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指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质


指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念

根式的概念 如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次 方根是一个负数 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数

符号表示

/>备注

n ? 1且n ? N ?
n

a

零的 n 次方根是零

? n a (a ? 0)

负数没有偶次方根

(2) .两个重要公式

?a ? n n ① a ?? ?a(a ? 0) ?| a |? ?? a(a ? 0) ? ?

n 为奇数 n 为偶数 ;

② (n a ) n ? a (注意 a 必须使 n a 有意义) 。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂: a n ? ②正数的负分数指数幂: a
? m n

m

n

a m (a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1) ;
1 a
m n

?

?

1
n

a

m

(a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1)

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3.指数函数的图象与性质

1

y=ax 图象

a>1

0<a<1

定义域 值域 性质

R (0,+ ? ) (1)过定点(0,1) (2)当 x>0 时,y>1; x<0 时,0<y<1 (3)在(- ? ,+ ? )上是增函数 (2) 当 x>0 时,0<y<1; x<0 时, y>1 (3)在(- ? ,+ ? )上是减函数

注:如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx 的图象,如何确 定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系?

提示:在图中作直线 x=1 ,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果 a x ? N (a ? 0且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底, N 的对数,记作 x ? loga N ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数。 (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2、对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质 ( a ? 0, 且a ? 1 ) : ① log a1 ? 0 , ②o g l
a a

特点 底数为 a a ? 0, 且a ? 1 底数为 10 底数为 e

记法

loga N
lg N

ln N
g ol ③a 1? ,
a N

④o ?N, g l

aN a

?N。

2

(2)对数的重要公式: ①换底公式: logb N ?

log a N (a, b均为大于零且不等于1, N ? 0) ; log ab

② log a b ?

1 。 logb a

(3)对数的运算法则: 如果 a ? 0, 且a ? 1 , M ? 0, N ? 0 那么 ① loga (MN ) ? loga M ? loga N ; ② log a

M ? log a M ? log a N ; N

③ loga M n ? n loga M (n ? R) ; ④ log a m b ?
n

n log a b 。 m

3、对数函数的图象与性质

a ?1
图 象

0 ? a ?1

性 质

(1)定义域: (0,+ ? ) (2)值域:R (3)当 x=1 时,y=0 即过定点(1,0) (4)当 0 ? x ? 1 时, y ? (??,0) ; 当 x ? 1 时, y ? (0, ??) (5)在(0,+ ? )上为增函数 (4)当 x ? 1 时, y ? (??,0) ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? (0, ??) (5)在(0,+ ? )上为减函数

注:确定图中各函数的底数 a,b,c,d 与 1 的大小关系 提示:作一直线 y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b.
3

4、反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称。 (三)幂函数 1、幂函数的定义 α 形如 y=x (a∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而 指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象

注:在上图第一象限中如何确定 y=x ,y=x ,y=x, y ? x ,y=x-1 方法:可画出 x=x0;
3 2

1 2

当 x0>1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x3,y=x2, y=x, y ? x 2 , y=x-1; 当 0<x0<1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x-1, y ? x 2 ,y=x, y=x2,y=x3 。 3、幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3
1 2

1

1

y?x

y=x-1

定义域 值域 奇偶性 单调性

R R 奇 增

R [0, ?? ) 偶 x∈ ( ??, 0] 时,减

R R 奇

[0, ?? ) [0, ?? ) 非奇非偶 增

?x | x ? R且x ? 0?
? y | y ? R且y ? 0?
奇 x∈(0,+ ? )时,减; x∈(- ? ,0)时,减

x∈[0,?? )时,增; 增

定点

(1,1)

三:例题诠释,举一反三 知识点 1:指数幂的化简与求值 例 1.(2007 育才 A)
? ? 3 ? 4 [(3 ) 3 (5 ) 0.5 ? (0.008) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.06250.25 8 9 (1)计算: ; 2 2 1 1

4

a ? 8a b
2 2 3 3 3 (2)化简: 4b ? 2 ab ? a

4 3

1 3

? (a

?

2 3

?

23 b a ? 3 a2 )? 5 a a ?3 a

变式: (2007 执信 A)化简下列各式(其中各字母均为正数):

(a 3 ? b ?1 ) 2 ? a 2 ? b 3
(1)
6

2

?

1

1

1

a ? b5

;

2 1 1 ? 5 13 ?2 ?3 2 3 2 ?1 a ? b ? ( ? 3 a b ) ? ( 4 a ? b ) . (2) 6

1 ? 7 2 2 1.5 3 ? (? )0 ? 80.25 ? 4 2 ? ( 3 2 ? 3)6 ? ( ) 3 6 3 (3)

知识点 2:指数函数的图象及应用 例 2.(2009 广附 A)已知实数 a、b 满足等式 (

1 a 1 ) ? ( )b ,下列五个关系式:?①0<b<a;②a<b 2 3
( ) ? D.4 个?

<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.?其中不可能成立的关系式有 A.1 个 ? B.2 个 ? C.3 个

变式: (2010 华附 A)若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a x ? 1 | (a ? 0 且 a ? 1) 的图象有两个公共 点,则 a 的取值范围是_______. 知识点 3:指数函数的性质 例 3.(2010 省实 B)已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? 2

ex a ? x 是 R 上的偶函数.? 变式: (2010 东莞 B)设 a>0,f(x)= a e
(1)求 a 的值;? (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.? 知识点 4:对数式的化简与求值 例 4.(2010 云浮 A)计算: (1) log 2? 3 (2 ? 3 )
2 (2)2(lg 2 ) +lg 2 ·lg5+ (lg 2 ) ? lg 2 ? 1 ;?
2

5

(3) lg

1 2

32 4 - lg 8 +lg 245 .?? 49 3

变式: (2010 惠州 A)化简求值.? (1)log2
1 7 +log212- log242-1;? 2 48
2

(2)(lg2) +lg2·lg50+lg25;? (3)(log32+log92)·(log43+log83).? 知识点 5:对数函数的性质 例 5.(2011 深圳 A)对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式: ① log a (1 ? a ) ? log a ( a ? ); ③a
1? a

1 a

② log a (1 ? a) ? log a (1 ? ) ; ④a
1? a

1 a

?a

1?

1 a

;

?a

1?

1 a

;

其中成立的是( )

(A)①与③(B)①与④(C)②与③(D)②与④ 变式: (2011 韶关 A)已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga ( ) B. log a b ? log a

1 1 , log a b, log b 的大小关系是 b b

1 1 ? log a b ? log b b b 1 1 C. log a b ? log b ? log a b b

A.loga

1 1 ? log b b b 1 1 D. log b ? log a ? log a b b b

例 6. (2010 广州 B) 已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1), 如果对于任意 x∈ [3, +∞) 都有|f(x)| ≥1 成立,试求 a 的取值范围.? 变式: (2010 广雅 B)已知函数 f(x)=log2(x -ax-a)在区间(-∞,? 1- 3 ]上是单调递减 函数.求实数 a 的取值范围.? 知识点 6:幂函数的图象及应用
1? ? 例 7.(2009 佛山 B)已知点 ( 2, 2) 在幂函数 f ( x) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在幂函数 g ( x) 的图 4? ? 象上.问当 x 为何值时有: (1) f ( x) ? g ( x) ; (2) f ( x) ? g ( x) ; (3) f ( x) ? g ( x) .
2

变式: (2009 揭阳 B)已知幂函数 f(x)=x m

2

? 2 m ?3

(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上
b 的奇偶性.? xf(x)

是单调减函数.(1)求函数 f(x);?(2)讨论 F(x)=a f(x) ?

四:方向预测、胜利在望 1. (A)函数 f ( x ) ? lg

1? x 的定义域为( x?4

) D.(-∞,1]∪(4,+∞) (D) ln2

A.(1,4) B.[1,4) C.(-∞,1)∪(4,+∞) 2.(A)以下四个数中的最大者是( ) (A) (ln2)
2

(B) ln(ln2)

(C) ln 2

3(B)设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 , 则 a=( (A) 2 (B)2 (C)2 2 (D)4
6

1 2

)

4.(A)已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设

6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则( ) 5 2 2 (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b x ?1 ? ?2e , x ? 2, 5.(B)设 f(x)= ? 则不等式 f(x)>2 的解集为( ) 2 log ( x ? 1), x ? 2, ? ? 3
(A)(1,2) ? (3,+∞) (C)(1,2) ? ( 10 ,+∞) A. R ? Q ? P
2 a

(B)( 10 ,+∞) (D)(1,2) ) D. R ? P ? Q

6. (A)设 P ? log 2 3 , Q ? log3 2 , R ? log 2 (log3 2) ,则( B. P ? R ? Q
2
c

C. Q ? R ? P )
c

7.(A)已知 log 1 b ? log 1 a ? log 1 c ,则( A. 2 ? 2 ? 2
b

8. (B)下列函数中既是奇函数,又是区间 ??1,1? 上单调递减的是( (A) f ( x) ? sin x (C) f ( x) ? (B) f ( x) ? ? x ?1

B. 2 ? 2 ? 2
b

2 a

C. 2 ? 2 ? 2
c b

a

D. 2 ? 2 ? 2
c a

b



1 x 2? x (a ? a ? x ) (D) f ( x) ? ln 2 2? x 9.(A)函数 y ? log 1 (3x ? 2) 的定义域是: ( )
2

C [2 D (2 (2 3 , ??) 3 ,1] 3 ,1] 10.(A)已知函数 y ? log 1 x与y ? kx 的图象有公共点 A,且点 A 的横坐标为 2,则 k ( ) A

[1, ??)

B
4

1 1 1 C. ? D. 4 2 2 x 11. (B)若函数 f ( x) ? a ? b ? 1(a ? 0且a ? 1)的图象经过第二、三、四象限,则一定
A. ?

1 4

B.

有( ) A. 0 ? a ? 1且b ? 0 B. a ? 1且b ? 0 C. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1且b ? 0 12.(B)若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= ( A. )

2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

13.(A)已知 0<x<y<a<1,则有( ) (A) loga ( xy) ? 0 (B) 0 ? loga ( xy) ? 1 (C) 1 ? loga ( xy) ? 2 (D) loga ( xy) ? 2 ) (D)
6 14.(A)已知 f ( x ) ? log2 x ,那么 f (8) 等于(

(A)

4 3

(B)8

(C)18

1 2

15. (B)函数 y=lg|x| ( ) A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 16.(A)函数 y ?

lg( 4 ? x ) 的定义域是 x?3

____________________________.

7

17. (B)函数 y ? a1? x (a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

1 1 ? 的最小值为 . m n ? e x , x ? 0. 1 18. (A)设 g ( x) ? ? 则 g ( g ( )) ? __________ 2 ?lnx, x ? 0.

mx ? ny ?1 ? 0(mn ? 0) 上,则

2 x ?2ax?a ? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为___________. 2 2 20.(B)若函数 f ( x ) ? log a ( x ? x ? 2a ) 是奇函数,则 a= .
19. (B)若函数 f(x) = 21.(B)已知函数 f ( x ) ? 性.

2

1 1? x ? log 2 ,求函数 f ( x) 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调 x 1? x

参考答案: 三:例题诠释,举一反三 例 1. 解: (1)
1 6

2 2 , (2) a 9

?

1 3 3 ? ? 5 ?1 5 1 5 ab b ?3 ? (a 3 b 2 ) ? ? 变式:解: a 2 ?b 2 ? ? ? ? ? . (1) ( 32) 4 4 1, ab 4ab 2 (3)110

例 2. 解:B ?? 变式:解: (0, ) ; 例 3. 解: (Ⅰ) b ? 1 (Ⅱ)减函数。 (Ⅲ) k ? ?

1 2

1 3

变式:解: (1)a=1.(2)略 例 4. 解: (1)-1.?(2)1.?(3) .??
3 5 ? 1 3 2 ? log 2 变式:解: ? log 2 2 (1) ? ? . ?(2)2.?(3) 2 4 48 ? 42 ? 2 2 2

1 2

7 ?12

例 5. 解:选 D。 变式:解: C 例 6. 解:(1,3]∪[ ,1) 变式:解:{a|2-2 3 ≤a<2} 例 7. 解: (1)当 x ? 1 或 x ? ?1 时, f ( x) ? g ( x) ; (2)当 x ? ?1 时, f ( x) ? g ( x) ; (3)当 ?1 ? x ? 1 且 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) . 变式:解: (1)f(x)=x . (2)F(x)=
a x
2
-4

1 3

? bx 3 ,

∴F(-x)=

a x
2

+bx .?

3

①当 a≠0,且 b≠0 时,F(x)为非奇非偶函数;?
8

②当 a=0,b≠0 时,F(x)为奇函数; ③当 a≠0,b=0 时,F(x)为偶函数;? ④当 a=0,b=0 时,F(x)既是奇函数,又是偶函数. 四:方向预测、胜利在望

1—5 ADDDC; 16. (-?, 3)?(3,4)

6—10 AADDA; 17. 4 18.
1 2

11—15 CADDB. 19.[-1,0] 20.
2 2

?x ? 0 1? x ? 21.[解]x 须满足 ?1 ? x ,由 ? 0得 ? 1 ? x ? 1, ? 0 1? x ? ?1 ? x 所以函数 f ( x) 的定义域为(-1,0)∪(0,1). 因为函数 f ( x) 的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x,有 1 1? x 1 1? x f (? x) ? ? ? log 2 ? ?( ? log 2 ) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数. x 1? x x 1? x 研究 f ( x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2 ,则 1 ? x1 1 1 ? x2 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? log2 ? ? log2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2

?( 由

1 1 2 2 ? ) ? [log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 2 2 ? ? 0, log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1) ? 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f ( x) 在(0,1)内单调递减, 由于 f ( x) 是奇函数,所以 f ( x) 在(-1,0)内单调递减.

9


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