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北京市海淀区2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题


北 京 市 海 淀 区 2013-2014 学 年 高 一 年 级 第 一 学 期 期 末


学校 班级
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟.


姓名 成绩

2014.1

三 题号 一 二 15 分数 一.选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,

共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {1,2,3,4}, A ? {1,2}, B ? {2,3}, 则 ( ? UA ) A. {2,3} B. {1,2,3} C. {2,3,4} 16 17 18

B?
D. {1,2,3,4}





2.代数式 sin120 cos210 的值为 A. ?





3 4

B.

3 4

C. ?

3 2

D.

1 4
( )

3.已知向量 a ? (1,1), b ? ( x2 , x ? 2), 若 a , b 共线,则实数 x 的值为 A. ?1 4.函数 f ( x ) ? A. (0, ??) B. 2 C. 1 或 ?2 D. ?1 或 2

1 的定义域为 lg x ? 1
B. (0,1) (1, ??) C. (1, ??) D. (0,10)





(10, ??)
D C

5.如图所示,矩形 ABCD 中, AB ? 4, 点 E 为 AB 中点, 若 DE ? AC ,则 | DE |? A. ( C. 3 D. 2 2 )

A

B E

5 2

B. 2 3

6.函数 f ( x) ?

1 ? log4 x 的零点所在的区间是 4x 1 1 A.( 0, ) B.( ,1 ) C.( 1, 2 ) 2 2

( D.( 2, 4 ) (



π 7.下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间 ( , π) 上为减函数的是 2
1



A. y ? 2|sin x | 8.已知函数 f ( x ) ?

B. y ? sin 2 x

C. y ? 2|cos x|

D. y ? cos2 x

| x | ?a ,则下列说法中正确的是 |x?a|





A.若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 恒成立 B.若 f ( x ) ? 1 恒成立,则 a ? 0 C.若 a ? 0 ,则关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有解 D.若关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有解,则 0 ? a ? 1 二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 9. 已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边在 x 轴的正半轴,终边经过点 (1, ? 3) ,则

cos ? ? ____ .
10.比较大小: sin1

cos1 (用“ ? ”,“ ? ”或“ ? ”连接).
.
B P

11.已知函数 f ( x) ? 1 ? 3x , x ? ( ??,1) ,则 f ( x ) 的值域为

1 12.如图,向量 BP ? BA, 若 OP ? xOA+yOB, 则 x ? y ? ____. 4
13.已知 sin ? ? tan ? ? 1 ,则 cos ? ? ____ .

O

A

π 14.已知函数 f ( x) ? sin x ,任取 t ? R ,记函数 f ( x ) 在区间 [t , t ? 1] 上的最大值为 M t , 最小 2
值为 mt ,记 h(t ) ? M t ? mt . 则关于函数 h (t ) 有如下结论: ①函数 h (t ) 为偶函数; ②函数 h (t ) 的值域为 [1 ? ③函数 h (t ) 的周期为 2 ;

2 ,1] ; 2

1 3 ④函数 h (t ) 的单调增区间为 [2k ? ,2k ? ], k ? Z . 2 2
其中正确的结论有____________.(填上所有正确的结论序号) 三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,其中 b, c 为常数.

2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上单调,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若对任意 x ? R ,都有 f ( ?1 ? x ) ? f ( ?1 ? x ) 成立,且函数 f ( x ) 的图象经过点 (c, ?b) , 求 b, c 的值. 16.(本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) . 3
(Ⅰ)请用“五点法”画出函数 f ( x ) 在长度为一个周期的闭区间上的简图(先在所给的表 格中填上所需的数值,再画图) ; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

? (Ⅲ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值及相应的 x 的值. 2
y
1

O

1

x

17.(本小题满分 12 分) 已知点 A( ?1,0), B(0,1) ,点 P ( x, y ) 为直线 y ? x ? 1 上的一个动点. (Ⅰ)求证: ?APB 恒为锐角; (Ⅱ)若四边形 ABPQ 为菱形,求 BQ ? AQ 的值. 18.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,且 f ( x ) 的图象连续不间断. 若函数 f ( x ) 满足:对于 给定的 m ( m ? R 且 0 ? m ? 1 ) ,存在 x0 ? [0,1 ? m] ,使得 f ( x0 ) ? f ( x0 ? m) ,则称 f ( x ) 具 有性质 P ( m ) .

1 1 (Ⅰ)已知函数 f ( x ) ? ( x ? )2 , x ? [0,1] ,判断 f ( x ) 是否具有性质 P( ) ,并说明理由; 2 3
? ? ?4 x ? 1, ? ? (Ⅱ)已知函数 f ( x ) ? ?4 x ? 1, ? ? ?4 x ? 5, ? ? 1 0? x? , 4 1 3 ? x ? , 若 f ( x ) 具有性质 P ( m ) ,求 m 的最大值; 4 4 3 ? x ? 1. 4
3

(Ⅲ)若函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,且 f ( x ) 的图象连续不间断,又满足 f (0) ? f (1) ,

1 * 求证:对任意 k ? N 且 k ? 2 ,函数 f ( x ) 具有性质 P( ) . k

海淀区高一年级第一学期期末练习 数 学 2014.1
6 C 7 A 8 D

参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分)

9.

1 2
1 2

10. ?

11. ( ?2,1)

12. ?

13.

?1 ? 5 2

14.③④

说明:14 题答案如果只有③ 或④,则给 2 分,错写的不给分 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 10 分)
2 解:(I)因为函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,

所以它的开口向上,对称轴方程为 x ? ?

b 2

??????2 分

b b 因为函数 f ( x ) 在区间 [? , ??) 上单调递增,所以 ? ? 1 , 2 2
所以 b ? ?2 (Ⅱ)因为 f ( ?1 ? x ) ? f ( ?1 ? x ) , 所以函数 f ( x ) 的对称轴方程为 x ? ?1 ,所以 b ? 2 又因为函数 f ( x ) 的图象经过点 (c, ?b) ,所以有 c 2 ? 2c ? c ? ?2 即 c 2 ? 3c ? 2 ? 0 ,所以 c ? ?2 或 c ? ?1 ………………………6 分 ………………………8 分 ………………………10 分 ………………………4 分

16. (本小题满分 12 分)
4

解: (I) 令 X ? 2 x ?

? 1 ? ,则 x ? ( X ? ) .填表: 3 2 3
?? 3

x
X y

? 6
0 0
y

?? 12 ? 2
1

?
0

??? 12 3? 2
?1

?? 6
2?
0
………………………2分

1

O

1

x

??????4分

(Ⅱ)令 2k ? ?

? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? ( k ? Z) ………………………6分 2 3 2 ? ?? ? x ? k? ? (k ? Z) 解得 k ? ? 12 12 ? ? 5? , k ? ? ]( k ? Z) 所以函数 y ? sin(2 x ? ) 的单调增区间为 [k ? ? 3 12 12
………………………8 分 ??????10 分

? ? ? ?? (Ⅲ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? [0, ?] , (2 x ? ) ?[? , ] 2 3 3 3
所以当 2 x ?

3 ? ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, y ? s in(2 x ? ) 取得最小值 ? ; 3 3 3 2 ? ? ? ?? 当 2 x ? ? ,即 x ? 时, y ? sin(2 x ? ) 取得最大值 1 ……………………12 分 3 3 2 12

17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为点 P ( x, y ) 在直线 y ? x ? 1 上,所以点 P( x, x ? 1) 所以 PA ? (?1 ? x,1 ? x), PB ? ( ? x,2 ? x) , 所以 PA ? PB ? 2 x 2 ? 2 x ? 2 ? 2( x2 ? x ? 1)=2[( x ? )2 ? ] ? 0 所以 cos ? PA, PB ?? ………………………1 分

1 2

3 4

………………………3 分

PA ? PB ?0 | PA || PB |

………………………4 分

若 A, P, B 三点在一条直线上,则 PA / / PB , 得到 ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 1) x ? 0 ,方程无解,所以 ?APB ? 0 所以 ?APB 恒为锐角. ???????5 分 ………………………6 分

5

(Ⅱ)因为四边形 ABPQ 为菱形, 所以 | AB |?| BP | ,即 2 ? x 2 ? ( x ? 2)2 化简得到 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ,所以 P(1,0) 设 Q ( a , b) ,因为 PQ ? BA , 所以 (a ? 1, b) ? ( ?1, ?1) ,所以 ? ………………………8 分 ………………………9 分

?a ? 0 ? b ? ?1

………………………11 分

BQ ? AQ ? (0, ?2) ? (1, ?1) ? 2
18.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)设 x0 ? [0,1 ? ] ,即 x0 ? [0, ] 令 f ( x0 ) ? f ( x0 ? ) , 则 ( x0 ? ) ? ( x0 ?
2

………………………12 分

1 3

2 3

1 3

1 2

1 1 2 ? ) 3 2

解得 x0 ?

1 2 ? [0, ] , 3 3
1 3
………………………3 分

所以函数 f ( x ) 具有性质 P ( ) (Ⅱ) m 的最大值为 首先当 m ?

1 2

1 1 时,取 x0 ? 2 2 1 1 1 则 f ( x0 ) ? f ( ) ? 1 , f ( x0 ? m) ? f ( ? ) ? f (1) ? 1 2 2 2 1 ………………………5 分 所以函数 f ( x ) 具有性质 P ( ) 2 1 假设存在 ? m ? 1 ,使得函数 f ( x ) 具有性质 P ( m ) 2 1 则 0 ? 1? m ? 2 1 当 x0 ? 0 时, x0 ? m ? ( ,1) , f ( x0 ) ? 1, f ( x0 ? m) ? 1 , f ( x0 ) ? f ( x0 ? m) 2 1 当 x0 ? (0,1 ? m] 时, x0 ? m ? ( ,1] , f ( x0 ) ? 1, f ( x0 ? m) ? 1 , f ( x0 ) ? f ( x0 ? m) 2
所以不存在 x0 ?[0,1 ? m] ,使得 f ( x0 ) ? f ( x0 ? m) 所以,m 的最大值为

1 2

………………………7 分

(Ⅲ)任取 k ? N* , k ? 2

6

设 g ( x) ? f ( x ? ) ? f ( x ) ,其中 x ? [0, 则有

1 k

k ?1 ] k

1 g (0) ? f ( ) ? f (0) k 1 2 1 g( ) ? f ( ) ? f ( ) k k k 2 3 2 g( ) ? f ( ) ? f ( ) k k k
??

t t 1 t g( ) ? f ( ? ) ? f ( ) k k k k
??

g(

k ?1 k ?1 ) ? f (1) ? f ( ) k k

以上各式相加得:

1 t k ?1 g (0) ? g ( ) ? ... ? g ( ) ? ... ? g ( ) ? f (1) ? f (0) ? 0 k k k 1 k ?1 i ) 中有一个为 0 时,不妨设为 g( ) ? 0, i ?{0,1,2,..., k ? 1} , 当 g (0), g ( ),..., g ( k k k i i 1 i 即 g( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? 0 k k k k 1 则函数 f ( x ) 具有性质 P ( ) k 1 k ?1 ) 均不为 0 时,由于其和为 0 ,则必然存在正数和负数, 当 g (0), g ( ),..., g ( k k
不妨设 g ( ) ? 0, g ( ) ? 0, 其中 i ? j , i, j ?{0,1,2,..., k ? 1} 由于 g ( x) 是连续的,所以当 j ? i 时,至少存在一个 x0 ? ( , ) (当 j ? i 时,至少存在一个 x0 ? ( , ) ) 使得 g ( x0 ) ? 0 ,

i k

j k

i j k k

i j k k

1 ) ? f ( x0 ) ? 0 k 1 所以,函数 f ( x ) 具有性质 P ( ) k
即 g ( x0 ) ? f ( x0 ?

………………………10 分

说明: 若有其它正确解法,请酌情给分,但不得超过原题分数.

7


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