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【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习:2.3.1 离散型随机变量的均值


选修 2-3

第二章

2.3

2.3.1

一、选择题 1.若 X 是一个随机变量,则 E(X-E(X))的值为( A.无法求 C.E(X) [答案] B [解析] 只要认识到 E(X)是一个常数,则可直接运用均值的性质求解. ∵E(aX+b)=aE(X)+b,而 E(X)为常数, ∴E(X-E

(X))=E(X)-E(X)=0. 2.(2013· 湖北理,9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的 小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为 X,则 X 的均值 E(X) =( ) B.0 D.2E(X) )

126 A. 125 168 C. 125 [答案] B

6 B. 5 7 D. 5

27 54 [解析] 题意知 X=0、1、2、3,P(X=0)= ,P(X=1)= , 125 125 36 8 P(X=2)= ,P(X=3)= , 125 125 27 54 36 8 150 6 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 125 125 125 125 125 5 3.(2013· 北师大附中高二期中)已知离散型随机变量 X 的分布列如下: X P 则其数学期望 E(X)等于( ) 1 0.5 3 m 5 0.2

A.1 C.2+3m [答案] D

B.0.6 D.2.4

[解析] 由 0.5+m+0.2=1 得,m=0.3,∴E(x)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4. 2 4.甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试,若甲、乙能通过面试的概率都是 , 3 则面试结束后通过的人数 ξ 的期望是( 4 A. 3 C.1 [答案] A [解析] 依题意,ξ 的取值为 0、1、2. 2 2 1 且 P(ξ=0)=(1- )×(1- )= , 3 3 9 2 1 2 1 4 P(ξ=1)= ×(1- )+(1- )× = , 3 3 3 3 9 2 2 4 P(ξ=2)= × = . 3 3 9 1 4 4 12 4 故 ξ 的期望 E(ξ)=0× +1× +2× = = . 9 9 9 9 3 5.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9 和 0.85, 设发现目标的雷达台数为 X,则 E(X)=( A.0.765 C.1.765 [答案] B [解析] 设 A、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件,X 的可能取值为 0、1、2, P(X=0)=P( A ·B )=P( A )· P( B )=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015. P(X=1)=P(A·B + A · B)=P(A)· P( B )+P( A )· P(B)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22. P(X=2)=P(AB)=P(A)· P(B)=0.9×0.85 =0.765. ∴E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75. 6.有 10 件产品,其中 3 件是次品,从中任取两件,若 X 表示取到次品的个数,则 E(X) 等于( 3 A. 5 ) 8 B. 15 ) B.1.75 D.0.22 ) 11 B. 9 8 D. 9

14 C. 15 [答案] A

D.1

1 C1 C2 7C3 3 [解析] X=1 时,P= 2 ;X=2 时,P= 2 . C10 C10 1 7×3+2×3 3 C1 C2 7C3 3 ∴E(X)=1× 2 +2× 2 = = , C10 C10 C2 5 10

故选 A. 二、填空题 7.(2014· 浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着 1、2、3 数字的 3 个小球,每次从 袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同),现连续取 3 次球,若每次取出一个球后放 回袋中,记 3 次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为 X、Y,设 ξ=Y-X,则 E(ξ) =__________________. [答案] 4 3

[解析] 由题意知 ξ 的取值为 0、1、2,ξ=0,表示 X=Y,ξ=1 表示 X=1,Y=2;或 X =2,Y=3;ξ=2 表示 X=1,Y=3. 2×2×3 4 3 1 ∴P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= = , 3 9 33 9 2×3+A3 3 4 P(ξ=2)= = , 33 9 1 4 4 4 ∴E(ξ)=0× +1× +2× = . 9 9 9 3 8.设 p 为非负实数,随机变量 X 的概率分布为: X P 则 E(X)的最大值为________. [答案] 3 2 0 1 -p 2 1 p 2 1 2

1 ? ?0≤2-p≤1, 1 1 [解析] 由表可得? 从而得 P∈[0, ],期望值 E(X)=0×( -p)+1×p 2 2 ?0≤p≤1, ? 1 1 3 +2× =p+1,当且仅当 p= 时,E(X)最大值= . 2 2 2 9.(2014· 哈师大附中高二期中)一批型号相同的产品,其中有 2 件次品、5 件正品,每 次抽一件测试,直到将两件次品全部区分为止.假设抽后不放回,则第 5 次测试后停止的概 率是________.

[答案]

4 21

[解析] “第五次测试后停止”的含义是:在前四次测试中有一件次品,第五次测试结 C1 C3 4 2· 5 1 果为次品,故所求概率为 P= 4 · 1= . C7 C3 21 三、解答题 10.盒中装有 5 节同牌号的五号电池,其中混有两节废电池,现在无放回地每次取一节 电池检验,试回答下列问题: (1)若直到取到好电池为止,求抽取次数 ξ 的分布列及均值; (2)若将题设中的无放回改为有放回,求检验 5 次取到好电池个数 X 的数学期望. [解析] (1)ξ 可取的值为 1、2、3, 3 2 3 3 则 P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= × = , 5 5 4 10 2 1 1 P(ξ=3)= × ×1= , 5 4 10 抽取次数 ξ 的分布列为: ξ P 1 3 5 2 3 10 3 1 10

3 3 1 E(ξ)=1× +2× +3× =1.5. 5 10 10 3 (2)每次检验取到好电池的概率均为 , 5 3 故 X~B(n,p),即 X~B(5, ), 5 3 则 E(X)=5× =3. 5

一、选择题 11.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒 需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的均值为( A.100 C.300 [答案] B [解析] 记“不发芽的种子数为 ξ”,则 ξ~B(1000,0.1),所以 E(ξ)=1000×0.1=100, 而 X=2ξ,故 EX=E(2ξ)=2E(ξ)=200,故选 B. 12.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧,其中 a、b、c∈{-3,- B.200 D.400 )

2, -1,0,1,2,3}, 在这些抛物线中, 记随机变量 ξ=|a-b|的取值, 则 ξ 的数学期望 E(ξ)为( 8 A. 9 2 C. 5 [答案] A [解析] ∵抛物线的对称轴在 y 轴的左侧, b b ∴- <0,即 >0,∴a 与 b 同号. 2a a ∴ξ 的分布列为 ξ P 0 1 3 1 4 9 2 2 9 3 B. 5 1 D. 3

)

1 4 2 8 ∴E(ξ)=0× +1× +2× = . 3 9 9 9 [点评] 基本事件只与 a、b 的取值有关,故可不必考虑 c 的取值;a、b 同号的所有可 能取法有 2×(3×3)=18 种,由于 ξ=|a-b|,∴a、b 同正和 a、b 同负时,ξ 的取值只有 0、 1、2 三种. 13.设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到白球个数的数学期望值 6 为 ,则口袋中白球的个数为( 7 A.3 C.5 [答案] A [解析] 设白球 x 个,则黑球 7-x 个,取出的 2 个球中所含白球个数为 ξ,则 ξ 取值 0、 1、2, C2 7-x ?7-x??6-x? P(ξ=0)= 2 = , C7 42 C1 C1 x?7-x? x· 7-x P(ξ=1)= = , 2 C7 21 x?x-1? C2 x P(ξ=2)= 2= , C7 42 ?7-x??6-x? x?7-x? x?x-1? 6 ∴0× +1× +2× = , 42 21 42 7 ∴x=3. 二、填空题 14.设离散型随机变量 X 可能取的值为 1、2、3、4.P(X=k)=ak+b(k=1、2、3、4).又 X 的均值 E(X)=3,则 a+b=________. ) B.4 D.2

[答案]

1 10

[解析] 由条件知
? ??a+b?×1+?2a+b?×2+?3a+b?×3+?4a+b?×4=3, ? ??a+b?+?2a+b?+?3a+b?+?4a+b?=1, ?

? ? ?a= ?30a+10b=3, ∴? ∴? 10 ?10a+4b=1, ? ? ?b=0

1

1 ,∴a+b= . 10

15.已知随机变量 ξ 和 η,其中 η=4ξ-2,且 E(η)=7,若 ξ 的分布列如下表,则 n 的 值为________. ξ P [答案] 1 3 1 1 4 2 m 3 n 4 1 12

[分析] 由分布列的性质可得 m 与 n 的一个方程,由期望的定义与性质可得 m 与 n 的 另一个方程,两方程联立可解得 m、n. 9 9 1 [解析] η=4ξ-2?E(η)=4E(ξ)-2?7=4· E(ξ)-2?E(ξ)= ? =1× +2×m+3×n+ 4 4 4 1 1 1 1 4× ,又 +m+n+ =1,联立求解可得 n= . 12 4 12 3 [点评] 这一部分内容公式较多, 熟记离散型随机变量的期望、 方差的定义式及其性质, 熟记各种概率分布的期望、方差公式是正确解答概率分布问题的先决条件. 三、解答题 16.购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险 的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种 保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元 的概率为 1-0.999104. (1)求一投保人在一年度内出险的概率 p; (2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不 小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元). [解析] 各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是 p,记投保的 10 000 人中出险 的人数为 ξ,则 ξ~B(104,p). (1)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当 ξ =0,P(A)=1-P( A )=1-P(ξ=0)=1-(1-p)104, 又 P(A)=1-0.999104,故 p=0.001.

(2)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出:10 000ξ+50 000, 盈利:η=10 000a-(10 000ξ+50 000), 盈利的期望为: E(η)=10 000a-10 000E(ξ)-50 000, 由 ξ~B(104,10 3)知,E(ξ)=10 000×10 3,
- -

E(η)=104a-104E(ξ)-5×104 =104a-104×104×10 3-5×104.


E(η)≥0?104a-104×10-5×104≥0?a-10-5≥0?a≥15(元). 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. 17.(2014· 深圳市二调)某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏,规则如下: 每人连续投掷 5 支飞镖,累积 3 支飞镖掷中目标即可获奖;否则不获奖.同时要求在以 下两种情况下中止投掷:①累积 3 支飞镖掷中目标;②累积 3 支飞镖没有掷中目标. 已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数 p(p>0.5),且掷完 3 支飞镖就中止投掷的 1 概率为 . 3 (1)求 p 的值; (2)记小明结束游戏时,投掷的飞镖支数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 1 [解析] (1)由已知 P(X=3)=p3+(1-p)3= , 3 1 2 解得 p= 或 p= . 3 3 2 ∵p>0.5,∴p= . 3 (2)X 的所有可能取值为 3,4,5. 1 P(X=3)= , 3 2 1 2 1 2 2 1 10 2 P(X=4)=[C3 ×( )2× ]× +[C2 , 3×( ) × ]× = 3 3 3 3 3 3 27 22 12 8 8 P(X=5)=C2 (或 P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)= ). 4×( ) ×( ) = 3 3 27 27 X 的分布列为 X P 3 1 3 4 10 27 5 8 27

1 10 8 107 ∴X 的数学期望为 E(X)=3× +4× +5× = . 3 27 27 27


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