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圆锥曲线与方程复习


圆锥曲线与方程复习 一、知识要点
(一)圆锥曲线的定义及其简单几何性质: 椭圆 平 面 内 与 两 个 定 点 F、F2 1 定义 的距离之和等于常数(大于 双曲线 平面内与两个定点 F、F2 1 的距离的差的绝对值等于 常数(小于 F1F2 且大于 | | 零)的点的轨迹 标准 方程 关系 式 图形 对称 性 顶点 离心 率
决定形 状的因 素
<

br />(1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交 不一定有 ? ? 0 , 当直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交且只有一个交点, ? ? 0 是 故 直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;? ? 0 ? 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相 交不一定有 ? ? 0 , 当直线与抛物线的对称轴平行时, 直线与抛物线相交且只有一个交点, ? ? 0 故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (2)相切: ? ? 0 ; (3)相离: ? ? 0 抛物线 平面内与一个定点 F 和一 条直线 l ( l 不经过点 F ) 距离相等的点的轨迹 (三)弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐标, 则 AB = 1 ? k = 1?
2

x1 ? x2 = (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] , y1 , y2 分别为 A、 的纵坐标, AB 若 B 则

|F1F2 )的点的轨迹 |

1 1 y1 ? y 2 = (1 ? 2 )[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 2 k k

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
a ?b ? c
2 2 2

2

2

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
a ?b ? c
2 2 2

2

2

AB = 1 ? k 2 y1 ? y2 = (1 ? k 2 )[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] 。

y2 ? 2 px( p ? 0)

(四)圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b 2 x0 x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 2 ;在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,以 a2 b a b a y0
无限延展,无渐近线 无对称中心 一条对称轴

封闭图形

无限延展,有渐近线 对称中心为原点 两条对称轴

P(x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=
p 。 y0

b 2 x0 ;在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中 2 a y0

四个

两个

一个

c e ? (0 ? e ? 1) a

c e ? (e ? 1) a

e ?1
2 p 决定开口大小

点的弦所在直线的斜率 k= (五)几个重要的结论

e 决定扁平程度

e 决定开口大小

说明: (1)定义中要重视“括号”内的限制条件; (2)圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : I)椭圆:由 x 2 , y
2

2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 2 2 b (2)以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 x ? y ? 1 共渐近线)的双曲线方程可设为 x ? y ? ? (? a a2 b2 a2 b2 为参数, ? ≠0)。

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上;II)双曲线:由 x 2 , y

2



(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1;

系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;III)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项 的符号决定开口方向。 (二)直线与圆锥曲线的位置关系:

二、基础过关
x2 y2 ? ? 1 , F1、F2 分别是椭圆的左右焦点,点 P 是椭圆上的任意一点, 1、已知椭圆的方程为 25 16
则: | PF | ? | PF2 |? 1 为 ;离心率为 ;长轴长为 。 ;短轴长为 ;焦距为 ;焦点坐标

(4)渐近线为 y ? ?3 x ,经过点 (1, ?3 2) 。 6、写出适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点是 F (?3, 0) ; (2)准线方程是 y ? ?

1 ; 4

(3)焦点到准线的距离是 3。 7、椭圆

2、已知双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1 , F1、F2 分别是双曲线的左右焦点,点 P 是双曲线上的任意 9 16
;实轴长为 ;虚轴长为 。 ;焦距为 ;焦

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值是 4 a a 2



一点,则: | PF | ? | PF2 |? 1

点坐标为 ;离心率为 ;渐近线方程为 3、写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) y ? 20x ;
2

x2 y 2 8、双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是 a b
9、抛物线 y2 ? 4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是 10, 则 P 点的坐标是



; ; ;

(2) y ? 2x
2

2

8.若抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 P 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6, 则 p 的值等于 (3) 2 y ? 5x ? 0
2

(4) x ? 8 y ? 0 10、直线 y ? x ? b 与抛物线 x2 ? 2 y 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,且 OA ? OB ,则 b ?

4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

1 ; 3 3 (2)焦点在 y 轴上, c ? 3, e ? ; 5
(1)焦点在 x 轴上, a ? 6, e ? (3)焦点在 x 轴上,焦距为 4,并且经过点 P (3, ?2 6) ; (4)长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P(3, 0) 。 5、写出适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在 y 轴上, a ? 4, b ? 3 ; (2)焦点在 x 轴上, c ? 3, e ?

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 、 F2 双曲线上的点 P 到 F1 的距离为 12, 则 P 到 F2 的 11、双曲线 25 16
距离为 ;

12、已知动圆 M 与直线 y ? 2 相切,且与定圆 C: x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 外切,求动圆圆心 M 的轨迹方 程.

3 ; 2
15 , 2) ; 3

(3)经过点 P(? 2, ? 3)、Q(


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