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上海数学高考易错题目分类汇总


第一部分 1. 在集合运算中一定要分清代表元的含义. 例1、 已知集 P ? {y | y ?

集合

x , x ? R}, Q ? {y | y ? 2x , x ? R} ,求 P ? Q .

【分析:集合 P、Q 分别表示函数 y ? x 2 与 y ? 2 x 在定义域 R 上的值域,所以 P ? [0,?

?) ,

Q ? (0,??) , P ? Q ? (0,??) .】
? ? 1 例2、 设集合 A ? ? y y ? 2 ,x ? R ? , B ? x y ? x ? 1,x ? R ,则 A x ?1 ? ?

?

?

B ? ___________.

【分析:集合 P、Q 分别表示函数 y ? x 2 与 y ? 2 x 在定义域 R 上的值域,所以 P ? [0,??) ,

Q ? (0,??) , P ? Q ? (0,??) .】

2. 对于空集 ? 的讨论不要遗漏. 例3、 若 A ? {x | x 2 ? a}, B ? {x | x ? 2} 且 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围. 【分析:集合 A 有可能是空集 . 当 a ? 0 时, A ? ? ,此时 A ? B ? ? 成立;当 a ? 0 时,

A ? (? a , a ) ,若 A ? B ? ? ,则 a ? 2 ,有 0 ? a ? 4 .综上知, a ? 4 .注意:在集合运算时
要注意学会转化 A ? B ? A ? A ? B 等.】 例4、 已知集合 A ? x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0,x ? R , B ? x x 2 ? mx ? 2 ? 0,x ? R , A 的取值范围是_________. 【分析: A B ? B ? B ? A ,说明 B 中的解一定是 A 中的解或者是无解】 例5、 【 2003 年秋季理科】 a1、b1 、 c1、 a2、 b2、 c2 均为非零实数,不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 的解集分别为集合 M 和 N,那么“ A.充分非必要条件. C.充要条件 【分析:不要忘记两个不等式均无解】 【答案:D】 3. 区间端点的取舍讨论. 例6、 【长宁区(文)】已知集合 A ? x log 2 x ? 2 , B ? (??, a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范 围是 _________ 【答案: ? 4, ??? 】
1

?

?

?

?

B ? B ,则 m

a1 b1 c1 ? ? ”是“M=N”的 a 2 b2 c2





B.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件.

?

?

例7、 【闵行 2011 一模第 12 题】已知条件 p : x ? 1 ? 2 ;条件 q : x ? a ,若 p 是 q 的充分不必 要条件,则 a 的取值范围是 【答案: ?1, ?? ? 】 例8、 【2009 年上海秋季高考】已知集合 A ? ?x | x ? 1? , B ? ?x | x ? a? ,且 A ? B ? R ,则 实数 a 的取值范围是______________________ . 【答案: a ? 1 】
? ? x?k 例9、 若集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0,x ? R , B ? ? x ? 0,x ? R ? ,且 A ? x ? k ?1 ?



?

?

B ? ? ,则实

数 k 的取值范围是_______. 【答案: ( ??, ?4]

(1, ??) 】

4. 充分必要条件的判断 例10、 【 2010 年 春 季 高 考 】 若 a1 , a2 , a3 均 为 单 位 向 量 , 则 a1 ? ? ?

? 3 6? , ? ? 是 3 3 ? ?

a1 ? a2 ? a3 ?

?

3, 6 的

?



) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案:B】

例11、 【松江区 15】设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 2 且 ab ? 1 ”是“ a ? 1 且 b ? 1 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案:B】 例12、 【10 年一模宝山区 15】以下四个命题中的假命题是??( ) (A) “直线 a、b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线 a、b 不相交” ; (B)直线“ a ? b ”的充分不必要条件是“a 垂直于 b 所在的平面” ; (C)两直线“a//b”的充要条件是“直线 a、b 与同一平面 ? 所成角相等” ; (D) “直线 a//平面 ? ”的必要不充分条件是“直线 a 平行于平面 ? 内的一条直线” . 【答案:C】

2

第二部分

不等式

1. 解分式不等式时注意等价变形 例1、 不等式

x ?1 ? 0 的解集是_______________. x?4

【答案: ( ?4, ?1] 】 例2、 不等式

2? x ? 2 的解集是_______________. x?4

【答案: ( ?4, ?2] 】 例3、 【2008 学年青浦区一模第 11 题) 设函数 f ( x ) 的定义域为 [?4, 4] ,其图像如下图,那么

不等式

f ( x) ? 0 的解集为____________. sin x
y

-4

-2

O

1

4

x

【答案: [?4, ?? ) [?2,0) [1, ? )

?4? 】

2. 注意对不等式最高次项系数的讨论(是不是为 0,判断正负号) 例1、 若关于 x 的不等式 kx 2 ? kx ? 2 ? 0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围是___________. 【答案: {x | ?8 ? x ? 0} 】 例2、 【2011 年徐汇区一模第 21 题】 已知关于 x 的不等式 (kx ? k ? 4)( x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R 。
2

(1)求上述不等式的解; (2)是否存在实数 k ,使得上述不等式的解集 A 中只有有限个整数?若存在,求出使得 A 中 整数个数最少的 k 的值;若不存在,请说明理由。 【答案:21.解: (1)当 k ? 0 时, A ? (??, 4) ; ??????2 分 当 k ? 0 且 k ? 2 时,

k?

2 ? 4 ??????4 分 k

4 ? A ? (??, 4) (k ? , ??) ;????????5 分 k
当 k ? 2 时, A ? (??, 4)

(4, ??) ; (不单独分析 k ? 2 时的情况不扣分)

3

4 , 4) .??????.7 分 k (2) 由(1)知:当 k ? 0 时, A 中整数的个数为无限个;??????..9 分 当 k ? 0 时, A 中整数的个数为有限个, ?????11 分 4 因为 k ? ? ?4 ,当且仅当 k ? ?2 时取等号,?????12 分 k 所以当 k ? ?2 时, A 中整数的个数最少。?????.14 分】
当 k ? 0 时, A ? ( k ? 例3、 【2011 闸北区一模理第 9 题】 若 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 {x | ?1 ? x ? 2} , 则 不 等 式
2

2a ? b ?c ?b| x| 的解集 x





【答案: {x | ? 2 ? 1 ? x ? 0} 】

3. 不等式证明题——利用特殊值法只能排除错的选项! ; 例1、 【2007 年上海秋季高考第 13 题】 已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是 A、 a ? b
2 2

B、 ab ? a b
2 2

C、

1 1 ? 2 2 ab ab

D、

b a ? a b

【答案:C 】 例2、 【2008 年南汇一模第 13 题】 若 a ? b ? 0 ,则下列结论中不恒成立 的是( .... A. a ? b 【答案:D 】 例3、 【2006 年春季高考第 14 题】若 a、b、c ? R, a ? b ,则下列不等式成立的是( (A) ) B. ) D. a ? b ? ?2 ab

1 1 ? a b

C. a ? b ? 2ab
2 2

1 1 ? . a b

(B) a 2 ? b 2 .

(C)

a b ? 2 .(D) a | c |? b | c | . c ?1 c ?1
2

【答案:C 】

4. 利用基本不等式求最值时注意“一正、二定(定积定和原理)、三相等” ;若基本不等式求最值时 无法取得等号,应考虑利用函数单调性(还会用定义法证明)不等式证明题—; 例1、 函数 y ? arccos x ? 【答案: ? ?

10 的最小值为___________. arccos x

10

?



4

例2、 【2011 年杨浦区二模文理第 11 题】 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) , 若 a ? b 且 f (a) ? f (b) , 则 a ? b 的取值范围是 【答案】 【 (0,??) 】 .

例3、 函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值为___________.

【答案:

5 】 2

5

第三部分

函数与方程

1. 函数定义域与限制条件,并注意答案写成集合或区间的形式 例1、 不等式 log3 (5x2 ? 8x ? 3) ? 1 的解集为___________. 【答案: [ ? 2, 1)

(1, 3] 】

例2、 【2008 年秋季理科 3】函数 f ( x) ? 【答案: [ 0,

? x2 ? x ? 6 的定义域是 x ?1

.

3 ) 5

(1,

8 ]】 5

例3、

【 2010 年二模长宁第 18 题】如果函数 f ( x) ?| lg | 2 x ? 1 || 在定义域的某个子区间 ( )

(k ? 1, k ? 1) 上不存在反函数,则 k 的取值范围是

1 A.[? ,2) 2
【答案:D】

3 B.(1, ] 2

C.[?1,2)

1 3 D.(?1,? ] ? [ ,2) 2 2

2. 奇函数若在 x ? 0 处有意义,则 f (0) ? 0 ;奇函数的图像不一定过原点;函数具有奇偶性,首先 其定义域应关于原点对称;不具有奇偶性应举反例加以否定. 例1、 设a ? R, f ( x) ? 【答案:-1】 例2、 (2010 年杨浦一模)设函数 f ? x ? ?

2 ? a是奇函数, 求a 2 ?1
x

? x ? 1?? x ? a ? 为奇函数,则实数 a ?
x



【答案:-1】 例3、 (2011 年嘉定一模)若函数 f ( x) ?

k ? 2x ( k 为实常数) 在其定义域上是奇函数, 则k 1? k ? 2x

的值为__________. 【答案: ?1 】 3. 正确使用计算器求解根的范围
?1? 例1、 【2010 秋季高考理科】若 x 0 是方程 ? ? ? x 3 的解,则 x 0 属于区间 ( ). ?2?
?2 ? A. ? ,1 ? ?3 ? ?1 2? B. ? , ? ?2 3? ?1 1? C. ? , ? ?3 2?
6
x 1

? 1? D. ? 0, ? ? 3?

【答案:C】 例2、 【2010 秋季高考文科】若 x0 是方程 lgx?x?2 的解,则 x0 属于区间 A.(0,1) B.(1,1.25) C.(1.25,1.75) D.(1.75,2) 【答案:C】 ( )

x 例3、 【2011 年闵行区二模理第 17 题】设函数 f1 ( x) ? log 4 x ? ( ) 、 f 2 ( x) ? log 1 x ? ( ) 的
x

1 4

4

1 4

零点分别为 x1、x2 ,则( ) (A) 0 ? x1 x2 ? 1 . 【答案:A】 4. 反 函 数 的 本 质 是 x , y 交 换 , 比 如 函 数 y ? f (2 x) 反 函 数 不 是 y ? f
?1

(B) x1 x2 ? 1 .

(C) 1 ? x1 x2 ? 2 .

(D) x1 x2 ? 2 .

(2 x) . 比 如 函 数

y ? f ( x ? 1) 反函数不是 y ? f ?1 ( x ? 1) .
例1、 已知函数 y ? f ( x) 的反函数是 y ? f
?1

则函数 y ? 2 f ?1 (3x ? 4) 的反函数的表达式 ( x) ,

是_________. 【分析:求函数的反函数是解方程的过程,即用 y 表示 x, 然后将 x, y 互换即得反函数的表达式.由

y y 1 y ? 3x ? 4 ? f ( ) ? x ? [ f ( ) ? 4] . 所 以 函 数 2 2 3 2 1 x y ? 2 f ?1 (3x ? 4) 的反函数为 y ? [ f ( ) ? 4] 】 3 2

y ? 2 f ?1 (3x ? 4) 可 得 f ?1 (3x ? 4) ?

例2、 【2010 年一模长宁】 已知函数 f ( x ) 定义在 R 上,存在反函数,且 f (9) ? 18 ,若 y ? f ( x ? 1) 的反函数是 y ? f 【答案: ? 1981 】 例3、 【2009 年高考理科 22】已知函数 y ? f
?1 ?1

( x ? 1) ,则 f (2008) =

.

( x) 是 y ? f ( x) 的反函数。定义:若对给定的实

?1 数 a (a ? 0) ,函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f ( x ? a) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 和性质”; ?1 若函数 y ? f (ax) 与 y ? f (ax) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 积性质”,

(1) 判断函数 g ( x) ? x ? 1 ( x ? 0) 是否满足“ 1 和性质”,并说明理由;
2

(2) 求所有满足“ 2 和性质”的一次函数; 【答案:22.解: (1)函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 的反函数是 g ?1 ( x) ?
2

x ?1( x ? 1) ,

? g ?1 ( x ?1) ?

x ( x ? 0) ,
7

而 g ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 1( x ? ?1) ,其反函数为 故函数 g ( x) ? x 2 ? 1( x ? 0) 不满足“1 和性质”

y ? x ?1 ?1( x ? 1)
?? 4 分

(2)设函数 f ( x) ? kx ? b( x ? R) 满足“2 和性质” ,k ? 0。

? f ?1 ( x) ? x ? b ( x ??R ? ,? f ?1 ( x ? 2) ? x ? 2 ? b
k k
而 f ( x ? 2) ? k ( x ? 2) ? b( x ? R) ,得反函数 y ? 由“2 和性质”定义可知

?? 6 分

k ? 2 ? b x ? b ? 2k = 对 ( x ? R) 恒成立。 k k

x ? b ? 2k , ?? 8 分 k

? k ? ?1, b ? R? 即所求一次函数 f ( x) ? ? x ? b(b ? R) .

??10 分】

5. 判断函数的单调性可用有关单调性的性质(如复合函数的单调性) ,但证明函数单调性只能用 定义! ! !不能用关于单调性的任何性质,用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解 . 记住并会证明:函数 y ? ax ?

b , (a, b ? 0) 的单调性. x

例1、 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ?∞) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是___________. 【答案: a ? [3, ??) 】 例2、 【2010 年嘉定区二模第 21 题】 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ?

a ( x ? [0 , ? ?) ,求函数 f ( x) 的最小值. x ?1

【答案:解 设 x1、x2是[0, + ? )内任意两个实数,且x1

x2 ,则

f ( x1 ) - f ( x ) 2= x + 1

a a - x - 2 x1 + 1 x2 + 1 a( x2 - x1 ) ( x1 + 1)( x2 + 1) a ). ( x1 + 1)( x2 + 1)
????????4 分

= ( x1 - x2 ) +

= ( x1 - x2 )(1(i)当 a < 1 时,

1-

x x + x1 + x2 + 1- a a a = 1 2 > 0, ( x1 - x2 )(1) < 0, ( x1 + 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 + 1) ( x1 + 1)( x2 + 1) ?7

即f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0.
分 因此, f ( x)在[0, +

)上是单调增函数 ,故 ( f ( x))min = f (0) = a . ????9 分
8

(ii) 当 a ? 1 时,

f ( x) = x +

a a = ( x + 1) + - 1 ? 2 a 1. x+ 1 x+ 1 a ,即x = x+ 1 a - 1( a - 1 ? [0, )) 时,等号成立. ??14 分
????????15 分

当且仅当 x + 1 =

于是, ( f ( x))min = f ( a - 1) = 2 a - 1. 所以, ( f ( x)) min = ? í

ì ? a(a < 1) ? ? ? 2 a - 1(a

1)



????16 分】

例3、 【2007 年上海秋季高考第 19 题】已知函数 f ? x ? ? x ?
2

a ( x ? 0, a ? R ) x

(1)判断 f ? x ? 的奇偶性

(2)若 f ? x ? 在 ?2, ??? 是增函数,求实数 a 的范围

【答案: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,
0) 对任意 x ? ( ? ?, (0, ? ? ) , f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x) , ?
2 2

f ( x) 为偶函数.

当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ?

a ( a ? 0, x ? 0) , x

取 x ? ?1 ,得 f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0, f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 0 ,
? f ( ?1 ) ? ? f (, 1) f ? ( 1? )f ,? ( 1 )函数 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.

(2)解法一:设 2 ≤ x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ?

a a ( x1 ? x2 ) 2 ? x2 ? ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a ? , ? x1 x2 x1 x2

? ? ) 上为增函数,必须 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立. 要使函数 f ( x) 在 x ? [ 2, x1 ? x 2 ? 0, x x 1 ? 2 4 ,即 a ? x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) 恒成立.

16] . 又? x1 ? x2 ? 4 ,? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 16 . ? a 的取值范围是 ( ? ?,
2 ? ? ) 为增函数. 解法二:当 a ? 0 时, f ( x) ? x ,显然在 [ 2,

当 a ? 0 时,反比例函数

a a 2 ? ? ) 为增函数,? f ( x) ? x ? 在 [ 2, ? ? ) 为增函数. 在 [ 2, x x

当 a ? 0 时,同解法一. 】

9

第四部分 三角函数 1. 三角函数的最小正周期,计算公式少掉绝对值; 例1、

x? 4 【 2011 年 黄 浦 区 二 模 文 理 第 5 题 】 若 函 数 f ( x)? 2 c o s (


?
7

?) 1 数 与函

g ( x) ? 5 tan(ax ? 1) ? 2 的最小正周期相同,则实数 a=
【答案: a =

2】

2. 三角方程解的个数; 例2、 是 【答案: ?0, ? , 例3、 【 2011 年 杨 浦 区 二 模 文 第 9 题 】 方 程 c o s x 2? .

sx in ?

的, 解] ) 1x , ?( ? [ 0

? ?

? 5? ?
6 ,

?】 6 ?

【2011 年徐汇区二模理科第 5 题,文科第 7 题】在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所 。

对的边,且 3a ? 2c sin A ,则角 C 的大小为 【答案: 例4、

? 2? 和 】 3 3


【2011 一模黄浦 6】方程 sin x ? cos x ? ?1 的解集是

【答案】 : 【镲 x | x = (2n - 1)p 或x = 2np 睚 例5、

禳 镲 镲 镲 铪

p ,n 2

Z 】

【2010 一模宝山 10】方程 sin 4 x ? sin 2 x 在 (0, ? ) 上的解集是________

【答案: ?

? ? ? 5? ? , , ?】 ?6 2 6 ?

3. 三角函数的图象平移问题 例6、 【2011 年徐汇区二模理科第 17 题】函数 y ? 2 cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象按向量 a 平移后的


函数解析式为 y ? f ( x) 。当函数 f ( x ) 为奇函数时,向量 a 可以等于( (A) (?

?
6

, ?2)

(B) ( ?

?
6

, 2)

(C) (

?
6

, ?2)

(D) (

?
6

, 2)

【答案:B】 例7、 【2011 一模闵行 7】将函数 y ? 3tan 2 x 的图像向右平移 1 个单位,得到的图像对应的函

数解析式是 . 【答案】 : 【 y ? 3tan(2 x ? 2) 】

10

例8、

将函数 y ? 4sin ? ?2 x ?

? ?

??

? ? ? 1 的图象横坐标拉伸为原来的 2 倍,再向左平移 6 个单位, 3?

得到的图象对应的函数解析式是__________ 【答案: y ? ?4sin ? x ?

? ?

??

? ? 1】 6?

4. 通过化简三角比判断三角形形状 例9、 【2011 年奉贤区二模文理第 15 题】在△ABC 中, “ c cos B ? b cos C ”是“△ABC 是等 腰三角形”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案:A】 例10、 【2011 奉贤一模 15】在 ?ABC 中, “ cos A ? sin A ? cos B ? sin B ”是“ C ? 90 ”的 ( ) (A) .充分非必要条件 (C) .充要条件 【答案】 : 【B】 (B) .必要非充分条件 (D) .非充分非必要条件

例11、 【 2010 二模闵行 16 】已知 △ ABC 中, AC ? 2 2 , BC ? 2 ,则角 A 的取值范围是 ( ) (A) ?

?? ? ? , ?. ?6 3?

(B) ? 0,

? ?

?? ?. 6?

(C) ? , ? . ?4 2?

?? ? ?

(D) ? 0,

? ?

?? . 4? ?

【答案:D】 5. 三角函数值域问题: 例12、 【2010 二模虹口 6】函数 y ? 2 sin x ? 3 sin 2 x 的最大值是
2

.

【答案: 2 ? 13 】 例13、 【2010 二模长宁 7】函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 6 cos x ? 3 的最大值为 【答案:9】 例14、 函数 y ? 【答案: 1,3 】 例15、 函数 y ?

_______

sin x ? 2 ? ?? , x ? ?0, ? 的值域为_________ 2 ? sin x ? 2?

? ?

sin x ? 2 ,的值域为_________ 2 ? cos x
11

? ? 【答案: ? 2 2 ? 1, 2 2 ? 1? 】
6. 反三角函数的求值问题 例16、 【2011 一模金山 4】计算: sin ? ? arctan

? ?

3? ? ? _________. 3 ? ?

【答案:

1 】 2

例17、 【2011 一模闸北 12】函数 y ? arccos(sinx)? ?

2? ? ? ? ?x? ? 的值域是( 3 ? ? 3
D. ?0, ?



A. ?

? ? 5? ? , ? ?6 6 ?

B. ?

? ? 2? ? , ? ?6 3 ?

C. ?0, ?

? 2? ? ? 3 ?

? 5? ? ? 6 ?

【答案:D】 例18、 【2010 一模普陀 5】已知 cos(? ? ? ) ? ? 函数表示) 【答案: ? arccos

1 ? ? ? ,? ? ? ? ,0 ? ,则 ? ? 3 ? 2 ?

. (用反三角

1 】 3 10 的最小值是_________. arccos x

例19、 【2010 一模静安 8】函数 y ? arccos x ? 【答案: ? ?

10

?



7. 诱导公式、三角和差公式、二倍角公式应用出错 例20、 【2011 年崇明县二模文理第 2 题】函数 y ? cos4 ? x ? sin 4 ? x 的最小正周期 T ? 【答案:2】 例21、 【2010 二模闸北 13】已知 cos( x ? A. 2 m 【答案:C】 B. ? 2 m .

?
6

) ? m ,则 cos x ? cos( x ?
D. ? 3m

?
3

)?(



C. 3m

12

第五部分 1. 数列的通项公式

数列

【例 1】 【2011 年虹口区二模文理第 2 题】数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? n ? 3 ,则通项公式

an ?
【答案: ?



?? 1 (n ? 1) 】 ?2n (n ? 2)

【例 2】 【2011 年嘉定区一模文理第 23 题】已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ? N * ,点

(n , S n ) 都在函数 f ( x) ? 2 x ? x 的图像上.
2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; 【例 3】数列 {an } 满足

1 1 a1 ? 2 a2 ? 2 2

?

1 an ? 2n ? 5 ,则 an = 2n

2.

等比数列的证明与性质

【例 1】 【2011 年黄浦区二模理第 21 题】已知函数 f ( x) ? 足 a1 ? a(a ? ?1 ,a ? R) , an?1 ? f (an )(n ? N * ) . (1)若数列 ?an ? 是常数列,求 a 的值; (2)当 a1 ? 4 时,记 bn ?

4x ? 2 ( x ? ?1,x ? R ) ,数列 ?an ? 满 x ?1

an ? 2 (n ? N * ) ,证明数列 ?bn ? 是等比数列,并求出通项公式 an . a n ?1

【答案: (1)实数 a 的值是 1 或 2.

2 ( )n ? 2 2 2 n ?1 2 n * (2) bn ? ( ) ? ( ) ( n ? N ) . an ? 3 】 (n ? N * ) . 2 n 3 3 3 ( ) ?1 3
【例 2】 【2010 年上海高考第 20 题】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 Sn ? n ? 5a n ? 8 5 证明: ?an ?1 ? 是等比数列; 【答案:略】 【例 3】 【2011 年上海卢湾区二模第 22 题】已知数列 a , b, c 是各项均为正数的等差数列,公差为 d (d ? 0) .在 a , b 之间和 b,c 之间共插入 n 个实数,使得这 n ? 3 个数构成等比数列,其公比为 q.
13

n? N , ,
*

(1)求证: | q |? 1 ; (2)若 a ? 1, n ? 1 ,求 d 的值; (3)若插入的 n 个数中,有 s 个位于 a,b 之间,t 个位于 b,c 之间,且 s , t 都为奇数,试比较 s 与 t 的大小,并求插入的 n 个数的乘积(用 a, c, n 表示) 【答案: (1)由题意知 qn? 2 ?

c , c ? a ? 2d , a c 2d ?1? ? 1, a a

又 a ? 0, d ? 0 ,可得 qn?2 ?

即 | q n? 2 |? 1 ,故 | q |n? 2 ? 1 ,又 n ? 2 是正数,故 | q |? 1 . (2)由 a , b, c 是首项为 1、公差为 d 的等差数列,故 b ? 1 ? d , c ? 1 ? 2d , 若插入的这一个数位于 a , b 之间,则 1 ? d ? q 2 , 1 ? 2d ? q 3 , 消去 q 可得 (1 ? 2d ) 2 ? (1 ? d ) 3 ,即 d 3 ? d 2 ? d ? 0 ,其正根为 d ? 若插入的这一个数位于 b, c 之间,则 1 ? d ? q , 1 ? 2d ? q 3 , 消去 q 可得 1 ? 2d ? (1 ? d ) 3 ,即 d 3 ? 3d 2 ? d ? 0 ,此方程无正根. 故所求公差 d ?

1? 5 . 2

1? 5 . 2

(3)由题意得 q s ?1 ? 故

b a?d c a ? 2d , qt ?1 ? ? ,又 a ? 0, d ? 0 , ? a a b a?d

a ? d a ? 2d d2 a ? d a ? 2d a ? 2d ? ? ? 0 ,可得 ,又 ? ?0, a a?d a (a ? d ) a a?d a?d

故 q s ?1 ? qt ?1 ? 0 ,即 | q |s ?1 ?| q |t ?1 . 又 | q |? 1 ,故有 s ? 1 ? t ? 1 ,即 s ? t . 设 n ? 3 个数所构成的等比数列为 {a n } ,则 a1 ? a, as ? 2 ? b ? 由 ak an? 4?k ? a1an?3 ? ac(k ? 2,3,4, ?, n ? 2) ,可得

a?c , an?3 ? c , 2

( a 2 a 3 ? an?2 )2 ? (a2 an?2 )(a3an?1 ) ? (an?1a3 )(an?2 a2 ) ? (ac)n?1 ,
又 q s ?1 ?

b c ? 0 , q t ?1 ? ? 0 , a b
n ?1 2
n ?1 2 (ac) 2 ; a?c

由 s , t 都为奇数,则 q 既可为正数,也可为负数, ①若 q 为正数,则 a2 a 3 ? an ? 2 ? (ac) ,插入 n 个数的乘积为

14

②若 q 为负数, a 2 ,a 3 , ? , an ? 2 中共有 故 a 2 a 3 ? an ? 2 ? (?1)
n ( ?1) 2

n ? 1 个负数, 2
n n ?1 ( ?1) 2 (?1) 2 (ac) 2 . a?c

(ac)

n ?1 2

,所插入的数的乘积为

所以当 n ? 4k ? 2(k ? N*)时,所插入 n 个数的积为 当 n ? 4k (k ? N*)时,所插入 n 个数的积为 ?

n ?1 2 (ac) 2 ; a?c

n ?1 2 (ac) 2 . 】 a?c

3.

数列求和

【例 1】求和 S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ??? ? n . x x x x

?1 2 1 n ? n,当n为偶数时; ? ?2 2 (分类讨论求和) 【答案: S n ? ? 】 2 n ? n ?? ,当n为奇数时. ? ? 2
【例 2】 【2010 年上海六校联考第 23 题】已知:函数 f ( x ) ? 有 an ? f (

2x ? 3 ,数列 {an } 对 n ? 2, n ? N 总 3x

1 ), a1 ? 1 ; an ?1

(1)求{ an }的通项公式。 (2) 求和: Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? 【答案: (1) an ?

? (?1)n?1 an an?1

2n ? 1 (n ? N * ) 3

? 2 2 2 ? n ? n ? ? 9 3 (2) S n ? ? 2 ? 2n ? 6n ? 7 ? 9 ?

n为偶数


n为奇数

【例 3】 【2011 年徐汇区二模理科第 14 题】设函数 f ( x) ? x ?
*

1 ?1? , O 为坐标原点, An 为 ? ? ? 2 ? x ?1

x

函数 y ? f ( x) 图象上横坐标为 n (n ? N ) 的点,向量 OAn 与向量 i ? (1, 0) 的夹角为 ?n ,则满足

tan ?1 ? tan ? 2 ?
【答案:3018】 4.

? tan ? n ?

5 的最大整数 n 的值为 3



最大、最小项思想
15

【例 1】 【2011 年闵行区二模文理第 8 题】已知数列 {an } 是以 ?15 为首项, 2 为公差的等差数列,

Sn 是其前 n 项和,则数列 {Sn } 的最小项为第
【答案:8】

项.

【例 2】 【2011 年杨浦区二模文理第 23 题】设二次函数 f ( x) ? (k ? 4) x 2 ? kx 实数 x ,有 f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立;数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ) . (1) 求函数 f ( x) 的解析式和值域;

(k ? R) ,对任意

(2) 试写出一个区间 ( a, b) ,使得当 a1 ? (a, b) 时,数列 {an } 在这个区间上是递增数列, 并说明理由; (3) 已知 a1 ?

1 ? ,是否存在非零整数 ? ,使得对任意 n ? N ,都有 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? n ?1 n?1 2 1 1) ?log ?n log3 ? ? 1? ? ?2 n ?1 ? (?2 ? ? log3 ? 1 ? ? ??? ? log3 ? 1 ? ? ?? 32 3 log 1 ? ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? an ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

恒成立,若存在,求之;若不存在,说明理由. 【答案: (1) k ? 2 ,所以 f ( x) ? ?2 x 2 ? 2 x , 其值域为 (?? , ] . (2)数列 {an } 在区间 (0, ) 上是递增数列. 注:本题的区间也可以是 [ , ) 、 [ , ) 、 [ , ) 等无穷多个】

1 2

1 2

1 1 5 2

1 1 4 2

1 1 3 2

【例 3】 【2010 年嘉定区一模第 23 题】 已知函数 f ( x) ? log2 图像上两点. (1)若 x1 ? x2 ? 1,求证: y1 ? y 2 为定值; (2)设 Tn ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ?

2 x P ( x , y ) P ( x , y ) f ( x) ,1 1 1 、 2 2 2 是 1? x

?1? ?n?

?2? ?n?

? n ?1? ? ,其中 n ? N * 且 n ? 2 ,求 Tn 关于 n 的解析式; ? n ?

(3)对(2)中的 Tn ,设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,当 n ? 2 时, an ? 4Tn ? 2 ,问是否存在角 a ,使不 等式 ? ?1 ?

? ?

1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1? ? 1? ?? ? ? ? ? a1 ?? a 2 ? ? a n

? sin ? ? 求出角 ? 的取值范 ? ? 2n ? 1 对一切 n ? N * 都成立?若存在, ?

围;若不存在,请说明理由.

16

【答案: (1)当 x1 ? x2 ? 1时, y1 ? y 2 为定值 1 .

(2)

Tn ?

n ?1 2 ( n ? N *, n ? 2) .

(3) f (n) 的最大值为

f (1) ?

? 2? ? ? 3 ? 2k? ? , 2k? ? ? 3 3 ? k ?Z 】 2 , ? 的取值范围为 ?

【例 4】 【2010 年上海高考第 20 题】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 Sn ? n ? 5a n ? 8 5 ,n ? N * (1)证明: ?an ?1 ? 是等比数列; (2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出 n 为何值时, Sn 取得最小值,并说明理由。 数列中的数列问题

5.

【例 1】 【2010 年金山区一模第 22 题】已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,令

1 bn ? an an?1 ,数列 { } 的前 n 项和为 Tn . n ? N * bn
(1)求 ?an ? 的通项公式;∴ an ? 3n ? 2 . n ? N * (2)求证: Tn ?

1 ; 3

Tn ?的探究, (3) 通过对数列 ? 写出 “ T1 , Tm , Tn 成等比数列” 的一个真命题并说明理由 (1 ? m ? n ,
m, n ? N * ). 当且仅当正整数 m=2,n=16 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列.

?an+c,an<3 ? 【例 2】 【2008 年上海高考第 20 题】已知以 a1 为首项的数列{an}满足:an+1=? an ? d , an≥3 ?
⑴当 a1=1,c=1,d=3 时,求数列{an}的通项公式 ⑵当 0<a1<1,c=1,d=3 时,试用 a1 表示数列{an}的前 100 项的和 S100 1 1 1 1 1 ⑶当 0<a1< (m 是正整数) ,c= ,d≥3m 时,求证:数列 a2- ,a3m+2- ,a6m+2- ,a9m+2 m m m m m 1 - 成等比数列当且仅当 d=3m m

?1, n ? 3k ? 2 ? ? 【答案: (1)由题意得 an ? ?2, n ? 3k ? 1, (k ? Z ) ?3, n ? 3k ?
(2) ∴ S100 ?

1 1 (11 ? 31 )a1 ? 198 2 3
17

(3)证明略】

【例 3】 【2011 年徐汇区二模理科第 23 题】设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 ,公比为 q (q 为正整
2 数) , 且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差中项; 数列 ?bn ? 满足 2n ? (t ? bn )n ?

3 bn ? 0 (t ? R, n ? N * ) 。 2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)试确定实数 t 的值,使得数列 ?bn ? 为等差数列; (3)当数列 ?bn ? 为等差数列时,对每个正整数 k ,在 ak 和 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新数列

?cn ? 。设 Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m 。
【答案: (1) an ? 2n (n ? N * ) (2) t ? 3 (3)满足题意的正整数仅有 m ? 2 。 【例 4】 【2010 年上海六校联考第 23 题】已知:函数 f ( x ) ?

2x ? 3 ,数列 {an } 对 n ? 2, n ? N 总 3x

1 ), a1 ? 1 ; an ?1 (1)求{ an }的通项公式。
有 an ? f ( (2) 求和: Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? (3)若数列 {bn } 满足:① {bn } 为 {

? (?1)n?1 an an?1

1 1 1 } 的子数列(即 {bn } 中的每一项都是 { } 的项,且按在 { } an an an
1 。这样的数列是否存在?若存在,求出 2

中的顺序排列)② {bn } 为无穷等比数列,它的各项和为

所有符合条件的数列 {bn } ,写出它的通项公式,并证明你的结论;若不存在,说明理由。 6、数列中数的讨论 例 13、 【2009 年上海高考理第 23 题】已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,?bn ? 是公比为 q 的等比数 列。 (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
*

(2)找出所有数列 ?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N ,
*

an ?1 ? bn ,并说明理由;若 an

a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的和是数列 ?bn ? 中的
18

一项,请证明。 【答案: (1)不存在 m、k ? N * ,使等式成立。 (2) 有an ? c ? 0,bn ? 1 ,使对一切 n ? ? ? , (3) 当且仅当 p ? 3s , s ? N ,命题成立。 】

an ?1 ? bn an

7、数列极限 【例 1】

a n ? 2 n?1 (a ? ?2) =_____ n n?1 lim n ?? 2 ? a

?1 ?a , a ? 2 ? 【答案: ? 2, a ? 2 】 ? 1, a ? 2 ? ?
8、概率与排列组合 【例 1】口袋里有 2 个白球,3 个红球,5 个黑球,从中任取 2 个球,求取出的两球颜色不同的概 率。 【答案: P( A) ? 1 ? P( A?) ? 1 ?

14 31 ? 】 45 45

19

第六部分

复数部分

1. 复数计算问题,常见的化简;
说明:注意复数运算与向量运算/实数运算的异同 [例 1] 【2011 年卢湾区二模文理第 1 题】设 i 为虚数单位,计算 【答案: 1 ? i ;注意计算细节 i ? ?1 】
2

1? i ? i

.

[例 2] 【2010 年长宁区二模文科第一题】设 i 为虚数单位,则复数 【答案:

?1 ? i 】 2

i ? _________ 1? i

[例 3] 【2010 年嘉定区一模第一题】设 i 为虚数单位,计算 【答案: 2 ? i 】

3?i ? ______________. 1? i

2. 复数问题实数化时,设复数 z ? a ? bi ,不要忘记条件 a, b ? R .
说明: 两复数相等的条件是实部与虚部分别相等.这是复数求值的主要依据.根据条件, 求复数 的值经常作实数化处理.若 z 为实数,则虚部为零,若 z 为纯虚数,则实部为零,虚部 不为零. [例 1] 【2010 年闵行区二模文理第 1 题】 若 【分析: ?2i ? 1 ? a ? bi ? a ? 1, b ? ?1 】

2?i ? a ? bi( i 为虚数单位,a、b ? R ) , 则a ?b ? i

[例 2] 【2010 年静安区一模文理第 3 题】若复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 2 (其中 i 为虚数单位) ,则

Re z ? _________.
【答案:设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,原式化为 (a ? bi )(1 ? i ) ? 2 ,得 a ? b ? (a ? b)i ? 2 , 求得 Re z ? a ? 1 】 [例 3] 【2011 年闸北区二模文理第 1 题】已知 z 和 【答案:设 z ? bi (b ? R) ,原式化为

bi ? 2 是纯虚数,得 b ? ?2 ,得 z ? ?2i 】 1? i

z?2 都是纯虚数,那么 z ? 1? i



3. 实系数一元二次方程
说明:实系数一元二次方程根的情况可通过判别式判断。若存在虚根,则此两虚根互为共轭. 若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.
1 3 2 i ) 是实系数方程 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的根, [例 1] 【2010 年崇明县二模文理第 8 题】 复数 z ? ( ? 2 2 则 ab ? .

【答案: z1 ? ( ?

1 2

1 3 3 2 1 3 i) ? ? ? i ,则 z2 ? ? ? i, 2 2 2 2 2
20

得 z1 ? z2 ? ?

b 1 ? ?1 且 z1 ? z2 ? ? 1 ,求得 a ? 1, b ? 1 .所得即为 1】 a a
2

[例 2] 【2010 年杨浦区二模文理第 17 题】 若 z 是实系数方程 x ? 2x ? p ? 0 的一个虚根, 且 z ? 2, 则 p ? _______. 【答案:实系数一元二次方程若有虚根,则两根必互为共轭, z1.z2 ?| z | ? p ? 4 】
2

[例 3] 【2011 年黄浦区二模理第 8 题】已知 0 ? m ? 1(m ? R) , ? 是方程 x ? mx ? 1 ? 0 的根,
2

则| ? | =


2

【答案:根据判别式可知,实系数一元二次方程有 2 个虚根,则 z1.z2 ?| ? | ? 1 】

2 [例 4]若方程 x ? bx ? 2 ? 0(b ? R) 的两根 ? , ? 满足 | ? ? ? |? 2 ,求实数 b 的值.

【答案:在复数范围内 | ? ? ? | 2 ? (? ? ? ) 2 不一定成立,但 | (? ? ? ) 2 |?| ? ? ? | 2 一定成立.对于 二次方程,韦达定理在复数范围内是成立的. ?

?? ? ? ? ?b , ??? ? 2

| (? ? ? ) 2 |?| b 2 ? 8 |? 4 ,则 b 2 ? 4 或 b 2 ? 12 ,所以 b ? ?2 或 b ? ?2 3 .】

[例 5] 【2011 年杨浦区二模文理第 22 题】设虚数 z 满足 z ? m z ?
2 t

m100 ? 0 (m 为实常数, 4

? m ? 0且m ? 1 , t 为实数).(1) 求 z 的值; (2) 当 t ? N ,求所有虚数 z 的实部和;

【答案: (1) zz ? z ?

2

m100 m50 ?z ? ) 4 2
100

(2) z 是虚数,则 m

? m2t ? 0 ? mt ? m50 , z 的实部为

mt ; 2

2 49 50 49 m m mm m2 m2 m49 m m50 ? m m50 ? m m m? t ?1, ? 1,得 得 50 tt ? ? 且 50 50 t且 且 ? tt? N ?N N? ? ?S S S? ? ? 2( 2( ? ?? ? ? ? )? ? ) ?. 当 m ? 1, 得 22( ? 2 22 2 2 2 2 2 m ?1 m ?1 ?? ? 51 52 51 51 51 52 52 51 m m m m m m m ? ? )) )? ? ? ? ? ? .】 2 2 ? 2 22 1 1 ?m m

0 0m ?m m1, ? 1, 得 ?50 50 且 t? ? N? ? ? 0? 0 ? ? ? 1, 得 得 t? t t? 50 且 且 tt ? N N ? S SS ? ? 2( 2( 当 22(
21

?? ?

4. 复平面轨迹方程

| z ? z0 |? r 的几何意义是 说明: | z1 ? z 2 | 的几何意义是复平面上 z1 , z 2 对应点之间的距离,
复平面上以

z0 对应点为圆心, r 为半径的圆.

[例 1]若 | z ? 2i | ? | z ? z 0 |? 4 表示的动点的轨迹是椭圆,则 | z0 | 的取值范围是_. 【答案:首先要理解数学符号的意义: | z ? 2i | ? | z ? z 0 |? 4 表示, 复数 z 对应的动点到复数 2i 与 z0 对应的两定点之间的距离之和等于 4. 而根据椭圆的定义知,两定点之间的距离要小于定值 4,所以有 | z 0 ? 2i |? 4 , 而此式又表示 z0 对应的点在以 2i 对应点为圆心,4 为半径的圆内, 由模的几何意义知 | z 0 |? [0,6) .】 [例 2] 【2010 年普陀区二模文理第 7 题】在复平面上,已知直线 l 上的点所对应的复数 z 满足

z ? i ? z ? 3 ? i ,则直线 l 的倾斜角为

.(结果反三角函数值表示)

【答案:首先根据复数模的概念,可以看出原式表示 复数 z 所对应的点到(0,-1)与其到(3,1)的距离相等, 那么复数 z 即为(0,-1)与(3,1)所在线段的中垂线上一点, 所以直线 l 的斜率即为 ? 所以 ? = ? ? arctan

3 ,转化为倾斜角,注意在第二象限, 2

3 。 】 2

[例 3] 【2011 年卢湾区二模文理第 17 题】已知复数 z 满足 z ? 1 ? 2i ? z ? 2 ? i ? 3 2 ( i 是虚数 单位) ,若在复平面内复数 z 对应的点为 Z,则点 Z 的轨迹为( A.双曲线的一支 B.双曲线 C.一条射线 ) D.两条射线

【答案:复数 z 到 (1, 2) 的距离减去其到 ( ?2, ?1) 的距离之差等于 3 2 , 根据双曲线定义,由于两定点之间距离也等于 3 2 ,所以其轨迹为射线, 可以看到原式表示的线段中,复数 z 到 (1, 2) 的距离显然大于其到 ( ?2, ?1) 的距离, 所以点 z 的轨迹为一条射线。 】

22

第七部分 1. 向量的数量积运算相关概念性问题

向量易错点

【例 1】 【2011 年闸北区二模文理第 5 题】 下列三个命题: ①若 | a ? b |?| a ? b | , 则a?b ? 0 ; ② 若 a ? 0 , a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;③若 | a ? b |?| a || b | ,则 a // b .其中真命题有 出所有真命题的序号) 【答案:①③】 【例 2】 【2011 年长宁区二模文第 16 题】设向量 a ? (1,0) , b ? ( ( ) A. a ? b . 【答案:D】 2. 投影的概念及计算方式 【例 1】 【2011 年奉贤区二模文理第 6 题】已知 | a |?| b |? 2, a与 b 的夹角为 【答案:1】 【例 2】 【2010 二模闵行区 15】 如图, 已知正六边形 ABCDEF, 下列向量的数量积中最大的是 ( E F A B D C ) B. a ? b ? . (写

1 1 , ) ,则下列结论中正确的是 2 2

2 . C. a ∥ b . D. a - b 与 b 垂直. 2

? , 则 b 在 a 上的投影为 3

(A) AB ? AC . (B) AB ? AD . (C) AB ? AE . (D) AB ? AF . 【答案:A】 3. 向量夹角为钝角忽略平行的情况(其他忽略平行的情况) 【例 1】 【2011 年普陀区二模理科第 17 题】已知向量 a ? ? 2cos?,2sin ? ? , ? ? ?

?? ? , ? ? ,向量 ?2 ?

b ? ? 0, ?1? ,则向量 a 与 b 的夹角为 (
A. ? ; 【答案:C】 B.

) C. ? ?

?
2

?? ;

?
2



D.

3? ?? . 2

【例 2】已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?2, m ? 的夹角为钝角,则 m 的取值范围为________

23

【答案: ? ??, ?4?

? ?4,1? 】

【例 3】已知直角坐标系中, A ?1, x ? , B ? 2,0? , C ? ?1,1? , ABC 为锐角三角形,则 x 的 取值范 围为_________ 【答案: ? ?1, ?

? ?

1? ?1 ? ? , 2? 】 3? ? 3 ?

4. 向量的分解定理 【例 1】 【2011 年徐汇区二模文科第 15 题】已知 O, A, B 是平面上不共线的三点,若点 C 满足

AC ? CB ,则向量 OC 等于(
(A) OA ? OB 【答案:D】 (B) OA ? OB

) (C)

1 (OA ? OB ) 2

(D)

1 (OA ? OB ) 2

【例 2】 【2010 二模普陀 11】如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M ,点 P 是 MD 的 中点. 若 AB ? 2 , AD ? 1 ,且 ?BAD ? 60? ,则 AP ? CP ?
D P M A 第 11 题图 B C

.

【答案: ?

25 】 16

【例 3】 【2011 一模浦东 18】点 O 在 ?ABC 所在平面内,给出下列关系式: (1) OA ? OB ? OC ? 0 ; (2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ;

? ? ? ? ? AC AB ? ? BC BA ? ? ? OB ? ? ? ? 0; (3) OA ? ? ? AC AB ? ? ? BC BA ? ? ? ? ? ?
(4) (OA ? OB) ? AB ? (OB ? OC) ? BC ? 0 . 则点 O 依次为 ?ABC 的 A.内心、外心、重心、垂心 C.重心、垂心、内心、外心 【答案】 :C
24

( ) B.重心、外心、内心、垂心 D.外心、内心、垂心、重心

第八部分

立体几何

1. 点、线、面的关系
[例 1] 【2011 年杨浦区二模理第 7 题】已知直线 m ? 平面 ? ,直线 n 在平面 ? 内,给出下列四 个命题:① ? // ? ? m ? n ;② ? ? ? ? m // n ;③ m ? n ? ? // ? ;④ m // n ? ? ? ? ,其 中真命题的序号是 . 【分析:熟悉点线面的的一些常用定理,直线垂直平面,则垂直于平面内任意一条直线。 若两平面平行,则该直线也垂直于此平面。 】 [例 2] 【2011 年闵行区二模文理第 15 题】给定空间中的直线 l 及平面 ? ,条件“直线 l 与平面 ? 垂直”是“直线 l 与平面 ? 内无数条直线垂直”的( ) A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件 【分析:直线与平面垂直,则该直线垂直平面内任意一条直线, “无数条”不是“任意”】 [例 3] 【2010 年浦东新区二模理第 15 题】 “直线 a 与平面 M 没有公共点”是 “直线 a 与平面 M 平 行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析:直线与平面平行的定义即为直线与平面没有公共点】

2. 常见空间图形的面积,体积公式
[例 1] 【2010 年闵行区二模第 6 题】已知球 O 的半径为 R ,一平面截球所得的截面面积为 4? , 球心到该截面的距离为 5 ,则球 O 的体积等于 .

【分析:平面截球所得的截面即为一平面圆,所以该圆半径即为 2, 又由于球心到该截面距离为 5 ,而球体半径, 截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形, 由勾股定理可得球体半径为 3,根据球的体积公式 V ?

4 ? R 3 ? 36? 。 】 3

[例 2] 【2010 年松江区二模第 4 题】一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆的面积为 ? ,则球 的表面积为 . 【分析:球体半径,截面半径与球心到截面距离正好构成一个直角三角形, 计算可得球体半径为 2 ,根据球的表面积公式 S ? 4? R ? 8? 】
2

[例 3] 【2011 年闸北区二模文理第 7 题】设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为 12? 的球面 上,则该正方体的体积为 . 【分析:由于正方体的各个顶点都在球面上,可知,该正方体的中心和球的球心为同一点, 则正方体体对角线等于该球的直径,又由于球的表面积为 12? , 所以根据球的表面积计算公式可得半径为 3 , 所以正方体的边长为 2,体积即得,等于 8】
25

3. 异面直线的角度范围
说明:直线与平面所成角的范围是 [0,

?

] ;两异面直线所成角的范围是 (0, ] .特别要注意的 2 2

?

是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为 a 时,其所成角的大小应为 arccos| a | . [例 1] 【2011 年杨浦区二模理第 9 题】在平行四边形 ABCD 中,AB=1,AC= 3 ,AD=2;线段 PA⊥ 平行四边形 ABCD 所在的平面,且 PA =2,则异面直线 PC 与 BD 所成的角等于 反三角函数表示). 【分析: arccos (用

3 14 或 2 arcsin 】 7 7

[例 2] 【2011 年闵行区二模文理第 19 题】 如图, 已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面为正方形的长方体,

?AD1 A1 ? 60o , AD1 ? 4 ,点 P 是 AD1 的中点,求异面直线 AA1 与 B1P 所成的角(结果用反三
角函数表示) . D B P C

.

A1 B1 C1

D1

【分析: arctan

15 】 3

[例 3] 【2011 年普陀区二模理科第 21 题】如图, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是正方形, PA ? AD ? 2 ,点 E 、 F 、 G 分别为线段 PA 、 PD 和 CD 的中点. 求异面直线 EG 与 BD 所成 角的大小; z
P

E A B

F

D C Q G

y

x

26

【分析:异面直线 EG 与 BD 所成角大小为 arccos

3 .】 6

4. 图形的旋转(绕哪根轴) ,立体图形的平面展开图,截面问题
[例 1] 【2011 年闵行区二模文理第 6 题】圆锥的侧面展开图为扇形,若其弧长为 2? cm,半径为

2 cm,则该圆锥的体积为____
【分析:圆锥的体积为

cm3 .

?
3



[例 2] 【2010 年普陀区一模文理第 9 题】如图, OABC 是边长为 1 的正方形, AC 是四分之一圆 弧,则图中阴影部分绕轴 OC 旋转一周得到的旋转体的体积为
C B

.

O

第 9 题图

A

【分析:阴影部分体积等于

?
3



BC ? 4cm,AB ? 5cm ,现以 [例 3] 【2010 年黄浦一模文理第 11 题】在 ?ABC中,AC ? 3cm,
BC 边所在的直线为轴把 ?ABC (及其内部)旋转一周后,所得几何体全面积是___ cm2
【分析: S ? S底面 +S表面 =9? + .5.2? .3 ? 24? 】

1 2

5. 立体图形中点线面的计算,特别是点到平面距离的求解
[例 1] 【2011 年徐汇区二模理科第 20 题】 如图, 已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上,AB 为圆 O 的直径,圆柱 OO1 的表面积为 20? , OA ? 2 , ?AOP ? 120? 。

AP 所成角的大小; (1)求异面直线 A (结果用反三角函数值表示) 1B 与
(2)求点 A 到平面 A1 PB 的距离。

27

A1

O1

B1

A

O
P

B

AP 所成角的大小为 arc cos 【分析: (1)异面直线 A 1B 与
(2)点 A 到平面 A1 PB 的距离 d ?

2 3 . 5

n ? A1 A n

?

12 6 】 ? 7。 2 7 7

[例 2]正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长是 2,BC1 与平面 ACC1A1 所成角为 30°.试求: (1)三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积; (2)点 C 到平面 BAC1 的距离. A1 C1 B1

E A

C B

【分析: (1)三棱柱的体积 V= 2 6 .(2)点 C 到平面 BAC1 的距离为

2 66 .】 11

[例3] 【2010年卢湾区二模理科第20题】 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? BC ? 2 , 过 A1 、C1 、 且这个几何体的体 B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? AC 1 1D 1, 积为 10 . (1)求棱 A1 A 的长; (2)求点 D 到平面 A1BC1 的距离.
D1 A1 C1

D
A B

C

28

【分析: (1) A1 A 的长为 3 . (2)点 D 到平面 A1BC1 的距离 d ?

6 22 . 】 11

6. 球面距离的计算
[例 1] 【2011 年普陀区二模文理第 6 题】在球心为 O ,体积为 4 3? 的球体表面上两点 A 、 B 之

间的球面距离为

3 ? ,则 ?AOB 的大小为 4

.

【分析:

? 】 4

[例 2 ] 【 2010 年长宁区一模文理第 11 题】如图,在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点,

?ABC =90 °, BA ? BC , 球心 O 到平面 ABC 的距离是

3 2 ,则 B、C 两点的球面距离是 2

__________ 。

【分析:弧长即为 ? 】 [例 3] 【2010 年杨浦区一模文理第 13 题】在体积为 4 3? 的球的表面上有 A 、B 、C 三 点, AB ? 1 , BC ? 2 , A 、C 两点的球面距离为 (文科考生做)则 AB ? BC ? _________. (理科考生做)则球心到平面 ABC 的距离为_________. 【分析:文科 0;理科

3 ?. 3

3 】 2

29

第九部分

圆锥曲线

1、 常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉: (1) 点斜式 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 过定点 ( x0 , y0 ) 与 x 轴 不 垂直 ; ( 2 ) 斜截式 y ? kx ? b , 在 y 轴 上 的截 距为 b 与 x 轴 不垂 直 ; ( 3 )一 般 式

ax ? by ? c ? 0 适 用 于 所 有 直 线 , 它 的 其 中 一 个 法 向 量 可 表 示 为 ( a, b) , 方 向 向 量 为 (b, ?a)or (?b, a) .
【2009 年普陀区一模第 5 题)】已知两直线方程分别为 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 、 l2 : ax ? y ? 2 ? 0 ,若

l1 ? l2 ,则直线 l2 的一个法向量为 n ?

. 【答案】 ?1, 2 ?

2、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况,不确定时要注意分类讨论,漏解肯定 是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理,所以做解析几何问 题不要“忘形”. 【例】过点 P(2,3) 与坐标原点距离为 2 的直线方程是___________. 分析:若仅用点斜式设出直线方程,再用点到直线的距离来求解,则会漏解,这是因为在设立方程 的时候就排除了斜率存在的情况 . 考虑到直线 x ? 2 满足题义,故所求直线有两条,其方程为:

5 x ? 12y ? 26 ? 0 与 x ? 2 .
【例】过点 P(2,3) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相切的直线方程为_______【答案】 x ? 2or 5 x ? 12 y ? 26 ? 0 3、圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,表示圆的充要条件是 D ? E ? 4F ? 0 . 【例】二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是_____; 分析: 注意到圆的一般方程中没有 xy 这样的项, 且二次项系数都为 1.则必有 B ? 0 , 且A ? C ? 0, 此时方程可以化成: x ? y ?
2 2

2

2

D E F x? y? ?0 .与圆的一般方程比较可以得出: A A A

D E F ( ) 2 ? ( ) 2 ? 4 ? 0 .其充要条件为: A ? C ? 0, B ? 0, D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 . A A A
4、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点(圆心)到直线的距离来判断.设圆 C 的半径是 r ,圆 心到直线 L 的距离是 d ,当 d ? r 时,直线 L 与圆 C 相离;当 d ? r 时,直线 L 与圆 C 相切;当 d ? r 时,直线 L 与圆 C 相交.求直线被圆所截的弦长用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角 形来求解.
2 【 例 】 已 知 点 ( a, b) 是 圆 x 2 ? y 2 ? r 2 外 的 一 点 , 则 直 线 ax ? by ? r 与 圆 的 位 置 关 系

是―――――――――――――――――――――――――――――――――――( A、相离; B、相切; C、相交且不过圆心; D、相交且过圆心.
2 2 2



2 分 析 : 点 ( a, b) 在 圆 x 2 ? y 2 ? r 2 外 , 则 a ? b ? r , 圆 心 到 直 线 ax ? by ? r 的 距 离

30

d?

r2 a2 ? b2

? r ,又 d ? 0 .选 C.

【2011 年虹口区二模文理第 3 题】直线 x ? y ? 5 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 所截得的弦 长等于 . 【答案】 【2】

【2011 年黄浦区二模文理第 17 题】17.已知直线 l:ax ? by ? 1 ,点 P(a,b) 在圆 C: x 2 ? y 2 ? 1 外,则直线 l 与圆 C 的位置关系是 ( ) A .相交. B.相切. C .相离. D.不能确定. 【答案】 【A】 5、椭圆的定义中要注意隐含的条件:定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间的关系,分 清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最基本的几何性质是定义的逆用: “椭圆上任 意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”. 【例】已知复数 z 满足 | z ? 2i | ? | z ? 2i |? 4 ,则 z 对应点的轨迹是_______; 分析:根据复数的几何意义,复数 z 对应点到 2i 与 ? 2i 对应点的距离之和为 4,看似椭圆,但注 意到两定点之间的距离为 4.所以 z 对应点的轨迹是以 2i 与 ? 2i 对应点为端点的线段.

x2 y2 【 例 】 设 P 是 以 F1 , F2 为 焦 点 的 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上 的 一 点 , 若 点 P 满 足 : a b
PF1 ? PF2 ? 0, tg?PF1 F2 ?
A、

1 ,则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――( 2
2 ; 3
C、



1 ; 2

B、

1 ; 3

D、

5 . 3

分 析 : 由题知 PF 1 ? PF 2 , 又 tg?PF1 F2 ?

1 ,则 | PF 1 |? 2 | PF2 | . 由 | PF 1 | ? | PF2 |? 2a 得 2

| PF1 |?

4a 2a 2 5a 2c 5 , | PF2 |? .则 2c ?| F1 F2 |? .则 .选 D. ? 3 3 3 2a 3

6、双曲线的定义中要注意(1)是差的绝对值,若少掉绝对值则双曲线只有一支; ( 2)两焦点之 间的距离大于定值(实轴长) ; 【2011 年卢湾区二模文理第 17 题】已知复数 z 满足 z ? 1 ? 2i ? z ? 2 ? i ? 3 2 (i 是虚数单位) , 若在复平面内复数 z 对应的点为 Z,则点 Z 的轨迹为 ( ) A.双曲线的一支 B.双曲线 C.一条射线 D.两条射线 【答案】 【C】 7、双曲线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是 c ? a ,到异侧一支上点的距离最小值是 c ? a ;

x2 y2 ? ? 1 ,P 是双曲线上的一点,F1、F2 分别是它的两个焦点, [举例 1]已知双曲线的方程为 9 16
若 | PF 1 |? 7 ,则 | PF2 |? ______;
31

分 析 : 由 双 曲 线 的 定 义 || PF 1 | ? | PF 2 ||? 6 , 知 | PF2 |? 1 或 13. 注 意 P 点 存 在 的 隐 含 条 件

| PF1 | ? | PF2 |?| F1 F2 |? 10,所以 | PF2 |? 13.
8、抛物线有四种不同的形式,要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次 函数的表达式相混淆. 【例】抛物线 y ? 4 x 2 的焦点坐标是_____;准线方程是_____. 分析:注意到方程 y ? 4 x 2 不是抛物线的标准方程,其标准形式为 x ?
2

1 y .所以此抛物线的焦点 4

坐标为 (0,

1 1 ) ,准线方程为 y ? ? . 16 16

9、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论,联立直线与圆锥曲 线方程得方程组,消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程,利用根的判别式进行讨 论,但要注意二方面:一是直线的斜率是否存在,二是所得方程是否为一元二次方程.直线与双曲 线或抛物线联立得到的方程二次项可能为零(双曲线中二次项系数为零时,得到的是两条与渐近 线平行的直线;抛物线中二次项为零时,得到的是与对称轴平行的一条直线) 【例】已知直线 l 过点 M (1,1) ,双曲线 C: x ?
2

y2 ? 1. 3

(1)若直线 l 与双曲线有且仅有一个公共点,求直线 l 的方程; (2)若直线与双曲线的右支有两个不同的交点,求直线 l 斜率的取值范围; (3)是否存在直线 l 使其与双曲线的有两个不同的交点 A、B,且以 AB 为直径的圆过坐标原点? 若存在求出此直线的斜率,不存在说明理由. 分析: (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 x ? 1 满足题义.当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线方程为

y ? 1 ? k ( x ? 1) ,联立得方程: (3 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (k 2 ? 2k ? 4) ? 0 ---(*)
当 3 ? k ? 0 时,方程( * )是一次方程,直线 l 与双曲线有一个公共点,此时直线 l 方程为
2

y ? 1 ? ? 3( x ? 1) .当 3 ? k 2 ? 0 时,由△ ? 48 ? 24 k ? 0 ,得 k ? 2 ,所以满足题义的直线 l 为: x ? 1,2x ? y ? 1 ? 0, y ? 1 ? ? 3( x ? 1) .
(2)直线 l 与双曲线的右支有两个不同的交点,则方程(*)有两不等的正根.由△ ? 48 ? 24 k

2k (1 ? k ) ? x1 ? x 2 ? ?0 ? ? 3?k2 ? 0 ,知 k ? 2 且 ? ,得 3 ? k ? 2 或 k ? ? 3 . 2 ? x ? x ? k ? 2k ? 4 ? 0 ? 1 2 k2 ?3 ?
( 3 ) 若 以 AB 为 直 径 的 圆 过 坐 标 原 点 , 则 OA ? OB ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 即

x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 . (k 2 ? 1) x1 x2 ? k (1 ? k )(x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) 2 ? 0 ,将 x1 x2 , x1 ? x2 代入化简得:
k 2 ? 4k ? 1 ? 0 , k ? ?2 ? 3 (满足 k ? 2)
32

10、直线与圆锥曲线的综合问题中,通常需要联立直线与圆锥曲线方程得方程组,消去其中一个 量得到关于另一个变量的一元二次方程,然后利用维达定理进行求解.不要忘记计算 ? ? 0 (求值问 题中检验即可). 【2011 年虹口区二模文第 22 题】 已知: 椭圆

x2 y2 ? ?1 (a ? b ? 0) , 过点 A(? a, 0) , B(0, b) a2 b2

的直线倾斜角为

? 3 ,原点到该直线的距离为 . 6 2
0) ,是否存在实数 k ,直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 P ,Q 两点,且 DP ? DQ ?

(1)求椭圆的方程; (2)略 (3)对于 D(? 1,

若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)

x2 ? y2 ? 1 3

(3)文科:记 P( x1 ,

y1 ) , Q( x2 ,

y 2 ) ,将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y2 ? 1, 3

得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*) , x1 , x2 是此方程的两个相异实根. 设 PQ 的中点为 M,则 x M ?

x1 ? x2 2 6k ?? 2 , y M ? kx M ? 2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1

2
由 DP ? DQ ,得 DM ? PQ ,? k DM ?

yM ? xM ? 1

3k ? 1 ? ? 1 6k k ?1 2 3k ? 1
2

? 3k 2 ? 4k ? 1 ? 0 ,得 k ? 1 或 k ?
但 k ? 1, k ?

1 . 3

1 均使方程(*)没有两相异实根,? 满足条件的 k 不存在. 3

33

第十部分

行列式、算法

1、行列式中要注意两点(1)分清余子式和代数余子式; (2)分清行列式和行列式的值;

2 ?3 0
【2011 浦东新区二模文第 6 题】三阶行列式 3

6 7

的第 3 行第 2 列元素的代数余

1 4 5
子式的值为 【答案】 【-14】

2、区分二元一次方程组的系数矩阵与增广矩阵,注意方程组的常数项要放在右边. 【2011 年卢湾区二模理第 5 题文第 6 题】若关于 x, y 的线性方程组的增广矩阵为

? x ? ?3, ? m 0 6? 则 mn 的值为 ? ? ,该方程组的解为 ? ?0 3 n? ? y ? 4.

. 【答案】 【-24】

3、在循环结构中,要注意循环何时开始、何时结束,尤其是最后一个循环,一定要自己动手检验 一遍. 开 始 【2011 杨浦区二模文理第 15 题】如图给出的是计算

1?

1 1 1 ? ? ??? ? 的值的一个程序框图,其中判断框 3 5 2011


i=1, s=0
否 是 输出 S 结 束

内应填入的条件是(

(A) i ? 2011 ; (B) i ? 2011 ; (C) i ? 1005 ; (D) i ? 1005 . 【答案】 【A】

s=s+

1 i

i=i+2
(15 题)

34


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