以 a+b=3. 13.(2016 资阳模拟)在复平面内,复数 1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为 A,B,则线段 AB 的中 点 C 对应的复数为( D ) (A)-4+2i (B)4-2i (C)-2+i (D)2-i 解析:因为(1+i)(2-i)=3+i,所以 A 的坐标为(1,-3),B 的坐标为(3,1),线段 AB 的中点 C 的坐 标为(2,-1), 所以线段 AB 的中点 C 对应的复数为 2-i. 14.(2016 烟台一模)设 i 是虚数单位,a∈R,若 是一个纯虚数,则实数 a 的值为( C )

(A)-

(B)-1

(C) (D)1

解析:

=

=

.因为复数是纯虚数,所以 .

解得 a= .

15.(2015 高考北京卷)复数 i(1+i)的实部为 2 解析:i(1+i)=i+i =-1+i,所以实部为-1. 答案:-1 16.(2015 高考天津卷)i 是虚数单位,计算

的结果为

.

解析:

=

=

=-i.

答案:-i 17.(2016 龙岩模拟)已知 a,b∈R,i 为虚数单位,若 a-i=2+bi,则 a+b= . 解析:因为 a-i=2+bi,所以 a=2,-1=b, 所以 a+b=2-1=1. 答案:1 18.(2016 盐城二模)已知复数 z=(2-i)(1+3i),其中 i 是虚数单位,则复数 z 在复平面上对应 的点位于第 象限. 解析:复数 z=(2-i)(1+3i)=5+5i, 复数 z 在复平面上对应的点(5,5)位于第一象限. 答案:一

3

19.(2016 厦门模拟)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若复数 z=3-i,则 z· = .

解析:由 z=3-i,得 z· =|z| =( 答案:10 20.(2016 宁德二模)复数 z= 为 . =-i(1+i)=1-i.复数 z=

2

) =10.

2

(i 是虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离

解析:复数 z=

(i 是虚数单位)在复平面上对应的点(1,-1)到原点

的距离为 答案:

.

能力提升练(时间:15 分钟) 2 21.(2014 高考浙江卷)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 2 2 解析:当“a=b=1”时,“(a+bi) =(1+i) =2i”成立, 2 故“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的充分条件; 2 2 2 当“(a+bi) =a -b +2abi=2i”时,“a=b=1”或“a=b=-1”, 2 故“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的不必要条件; 2 综上所述,“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的充分不必要条件. 22.(2016 钦州模拟)若复数 (A)-3 (B)3 = (C)-6 = (a∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( B (D)6 是纯虚数,所以 a-3=0,a+3≠0,所以 a=3.

A )

)

解析:因为

23.在复平面内,复数 z=(

-1)+(2 -1)i 的对应点位于第二象限,则实数 x 的范围是(

x

C )

(A)(1,+∞) (B)(-∞,0) (C)(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:因为复数 z=( -1)+(2 -1)i 的对应点位于第二象限,
x



解得 0<x<1.

4

所以实数 x 的范围是(0,1). 2 24.(2016 福州一模)已知 a,b∈R,i 为虚数单位,若 a-i=2+bi,则(a+bi) = . 2 2 解析:由 a-i=2+bi,得 a=2,b=-1,所以(a+bi) =(2-i) =3-4i. 答案:3-4i 25.(2016 包头校级模拟)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,且 z1=2+i,则 | |= .

解析:因为复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,且 z1=2+i,所以 z2=-2+i, 所以 =

=

=

=- + i,

所以| |=

=1.

答案:1 精彩 5 分钟 1.定义:z =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根据定义,则复数 -3+4i 的平方根是( B ) (A)1-2i 或-1+2i (B)1+2i 或-1-2i (C)-7-24i (D)7+24i 解题关键:利用复数相等的充要条件求解. 2 解析:设(x+yi) =-3+4i,则
2

解得



2.(2016 黄山二模)“复数

(a∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是

“a<-1”的( B ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解题关键:根据复数的几何意义先求出点位于第二象限时 a 的取值范围,再作出判断.

5

解析:复数

=

=

.因为复数

(a∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应的点位

于第二象限,所以

解得 a<- .所以 “复数

(a∈R,i 为虚数单位)在复平面内对应

的点位于第二象限”是“a<-1”的必要不充分条件.故选 B. 3.(2016 泰安校级期中)定义运算 解题关键:理解新运算的含义. 解析:x= = = = - i,
a c b =ad-bc,若复数 x= d

,y=

4i 3 ? xi ,则 y= 1+i x ? i

.

y=

4i 3 ? xi =4xi-4-(3+3i-xi+x) 1+i x ? i

=5xi-7-3i-x =-5. 答案:-5

6


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