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高考数学错题精选复习资料:平面向量


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高考数学错题精选复习资料: 高考数学错题精选复习资料:平面向量
一,选择题: 选择题:
1.在 ABC 中, a = 5, b = 8, C = 60° ,则 BC CA 的值为 A 20 B ( D )

20

>
C

20 3
,从而出错.

20 3

错误分析:错误认为 答案: B

BC ,CA = C = 60°

略解: 由题意可知

BC , CA = 120°

,

1 BC CA cos BC , CA = 5 × 8 × = 20 2 故 BC CA = .
2.关于非零向量 a 和 b ,有下列四个命题: (1) " (2) " (3) " (4) "

a + b = a+b a + b = a b a + b = a b a b = a b

"的充要条件是" a 和 b 的方向相同" ; " 的充要条件是" a 和 b 的方向相反" ; " 的充要条件是" a 和 b 有相等的模" ; " 的充要条件是" a 和 b 的方向相同" ; ) 3 D 4 的认识不清.

其中真命题的个数是 ( A 1 B 2 C

错误分析:对不等式 答案: B.

a b ≤ a ±b ≤ a + b

3.已知 O,A,B 三点的坐标分别为 O(0,0),A(3,0),B(0,3),是 P 线段 AB 上且 AP =t AB (0≤t≤ 1)则 OA OP 的最大值为 ( A.3 B.6 ) C.9 D.12

正确答案:C 错因:学生不能借助数形结合直观得到当|OP|cosα最大时, OA OP 即为最大. 4.若向量

a =(cosα,sinα) , b = (cos β , sin β ) , a 与 b 不共线,则 a 与 b 一定满足(
B. a ‖ b D. a ⊥ b 数学投稿咨询 QQ:1114962912

)

A. a 与 b 的夹角等于α-β C.( a + b )⊥( a - b ) 第 1 页(共 14 页)

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正确答案:C

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错因:学生不能把 a , b 的终点看成是上单位圆上的点,用四边形法则来处理问题.

π
5.已知向量 a =(2cos,2sin),∈( 2 2 π π A. 3 - B. 2 +



), b =(0,-1),则 a 与 b 的夹角为( π C.- 2 D.

)

正确答案:A 错因:学生忽略考虑 a 与 b 夹角的取值范围在[0,π]. 6. O 为平面上的定点,A,B,C 是平面上不共线的三点,若( OB - OC )( OB + OC -2 OA )=0,则ABC 是( ) B.以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形

A.以 AB 为底边的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形

正确答案:B 错因:学生对题中给出向量关系式不能转化:2 OA 不能拆成( OA + OA ). 7.已知向量 M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}, N={ a | a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R },则 M∩N=( ) A { (1,2) } B

{(1,2), (2,2)}

C

{(2,2)}

D

φ

正确答案:C

错因:学生看不懂题意,对题意理解错误.

8.已知 k ∈ Z , AB = ( k ,1), AC = (2, 4) ,若

AB ≤ 10
4 D. 7

,则△ABC 是直角三角形的概率是( C )

1 A. 7
分析: 分析:由

2 B. 7

3 C. 7

AB ≤ 10

及k ∈ Z 知

k ∈ {3, 2, 1,0,1,2,3}

,若 AB = ( k ,1)与 AC = (2, 4) 垂直,则

2k + 3 = 0 k = 2 ;若 BC = AB AC = (k 2, 3) 与 AB = (k ,1) 垂直,则

3 k 2k 3 = 0 k = 1或3 ,所以△ABC 是直角三角形的概率是 7 .
2

9.设 a0 为单位向量, (1)若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;(2)若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0; (3) 若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题个数是( A.0 正确答案:D. 错误原因:向量的概念较多,且容易混淆,注意区分共线向量,平行向量,同向向量等概念. 10.已知|a|=3,|b|=5,如果 a‖b,则 ab= 正确答案: .±15. 错误原因:容易忽视平行向量的概念.a,b 的夹角为 0°,180°. 第 2 页(共 14 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 . B.1 C.2 D.3 )

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11. O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP = OA + λ (
(A)外心

AB | AB |

+

AC | AC |

), λ ∈ [0,+∞)
,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( (D)垂心 )

(B)内心

(C)重心

正确答案:B.

OP = OA + λ (
错误原因:对

AB | AB |

+

AC | AC |

), λ ∈ [0,+∞)

AB
理解不够.不清楚 | AB |

+

AC | AC | 与∠BAC 的角平分线有关.
( ) A .

12.如果 a b = a c , 且 a ≠ 0 ,那么 B. b = λ c C.

b=c

b⊥c

D. b, c 在 a 方向上的投影相等

正确答案:D. 错误原因:对向量数量积的性质理解不够.


13.向量 AB =(3,4)按向量 a=(1,2)平移后为 A, (4,6) B, (2,2) 正确答案: C 错因:向量平移不改变. C, (3,4) D, (3,8)

( )

14.已知向量 OB = (2, 0), OC = (2, 2), CA = ( 2 cos a, 2 sin a ) 则向量 OA, OB 的夹角范围是( A,[π/12,5π/12] 正确答案:A 错因:不注意数形结合在解题中的应用.
→ →

)

B,[0,π/4]

C,[π/4,5π/12] D, [5π/12,π/2]

15. 将函数 y=2x 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x+6 的图象, 给出以下四个命题: a 的坐标可以是 ① (-3,
→ → →

0) ② a 的坐标可以是(-3,0)和(0,6) ③ a 的坐标可以是(0,6) ④ a 的坐标可以有无数种情况, 其中真命题的个数是 A,1 正确答案:D 错因:不注意数形结合或不懂得问题的实质. B,2 C,3 D,4 ( )

第 3 页(共 14 页)

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1 1 + 16.过△ABC 的重心作一直线分别交 AB,AC 于 D,E,若 AD = x AB, AE = y AC ,( xy ≠ 0 ),则 x y 的值
为( A 4 B ) 3 C 2 D 1

正确答案:A 错因:不注意运用特殊情况快速得到答案. 17.设平面向量 a =(-2,1), b =(λ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )

1 ( ,2) ∪ ( 2,+∞) A, 2
1 ( ,+∞) C, 2
答案:A

B, (2,+∞)

1 (∞, ) 2 D,

点评:易误选 C,错因:忽视 a 与 b 反向的情况. 18.设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则下列 a 与 b 共线的充要条件的有( ① 存在一个实数λ,使 a =λ b 或 b =λ a ; ② | a b |=| a | | b |; )

x1 y1 = x 2 y 2 ; ④ ( a + b )//( a - b ) ③
A,1 个 答案:C 点评:①②④正确,易错选 D. 19.以原点 O 及点 A(5,2)为顶点作等腰直角三角形 OAB,使 ∠A = 90 ,则 AB 的坐标为( A, (2,-5) C, (-2,5) 正解: 正解:B B, (-2,5)或(2,-5) D, (7,-3)或(3,7) ) . B,2 个 C,3 个 D,4 个

| OA |=| AB | 设 AB = ( x, y ) ,则由
而又由 OA ⊥ AB 得 5 x + 2 y = 0 ②

52 + 2 2 = x 2 + y 2



由①②联立得 x = 2, y = 5或x = 2, y = 5 .

第 4 页(共 14 页)

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∴ AB = (2,5)或 (-2, 5)
误解:公式记忆不清,或未考虑到联立方程组解. 误解:

x1 y = 1 x y 2 是 a // b 的( 20.设向量 a = ( x1 , y1 ), b = ( x 2 , y 2 ) ,则 2
A,充要 C,充分不必要 正解: 正解:C B,必要不充分 D,既不充分也不必要

)条件.

x1 y = 1 x y 2 则 x1 y 2 x 2 y1 = 0,∴ a // b ,若 a // b ,有可能 x 2 或 y 2 为 0,故选 C. 若 2

x1 y = 1 x y 2 ,此式是否成立,未考虑,选 A. 误解: 误解: a // b x1 y 2 x 2 y1 = 0 2
S 21 . 在 OAB 中 , OA = ( 2 cos α ,2 sin α ), OB = (5 cos β ,5 sin β ) , 若 OA OB = 5 =-5 , 则 OAB =
( )

A, 3 正解: 正解:D.

3 B, 2

C, 5 3

5 3 D, 2

∵ OA OB = 5 ∴ | OA | | OB | cos V = 5 (LV 为 OA 与 OB 的夹角)

(2 cos α )2 + (2 sin α ) 2


(5 cos β ) 2 + (5 sin β ) cos V = 5
2

cos V =

1 3 1 5 3 sin V = S OAB = | OA | | OB | sin V = 2∴ 2 ∴ 2 2

误解: 误解:C.将面积公式记错,误记为

S OAB =| OA | | OB | sin V
(D)

22. ABC 中,AB = a ,BC = b , a b < 0 , ABC 的形状是 在 有 则 A, 锐角三角形 B,直角三角形 C,钝角三角形 D,不能确定

错解:C 错因:忽视 a b < 0 中 a 与 b 的夹角是 ∠ABC 的补角 正解:D

b (λ 23 . 设 平 面 向 量 a = ( 2,1), = (λ ,1), ∈ R ) , 若 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 , 则 λ 的 取 值 范 围 是
(A) 第 5 页(共 14 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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1 ( , ∪ 2, ∞) 2) ( + 2 A,
错解:C B, (2,+ ∞)

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1 1 , ∞) + ∞, ) 2 C, (— 2 D, (-

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错因:忽视使用 a b < 0 时,其中包含了两向量反向的情况 正解:A

2 24.已知 A(3,7) ,B(5,2) ,向量 AB 按 a = (1, ) 平移后所得向量是
A, (2,-5) , 答案:A 错解:B 错因:将向量平移当作点平移. 25.已知 ABC中 AB BC > 0, 则ABC 中, A,锐角三角形 答案:C 错解:A 或 D 错因:对向量夹角定义理解不清 B,直角三角形
→ →





.

B, (3,-3) ,

C, (1,-7)

D,以上都不是

. C,钝角三角形 D,不能确定

26 . 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 1 , 设 AB = a, BC = b, AC = c , 那 么 a b + b c + c a 的 值 是 ( A,
2 3

) B,
1 2

C,

3

2

D,

1

2

正确答案:(B) 错误原因:不认真审题,且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清. 27 ( A,相等 正确答案:(D) 错误原因:受已知条件的影响,不去认真思考 a b 可正可负,易选成 B. 28.已知 a x + b x + c = 0 是关于 x 的一元二次方程,其中 a, b, c 是非零向量,且向量 a和b 不共线,则
2

.

已 )



ac bc = a b c ≠ 0

,



a和b不垂直

,



a b与 a b c

( )

B,方向相同

C,方向相反

D,方向相同或相反

该方程 A,至少有一根 第 6 页(共 14 页)

(

)

B,至多有一根 数学投稿咨询 QQ:1114962912

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C,有两个不等的根 正确答案:(B) 错误原因:找不到解题思路.

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D,有无数个互不相同的根

29.设 a, b, c 是任意的非零平面向量且互不共线,以下四个命题: ① (a b) c c a b = 0

( ) ③ (b c ) a (c a ) b不与c垂直
其中正确命题的个数是



a + b a+b

④若 a ⊥ b, 则a b与c 不平行

( A,1 个 正确答案:(B) 错误原因:本题所述问题不能全部搞清. B,2 个 C,3 个 D,4 个

)

二填空题: 二填空题:
1.若向量 a = ( x, 2 x ) , b = ( 3x, 2 ) ,且 a , b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是______________. 错误分析:只由 a , b 的夹角为钝角得到 a b < 0, 而忽视了 a b < 0 不是 a , b 夹角为钝角的充要条件,因 为 a , b 的夹角为 180 时也有 a b < 0, 从而扩大 x 的范围,导致错误.
2 正确解法:∵ a , b 的夹角为钝角, ∴ a b = x ( 3 x ) + 2 x 2 = 3 x + 4 x < 0

解得 x < 0 或

x>

4 3 x= 1 3

(1)

又由 a , b 共线且反向可得

(2)

1 1 4 ∞, ∪ ,0 ∪ ,+∞ 3 3 3 由(1),(2)得 x 的范围是
1 1 4 ∞, ∪ ,0 ∪ ,+∞ 3 3 3 . 答案:
2.有两个向量 e1 = (1, 0) , e2 = (0,1) ,今有动点 P ,从 P0 (1, 2) 开始沿着与向量 e1 + e2 相同的方向作匀速直 线运动,速度为 | e1 + e2 | ;另一动点 Q ,从 Q0 (2, 1) 开始沿着与向量 3e1 + 2e2 相同的方向作匀速直线运动, 第 7 页(共 14 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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速度为 | 3e1 + 2e2 | .设 P , Q 在时刻 t = 0 秒时分别在 P0 , Q0 处,则当 PQ ⊥ P0 Q0 时, t = 确答案:2 3,设平面向量 a = ( 2,1), b = (λ ,1), 若 a 与 b 的夹角是钝角,则 λ 的范围是
→ →

秒.正





.

1 ( ,2) ∪ (2,+∞) 答案: 2 1 ( ,+∞) 错解: 2
错因: a b < 0 "与" a 和 b 的夹角为钝角"不是充要条件. "
→ → → →

1 2 4. a, b 是任意向量,给出:○ a = b , ○

→ →







a = b

→ → →

,○ a 与 b 方向相反,○ a = 0 或 b = 0 , ○ a , b 都是单 3 4 5









→ →

位向量,其中
1 3 4 答案:○○○

是 a 与 b 共线的充分不必要条件.





错解:○○ 1 3


错因:忽略 0 方向的任意性,从而漏选. 5.若 a = (2,3), b = ( 4,7 ), a + c = 0, 则c在b方向 上的投影为 正确答案:
65 5

.

错误原因:投影的概念不清楚.

A = or | rn = 2 , op, oq ∈A , 且 6 . 已 知 o 为 坐 标 原 点 , om = ( 1,1), nm = ( 5,5), 集 合 mp = λ mq(λ ∈ R, 且λ ≠ 0),则 mp mq =
正确答案:46 错误原因:看不懂题意,未曾想到数形结合的思想. .

{

}

三,解答题: 解答题:
3 3 x x π a = cos x, sin x , b = cos , sin x ∈ 0, , 2 2 2 2 ,且 2 求 1.已知向量
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(1) a b 及

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a+b

;

(2)若

f ( x ) = a b 2λ a + b a+b

3 的最小值是 2 ,求实数 λ 的值.

错误分析:(1)求出

= 2 + 2 cos 2 x 后,而不知进一步化为 2 cos x ,人为增加难度;

(2)化为关于 cos x 的二次函数在 [0,1] 的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (1)易求 a b = cos 2 x , (2)

a+b

= 2 cos x ;
2

f ( x ) = a b 2λ a + b
2

= cos 2 x 2λ 2 cos x = 2 cos x 4λ cos x 1

2 = 2(cos x λ ) 2λ 1

π ∵ x ∈ 0, 2

∴ cos x ∈ [0,1]

f ( x )min = 1 从而:当 λ ≤ 0 时, 与题意矛盾, λ ≤ 0 不合题意; 3 1 f ( x )min = 2λ2 1 = ,∴ λ = 2 2 ; 当 0 < λ < 1 时, 3 5 f ( x )min = 1 4λ = , λ= 2 解得 8 ,不满足 λ ≥ 1 ; 当 λ ≥ 1 时, 1 综合可得: 实数 λ 的值为 2 .
2.在 ABC 中,已知 AB = (2,3), AC = (1, k ) ,且 ABC 的一个内角为直角,求实数 k 的值. 错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若 ∠BAC = 90°, 即 AB ⊥ AC , 故 AB AC = 0 ,从而 2 + 3k = 0, 解得

k=

2 3;

(2) 若 ∠BCA = 90°, 即 BC ⊥ AC , 也 就 是 BC AC = 0 , 而 BC = AC AB = ( 1, k 3), 故

1 + k (k 3) = 0 ,解得

k=

3 ± 13 2 ;

(3)若 ∠ABC = 90°, 即 BC ⊥ AB ,也就是 BC AB = 0, 而 BC = ( 1, k 3) ,故 2 + 3(k 3) = 0 , 第 9 页(共 14 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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k= 11 . 3 k=


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解得

综合上面讨论可知,

2 3 ± 13 11 k= k= . 3或 2 或 3

3 → → → π n 与向量 m 夹角为 4 ,且 m n =-1, 3.已知向量 m=(1,1),向量


(1)求向量 n ;

π c → → n 与向量 q =(1,0)的夹角为 2 ,向量 p =(cosA,2cos2 2 ),其中 A,C 为ABC 的内角,且 A,B, (2)若向量


C 依次成等差数列,试求| n + p |的取值范围.






解:(1)设 n =(x,y)
x+ y 2 → → = 3 → → m n π 2 2 2 = 2 x +y 则由< m , n >= 4 得:cos< m , n >=
→ →

m n











由 m n =-1 得 x+y=-1 ②
x = 0 x = 1 y = 1 y = 0 联立①②两式得 或


∴ n =(0,-1)或(-1,0) (2) ∵< n , q >= 2 得 n q =0 若 n =(1,0)则 n q =-1≠0 故 n ≠(-1,0) ∴ n =(0,-1) ∵2B=A+C,A+B+C=π
π
→ → → → → → → → →

π

B= 3


2π A ∴C= 3

c → 1 n + p =(cosA,2cos2 2 )

=(cosA,cosC)
1 + cos 2 A 1 + cos 2C cos 2 A + cos 2C + +1 2 2 2 = ∴| n + p |= cos A + cos C =
→ →
2 2

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cos 2 A + cos( 4π 2 A) 3 +1

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=

2

cos 2 A

=

cos 2 A 3 sin 2 A 2 2 +1 2

=

1 3 cos 2 A sin 2 A 2 2 +1 2 cos(2 A +

π

=
2π ∵0<A< 3

2

) 3 +1
4π ∴0<2A< 3

π
3

< 2A +

π
3

<

5π 3

1 3 )< 2 ∴-1<cos(2A+

π

2 5 → , n + p |∈( 2 2 ) ∴|

→ 1 → → = (1, cos 2θ = (2,1) = (4 sin θ ,1) d = ( 2 sin θ ,1) ), b ,c , ,当 4.已知函数 f(x)=m|x-1|(m∈R 且 m≠0)设向量 a →

θ∈(0, 4 )时,比较 f( a b )与 f( c d )的大小. 解: a b =2+cos2θ, c d =2sin2θ+1=2-cos2θ f( a b )=m|1+cos2θ|=2mcos2θ f( c d )=m|1-cos2θ|=2msin2θ 于是有 f( a b )-f( c d )=2m(cos2θ-sin2θ)=2mcos2θ
π π
→ → → → → → → → → → → →

π









∵θ∈(0, 4 )

∴2θ∈(0, 2 )


∴cos2θ>0
→ → →

∴当 m>0 时,2mcos2θ>0,即 f( a b )>f( c d ) 当 m<0 时,2mcos2θ<0,即 f( a b )<f( c d ) 5.已知∠A,∠B,∠C 为ABC 的内角,且 f(A,B)=sin22A+cos22B- 3 sin2A-cos2B+2 (1)当 f(A,B)取最小值时,求∠C
→ → → →

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π


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(2)当 A+B= 2 时,将函数 f(A,B)按向量 p 平移后得到函数 f(A)=2cos2A 求 p 3 1 解:(1) f(A,B)=(sin22A- 3 sin2A+ 4 )+(cos22B-cos2B+ 4 )+1
3 1 =(sin2A- 2 )2+(sin2B- 2 )2+1 3 1 当 sin2A= 2 ,sin2B= 2 时取得最小值,

∴A=30°或 60°,2B=60°或 120°

C=180°-B-A=120°或 90°
A

π
(2) f(A,B)=sin22A+cos22( 2

)-

3 sin 2 A cos 2(

π
2

A) + 2

2 2 = sin 2 A + cos 2 A 3 sin 2 A + cos 2 A + 2

=


2 cos(2 A +

π
3

) + 3 = 2 cos(2 A +

3 )+3 3

( + 2kπ ,3) p= 3

π

a = (mx 2 ,1), b = (
6.已知向量 为锐角,求实数 x 的取值范围. 解:要满足< 只须

1 , x) mx 1 (m 为常数) a , b 不共线,若向量 a , b 的夹角落< a , b > ,且

a , b a b

>为锐角 >0 且

a ≠λ b

(λ∈R )

mx 2 a b mx 1 x = mx 2 mx 2 + x mx 1 =

x >0 = mx 1
即 x (mx-1) >0 1°当 m > 0 时

x<0 或 2°m<0 时 第 12 页(共 14 页)

x>

1 m

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x ( -mx+1) <0

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x<

1 或x > 0 m
只要 x<0

3°m=0 时

综上所述:x > 0 时,

x ∈ (∞,0) ∪ (

1 ,+∞) m

x = 0 时, x ∈ (∞,0)

x < 0 时,

x ∈ (∞,

1 ) ∪ (0,+∞) m

7.已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) 与 b 之间有关系|ka+b|= 3 |a-kb|,其中 k>0, ,a (1)用 k 表示 ab; (2)求 ab 的最小值,并求此时 ab 的夹角的大小. 解 (1)要求用 k 表示 ab,而已知|ka+b|= 3 |a-kb|,故采用两边平方,得 |ka+b|2=( 3 |a-kb|)2 k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b2-2kab) ∴8kab=(3-k2)a2+(3k2-1)b2

(3 k 2 )a 2 + (3k 2 1)b 2 8k ab =
∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), ∴a2=1, b2=1,

3 k 2 + 3k 2 1 k 2 + 1 8k ∴ab = = 4k k 2 + 1 2k 1 (2)∵k2+1≥2k,即 4k ≥ 4k = 2
1 ∴ab 的最小值为 2 ,
又∵ab =| a||b |cos γ ,|a|=|b|=1

1 ∴ 2 =1×1×cos γ .
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∴ γ =60°,此时 a 与 b 的夹角为 60°.

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错误原因:向量运算不够熟练.实际上与代数运算相同,有时可以在含有向量的式子左右两边平方,且有 |a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2ab 或|a|2+|b|2+2ab. .

8.已知向量 a = (cos α ,sin α ) , b = (cos β , sin β ) , (Ⅰ)求 cos(α β ) 的值;

a b =

2 5 5 .

(Ⅱ)若

0 <α <

π

2, 2



π

<β <0

,且

sin β =

5 13 ,求 sin α 的值.
,

解(Ⅰ)

∵ a = ( cos α, α ), = ( cos β, β ) sin b sin
.
2

∴ a b = ( cos α cos β, α sin β ) sin
∵ a b =
2 5 5 ,



( cos α cos β ) + ( sin α sin β )
4 5.

2

=

2 5 5 ,



2 2 cos (α β ) =

∴ cos (α β ) =

3 5.

(Ⅱ)

∵0 < α <

π
2

,

π
2

< β < 0,∴ 0 < α β < π .

∵ cos (α β ) = ∵ sin β =

3 4 ∴ sin (α β ) = . 5, 5

5 12 ∴ cos β = . 13 , 13

∴ sin α = sin (α β ) + β = sin (α β ) cos β + cos (α β ) sin β =
4 12 3 5 33 + = 5 13 5 13 65 .

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