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广东省佛山市2016届高三教学质量检测(一)数学理试题(WORD版)


2016 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 理科数学 2016.1.18
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 z (1 ? i ) ? ?1 ? i ,则 | z ? 1 | ? ( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 2

2.已

知 U ? R,函数 y ? ln(1 ? x ) 的定义域为 M , N ? { x | x 2 ? x ? 0} ,则下列结论正确的是 ( ) B. M ? ( CU N ) ? ? C. M ? N ? U D. M ? ( CU N ) )

A. M ? N ? N

3.已知 a 、 b 都是实数,那么“ a ? b ”是“ ln a ? ln b ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

? x ? y ? 10 ? 4.若变量 x , y 满足 ?0 ? x ? y ? 20 ,则 2 x ? 3 y 的最大值为( ? 0 ? y ? 15 ?
A. 20 5. 已知 x0 ? A. (



?
3 )

B. 35

C. 45

D. 55 )

是函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) 的一个极大值点, 则 f ( x ) 的一个单调递减区间是 ( B. (

? 2?
6 , 3

? 5?
3 , 6

)

C. (

?
2

,? )

D. (

2? ,? ) 3

x2 y2 6.已知 F1 、 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右两个焦点,若在双曲线上存 a b
在点 P ,使得 ?F1 PF2 ? 90? ,且满足 2?PF 1 F2 ? ?PF 2F 1 ,那么双曲线的离心率为( A. 3 ? 1 B. 2 C. 3 )

D.

5 2

7. 某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责, 每次献爱心活动均需该组织 4 位 同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给 4 位同学,且所发信 息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( ) A.

2 5

B.

8.已知 tan x ?

1 ? 2 ,则 sin ( x ? ) =( 2 4

12 25

C. )

16 25

D.

4 5

A.

1 10

B.

1 5


C.

3 5

D.

9 10

9.执行如图所示的程序框图,输出的 z 值为( A. 3 B. 4 开始

C. 5

D. 6

a ? 0, S ? 1

a ? 3?
否 以



2

z ? log2 S
正视图
n

2

3
侧视图

S ? S ?2

输出 s

2

2

a ? a ?1
结束 俯视图 第 10 题图 10.某一简单几何体的三视图如图,则该几何体的外接球的表面积为( A. 13? B. 16? C. 25? ) D. 27?

11.给出下列函数:① f ( x ) ? x sin x ;② f ( x ) ? e x ? x ;③ f ( x ) ? ln( 1 ? x 2 ? x ) .

?a ? 0 ,使得 ?
A.①②

a ?a

f ( x )dx ? 0 的函数是(
B.①③

) C.②③ D.①②③

2 12 . 设 直 线 y ? t 与 曲 线 y ? x( x ? 3 ) 的 三 个 交 点 分 别 为 A( a, t ) 、 B( b, t ) 、 C ( c, t ) , 且

a ? b ? c .现给出如下结论:
① abc 的取值范围是 ( 0, 4 ) ;② a ? b ? c 为定值;③ c ? a 有最小值无最大值.
2 2 2

其中正确结论的个数为( ) A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

二.填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

9. ( x ?

1
3

x

) 5 展开式的常数项是



10 . 已 知 向 量 a ? (1, 2 ) , b ? (1, 0 ) , c ? ( 3, 4 ) , 若 ? 为 实 数 , ( ? a ? b ) ? c , 则 ? 的 值 为 .

11.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“菱草形段”第一个问题“今有 菱草六百八十束,欲令‘落一形’捶(同垛)之,问底子(每层三角形边菱草束数,等价于层数) 几何?”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上 1 束,下一层 3 束,再下一层 6 束, ? ?, 成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示第二层开始的每层菱草束数),则本问题 中三角垛底层菱草总束数为 .

B C 中, 16. 在 ?A 角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,M 是 BC 的中点,BM ? 2 ,AM ? c ? b , 则 ?ABC 面积的最大值为 .
三.解答题:本大题共 8 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 an ? 3S n ? 2 ( n ?N ).
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn .

18.(本小题满分 12 分) 未来制造业对零件的精度要求越来越高. 3 D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的, 常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,后逐渐用于一些产品的直接制造,已经有使用这 种技术打印而成的零部件. 该技术应用十分广泛, 可以预计在未来会有发展空间. 某制造企业向 A 高 校 3 D 打印实验团队租用一台 3 D 打印设备, 用于打印一批对内径有较高精度要求的零件. 该团队在 实验室打印出了一批这样的零件,从中随机抽取 10 件零件,度量其内径的茎叶图如图(单位:? m ) (1)计算平均值 ? 与标准差 ? ; (2)假设这台 3 D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,该团队到工厂安装调试后,
2

9 7 10 2 11 3

7 5 4

8 7

8

9

试打了 5 个零件,度量其内径分别为(单位: ? m ): 86 、 95 、103 、109 、118 ,试问此打印设 备是否需要进一步调试?为什么?

参考数据: P( ? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P( ? ? 3? ? Z ? ? ? 3? ) ? 0.9974 , 0.9544 ? 0.87 , 0.9974 ? 0.99 , 0.0456 ? 0.002.
3 4 2

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1C1C ? 侧面 ABB 1A 1 , AC ? AA 1 ?

2 AB ,

?AA1C1 ? 60? , AB ? AA1 , H 为棱

C

C1

CC1 的中点, D 在棱 BB1 上,
A1 D ? 面 AB1 H .
(1)求证: D 为 BB1 的中点; (2)求二面角 C1 ? A1 D ? A 的余弦值.

A B

A1

D

B1

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的一个顶点为 A( 2, 0 ) ,且焦距为 2 ,直线 l 交椭圆 ? a2 b2

于 E 、 F 两点(点 E 、 F 与点 A 不重合),且满足 AE ? AF . (1)求椭圆的标准方程; (2) O 为坐标原点,若点 P 满足 2OP ? OE ? OF ,求直线 AP 的斜率的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)

x2 ? a ln x . 设常数 ? ? 0 , a ? 0 , f ( x ) ? ??x
(1)当 a ?

3 ? 时,若 f ( x ) 的最小值为 0 ,求 ? 的值; 4

(2)对于任意给定的正实数 ? 、 a ,证明:存在实数 x0 ,当 x ? x0 时, f ( x ) ? 0 .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写清题 号. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如 图 , 四 边 形 ABCD 是 圆 内 接 四 边 形 , BA 、 CD 的 延 长 线 交 于 点 P , 且 AB ? AD , BP ? 2 BC .

(1)求证: PD ? 2 AB ; (2)当 BC ? 2 , PC ? 5 时,求 AB 的长.

B

A P D

C

23.(本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程选讲 已知直线 l 的方程为 y ? x ? 4 ,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数),以原点为极 ? y ? 2 ? 2 sin ?

点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标; (2)若 P 为圆 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值. 24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? | x ? 2 | ?a , g ( x ) ? | x ? 4 | , a ?R. (1)解不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? a ; (2)任意 x ?R, f ( x ) ? g ( x ) ? a 恒成立,求 a 的取值范围.
2

答案: 一.选择题

CABDBA CDDCBC
二.填空题 13. ? 10 14. ?

3 11

15. 120

13. 2 3


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