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上海市黄浦区2016届高三数学4月第二次模拟考试试题 理


黄浦区 2016 年高考模拟考 数学试卷(理科)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行并在规定的位 置书写,写在试卷、草稿纸上的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚,并贴好条形码; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本 大题满分 56 分)

本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接 填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? {?1,3, 2m ? 1} ,集合 B ? {3, m2 } .若 B ? A ,则实数 m ? 2.计算: lim . (2016 年 4 月)

3n ? 1 ? n ?? 3n ?1 ? 2 n

. . . (结果用反

3.函数 f ( x) ? 3 x ? 1的反函数 f ?1 ( x) ?

4.函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 的最小正周期为

5. 在极坐标系中,直线 ? (cos? ? 2sin ? ) ? 1 与直线 ? sin ? ? 1 的夹角大小为 三角函数值表示) . 6.已知菱形 ABCD ,若 | AB |? 1 , A ?

??? ?

? ???? ??? ? ,则向量 AC 在 AB 上的投影为 3



7.已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六 个正方形 构成,如右图所示,若该凸多面体所有棱长均为 1 ,则其体积
V ?


第7题

8. 已知函数 f ( x) ? x3 ? lg( x2 ? 1 ? x) , 若 f ( x) 的定义域中 的 a 、
b 满足 f (- a) + f (-b) - 3 = f ( a) + f (b) + 3 ,则 f (a) ? f (b) ?

. .

1 ? ? 9.在代数式 (4 x ? 2 x ? 5) ?1 ? 2 ? 的展开式 中,常数等于 x ? ?
2

5

10 .若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为 5 ,最大值为 15 ,则该椭圆的短轴长 为 .

1

11.有红、黄、蓝三种颜色,大小相同的小球各 3 个,在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码

1 、 2 和 3 ,现任取出 3 个,它们的颜色与号码均不相同的概率是
表示) .

(结果用最简分数

12.设离散型随机变量 ? 可能取的值为 1 , 2 , 3 , P(? ? k ) ? ak ? b ( k ? 1, 2,3 ) ,若 ? 的数 学期望 E? ?

7 ,则 a ? b ? 3



? y ? ?2 x ? 4033, 13.正整数 a 、b 满足 1 ? a ? b ,若关于 x 、 y 的方程组 ? 有且只有 ? y ?| x ? 1| ? | x ? a | ? | x ? b |
一组解,则 a 的最大值为 .

14. 数列 {an } 中, 若 a1 ? 0 ,ai ? k 2( i ? N * ,2k ≤ i ? 2k ?1 ,k ? 1, 2,3,? ) , 则满足 ai ? a2i ≥100 的 i 的最小值为 .

二、选择题(本大 题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为 l1 : a1x ? b1 y ? c1 ? 0 , l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 , 那么“

a1 a2

b1 ? 0 ”是“两直线 l1 、 l2 平行”的[答] ( b2

).

A.充分非必要条件 C.充要条件 16.复数 z ?

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 ).

m?i ( m ? R , i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于[答] ( 1? i
B.第二象限 C.第三象限

A.第一象限

D.第四象限 ).

b, (b ? c) ∶ (c ? a) ? 7 ∶∶ 9 10 , 17. 若△ ABC 的三条边 a , 则△ ABC [答] ( c 满足 (a ? b) ∶
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

?x )? sin(3 ?x ) ? sin(4 ?x )] 18.若函数 f ( x) ? lg[sin(?x )? sin(2 的定义域与区间 [0,1] 的交集由 n 个
开区间组成,则 n 的值为[答] ( A. 2 B. 3 ). C. 4 D. 5

2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 如图,小凳凳面为圆形,凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力等因 素, 设计的小凳应满足: 三根细钢管相交处的节点 P 与凳面圆形的圆心 O 的 连线垂直于凳面和地面, 且 P 分细钢管上下两段的比值为 0.618 , 三只凳脚 与地面所成的角均为 60 ? .若 A 、 B 、C 是凳面圆周的三等分点, AB ? 18 厘米,求凳子的高度 h 及三根细钢管 的总长度(精确到 0.01 ) .

C O

A P

B

20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7 分. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,其中 a 、 b 为非零实常数.

??? (1)若 f ? ? ? 2 , f ( x) 的最大值为 10 ,求 a 、 b 的值. ?4?
(2)若 a ? 1 , x ?

? 是 f ( x) 图像的一条对称轴,求 x 0 的值,使其满足 f ( x0 ) ? 3 ,且 6

x0 ?[0, 2?] .

21. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7 分.

x?2 ,其中 a ? 1 . x ?1 (1)证明:函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数.
已知函数 f ( x) ? a x ? (2)证明:不存在负实数 x 0 使得 f ( x0 ) ? 0 .

3

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) ,其中 n ? N* , k1 、 k2 ? Z . (1)试写出一组 k1 、 k 2 的值,使得数列 {an } 中的各项均为正数. (2) 若 k1 ? 1 , 数列 {bn } 满足 bn ? k2 ? N* , 写出所有满足条件的 k 2 的值. (3) 若 k1 ? k2 , 数列 {cn } 满足 cn ? an ? | an | , 其前 n 项和为 Sn , 且使 ci ? c j ? 0 ( i 、j ? N* ,

an , 且对任意的 m ? N* (m ? 3) , 均有 b3 ? bm , n

i ? j )的 i 和 j 有且仅有 4 组, S1 、 S2 、?、 Sn 中有至少 3 个连续项的值相等,其它项的值
均不相等,求 k1 、 k 2 的最小值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分.
2 x 2 y0 x2 y2 ? ? 1, 对于双曲线 C( a ,b ) : 2 ? 2 ? 1 ( a, b ? 0 ) , 若点 P( x0 , y0 ) 满足 0 则称 P 在 C( a ,b ) a b a2 b2 2 x 2 y0 ? ? 1 ,则称 P 在 C( a ,b ) 的内部. 的外部;若点 P( x0 , y0 ) 满足 0 a2 b2

(1)若直线 y ? kx ? 1 上点都在 C(1,1) 的外部,求 k 的取值范围. (2)若 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,圆 x2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0 )在 C( a ,b ) 内部及 C( a ,b ) 上的点构成的圆弧 长等于该圆周长的一半,求 b 、 r 满足的关系式及 r 的取值范围. (3)若曲线 | xy |? mx 2 ? 1 ( m ? 0 )上的点都在 C( a ,b ) 的外部,求 m 的取值范围.

黄浦区 2016 年高考模拟考

4

数学试卷(文理)参考答案 一、填空题(本大题满分 56 分) 1. 1 6.

3 2

1 3 3 3 7. 2
2.

3. ( x ? 1)3 , x ? R 8. ?3

4. ?

5. arccos
n ?1

2 5 5

9. (理)15 (文) 32

10. (理)10 3

(文) 15

1 (文) 10 3 14 1 13. (理) 2016 (文) 14
11. (理)

12. (理)

1 (文) 2 6

14. (理) 128 (文) 2016

二、选择题(本大题满分 20 分) 15.B 16.D 1 7.C 18.C 三、解答题(本大题满分 74 分) 19.(本题满分 12 分) [ 解] 联结 PO , AO ,由题意, PO ? 平面 ABC ,因为凳面与地面平行, 所以 ?PAO 就是 PA 与平面 ABC 所成的角,即 ?PAO ? 60? . (2 分) 在等边三角形 ABC 中, AB ? 18 ,得 AO ? 6 3 , (4 分) 在直角三角形 PAO 中, OP ? 3 AO ? 18 , (6 分)

OP (9 分) ? 0.618 ,解得 h ? 47.13 厘米. h ? OP 3h 三根细钢管的总长度 (12 分) ? 163.25 厘米. sin 60?
由 20.(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7 分. [ 解 ] ( 1 ) 因 为 f ( x) ? a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) ( 其 中 sin ? ?

b a ? b2
2



cos ? ?

a a ? b2
2

) ,

所以 f ( x) 的最大值为 a2 ? b2 . 由 a2 ? b2 ? 10 , (2 分)

2 2 ??? a? b? 2, 及 f ? ?? (4 分) 2 ?4? 2 解得 a ? ?1 , b ? 3 或 a ? 3 , b ? ?1 . (6 分)

? 时,取得最大值 b2 ? 1 或最小值 ? b2 ? 1 , 6 3 ??? 1 b ? ? b 2 ? 1 ,解得 b ? 3 . 于是 f ? ? ? ? (8 分) ?6? 2 2 ? 于是 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , (10 分) 3 ? 当 f ( x) ? 3 时,解得 x ? 2k ? 或 x ? 2k ? ? ( k ? Z ) . (12 分) 3
(2)易知,当 x ?

5

因为 x0 ?[0, 2?] ,故所求 x 0 的值为 0 ,

? , 2? . (13 分) 3

21.(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7 分. x ?2 x ?2 ? a x2 ? 2 [证明](1)任取 ?1 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a x1 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

? x ? 2 x2 ? 2 ? 3( x1 ? x2 ) x1 x2 . (3 分) ? (a x1 ? a x2 ) ? ? 1 ? ? ? (a ? a ) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? 因为 ?1 ? x1 ? x2 , a ? 1 ,所以 a x1 ? a x2 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , 3( x1 ? x2 ) ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 于是 a x1 ? a x2 ? 0 , ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 因此,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数. (6 分) x?2 (2) (反证法)若存在负实数 x 0 ( x0 ? ?1 ) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,即方程 a x ? ? 0 有负实数 x ?1 根. (8 分) x?2 ? 1? ?1 ? 对于 a x ? ? ,当 x0 ? 0 且 x0 ? ?1 时,因为 a ? 1 ,所以 a x0 ? ? 0, ? ? ? ,1? , (10 分) x ?1 ? a? ?a ? x ?2 3 ? ?1 ? ? (??, ?1) ? (2, ??) . 而? 0 (13 分) x0 ? 1 x0 ? 1
因此,不存在负实数 x 0 使得 a x ? ?

x?2 ,得证. x ?1

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分. (理)[解](1 ) k1 ? ?1 、 k2 ? ?2 (答案不唯一) . (4 分)

an k (6 分) ? n ? 2 ? (1 ? k2 ) . n n k 当 k2 ? 1 , 2 时, f (n) ? n ? 2 均单调递增,不合题意,因此, k2 ≥ 3 . n k 当 k2 ≥ 3 时,对于 f (n) ? n ? 2 ,当 n ≤ k2 时, f (n) 单调递减;当 n ≥ k2 时, f (n) 单调 n
(2)由题设, bn ? 递增. 由题设,有 b1 ? b2 ? b3 , b3 ? b4 ? ? . (8 分) 于是由 b2 ? b3 及 b4 ? b3 ,可解得 6 ? k2 ? 12 . 因此, k 2 的值为 7,8,9,10,11. (10 分)

?2an , an ? 0, (3) cn ? an ? | an |? ? an ≤ 0. ?0, 其中 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) ? n2 ? (k1 ? k2 )n ? k1k2 ,且 k1 ? k2 .
当 k1 ? k2 ≤ 0 时, {an } 各项均为正数,且单调递增, cn ? 2an ,也单调递增,不合题意;

?2an , n ? k2 , 当 k1 ≤ 0 ? k2 时, cn ? ? 不合题意; (12 分) n ≤ k2 . ?0,

6

?2an , n ? k1 or n ? k2 , 于是,有 0 ? k1 ? k2 ,此时 cn ? ? (14 分) k1 ≤ n ≤ k2 . ?0, 因为 ci ? c j ? 0 ( i 、 j ? N* , i ? j ) ,所以 i 、 j ? (k1 , k2 ) .
于是由 cn ? 2an ? 2(n ? k1 )(n ? k2 ) ? 2[n2 ? (k1 ? k2 )n ? k1k2 ] ,可得

(16 分) 0 ? i ? k1 ? k2 ? j ,此时, i 的四个值为 1 , 2 , 3 , 4 ,因此, k1 的最小值为 5 . 又 S1 、 S2 、?、 Sn 中有至少 3 个连续项的值相等,其它项的值均不相等, 不妨设 Sm ? Sm +1 =Sm +2 =? ,于是有 cm +1 =cm +2 =? ? 0 , 因为当 k1 ≤ n ≤ k2 时, cn ? 0 ,所以 5 ? k1 ≤ m ? 1 ? m ? 2 ? ?≤ k2 , 因此, k2 ≥ 6 ,即 k 2 的最小值为 6 . (18 分) (文)[解](1)设直线 3x ? y ? 1 ? 0 上点的坐标为 ( x0 ,3x0 ? 1) ,代入 x 2 ? y 2 ,
2 得 x2 ? y 2 ? x0 (2 分) ? (3x0 ? 1)2 ? ?8( x0 ? )2 ? ,

k1 ? k2 i ? j ,进一步得 ? 2 2

3 8

1 8

1 8 2 2 (2 )设点 N 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题设 x0 (6 分) ? y0 ≥1. ???? ? ???? ? 1 3 2 2 2 2 ? ( y 0 ? 1) 2 ? 2( y 0 ? ) 2 ? , ,得 | MN |≥ 1 ? y0 (8 ≥1 ? y0 | MN |? x0 ? ( y0 ? 1)2 ,由 x0 2 2
对于 x ? R , x2 ? y 2 ≤ ? 1 ,因此,直线 y ? 3 x ? 1 上的点都在 C(1,1) 的外部. (4 分) 分)

???? ? 6 1 3 6 对于 y0 ? R , 有 2( y0 ? ) 2 ? ≥ ,于是 | MN |≥ , (10 分) 2 2 2 2 6 . 2 (3)因为圆 x2 ? y 2 ? r 2 和双曲线 C( a ,b ) 均关于坐标轴和原点对称,所以只需考虑这两个曲线
因此, | MN | 的最小值为 在第一象限及 x 、 y 轴正半轴的情况. 由题设,圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧,它们交点的坐标为

???? ?

? 2r 2 r ? (12 分) , ? ?. ? 2 ? ? 2 ? r2 r2 2r 2r 将x? ,y? 代入双曲线 C( a ,b ) 方程,得 2 ? 2 ? 1 (*) , (13 分) 2a 2b 2 2 4 1 又因为 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,所以 2 ? 2 ? 1 , (15 分) a b 4b 2 8b 2 将 a2 ? 2 代入(*)式,得 r 2 ? 2 . (17 分) b ?1 b ?3 3r 2 ? 0 ,解得 r 2 ? 8 .因此, r 的取值范围 为 (2 2, ??) . 由 b2 ? 2 (18 分) r ?8 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分. ( 理 ) [ 解 ] ( 1 ) 由 题 意 , 直 线 y ? kx ? 1 上 点 ( x0 , kx0 ? 1) 满 足 x2 ? y 2 ? 1 , 即 求 不 等 式

7

2 (1 分) x0 ? (kx0 ? 1)2 ? 1的解为一切实数时 k 的取值范围. 2 对于不等式 (1 ? k 2 ) x0 ? 2kx0 ? 2 ? 0 , 当 k ? ?1 时,不等式的解集不为一切实数, (2 分)

于是有 ?

?1 ? k 2 ? 0, ? 解得 | k |? 2 . 2 2 ? ?? ? 4k ? 8(1 ? k ) ? 0,

故 k 的取值范围为 (??, ? 2) ? ( 2, ??) . (4 分) (2)因为圆 x2 ? y 2 ? r 2 和双曲线 C( a ,b ) 均关于坐标轴和原点 对称,所以只需考虑这两个曲线 在第一象限及 x 、 y 轴正半轴的情况. 由题设 ,圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧,它们交点的坐标为 ? 将x?

? 2r 2 r ? . ? 2 , 2 ? ? ? ?

r2 r2 2r 2r ,y? 代入双曲线 C( a ,b ) 方程,得 2 ? 2 ? 1 (*) , (6 分) 2a 2b 2 2 4 1 又因为 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,所以 2 ? 2 ? 1 , (7 分) a b 4b 2 8b 2 将 a2 ? 2 代入(*)式,得 r 2 ? 2 . (9 分) b ?1 b ?3 3r 2 ? 0 ,解得 r 2 ? 8 . 因此, r 的取值范围为 (2 2, ??) . 由 b2 ? 2 (10 分) r ?8 x2 y2 1 1 (3)由 | xy |? mx 2 ? 1 ,得 | y |? m | x | ? .将 | y |? m | x | ? 代入 2 ? 2 ? 1 , a b | x| | x|

? 1 ? ?m| x|?| x|? 2 x ? ? ? 1 对任意非零实数 x 均成立. 由题设,不等式 2 ? (12 分) 2 a b ? 1 ? ?m| x| ?| x|? 2 2 x ? ? ? 1 [(b 2 ? a 2 m 2 ) x 2 ? a ? 2a 2 m] . 其中 2 ? a b2 a 2b 2 x2 2 a ? 2a 2 m , 令 x 2 ? t ,设 f (t ) ? (b 2 ? a 2 m 2 )t ? (t ? 0 ) . t 当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时,函数 f (t ) 在 (0, ??) 上单调递增, f (t ) ? 1 不恒成立; (14 分)
当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时, (b 2 ? a 2 m 2 )t ?
2

2

a2 ≤ ?2 (a 2 m 2 ? b 2 )a 2 , t

函数 f (t ) 的最大值为 ?2 (a 2 m2 ? b2 )a 2 ? 2a 2 m ,

?2 (a 2 m2 ? b 2 )a 2 ? 2a 2 m ? 0 ?1 ; (16 分) a 2b 2 a2 当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时, f (t ) ? ? ? 2a 2 m ? 0 ? 1 . (17 分) t b ?b ? 综上, b2 ? a 2 m2 ≤ 0 ,解得 m ≥ .因此, m 的取值范围为 ? , ?? ? . (18 分) a ?a ?
因为 m ? 0 ,所以

8

(文) [解](1) k1 ? ?1 、 k2 ? ?2 (答案不唯一) . (4 分)

an k (6 分) ? n ? 2 ? (1 ? k2 ) . n n k 当 k2 ? 1 , 2 时, f (n) ? n ? 2 均单调递增,不合题意,因此, k2 ≥ 3 . n k 当 k2 ≥ 3 时,对于 f (n) ? n ? 2 ,当 n ≤ k2 时, f (n) 单调递减;当 n ≥ k2 时, f (n) 单调 n
(2)由题设, bn ? 递增. 由题设,有 b1 ? b2 ? b3 , b3 ? b4 ? ? . (8 分) 于是由 b2 ? b3 及 b4 ? b3 ,可解得 6 ? k2 ? 12 . 因此, k 2 的值为 7,8,9,10,11. (10 分) (3)因为 an ? (n ? k1 )(n ? k2 ) ? n2 ? (k1 ? k2 )n ? k1k2 ,且 0 ? k1 ? k2 ,

?2an , n ? k1 or n ? k2 , 所以 cn ? an ? | an |? ? (12 分) k1 ≤ n ≤ k2 . ?0, 因为 ci ? c j ? 0 ( i 、 j ? N* , i ? j ) ,所以 i 、 j ? (k1 , k2 ) . ( 14 分)

k1 ? k2 i ? j ,进一步得 0 ? i ? k1 ? k2 ? j , ? 2 2 此时, i 的四个值为 1 , 2 , 3 , 4 ,因此, k1 的最小值为 5 . (16 分) 又 S 1 、 S2 、 ? 、 Sn 中 有 至 少 3 个 连 续 项 的 值 相 等 , 其 它 项 的 值 均 不 相 等 , 不 妨 设 Sm ? Sm +1 =Sm +2 =? , 于 是 有 cm + 1=cm + 2 = ? ? 0, 因 为 当 k1 ≤ n ≤ k2 时 , cn ? 0 , 所 以 5 ? k1 ≤ m ? 1 ? m ? 2 ? ?≤ k2 , 因此, k2 ≥ 6 ,即 k 2 的最小值为 6 . (18 分)
于是由 cn ? 2[n2 ? (k1 ? k2 )n ? k1k2 ] ,可得

9


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