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2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 2.8 幂函数与二次函数


2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :2.8
一、选择题 1 3

幂函数与二次函数

1.函数 y=x

的图像是(

)

A.

B.

C.

D.

>1

解析:由幂函数的性质知:①图像过(1,1)点,可排除 A、D; ②当指数 0<α <1 时为 增速较缓的增函数,故可排除 C,从而选 B. 答案:B 2.已知幂函数 f(x)=x 的图像经过点?2,
α

? ?

2? ?,则 f(4)的值为( 2?

)

A.16

1 B. 16

C.

1 2

D.2

1 - 2 2 1 α α 解析:由已知,得 =2 ,即 2 =2 ,∴α =- . 2 2 - ∴f(x)=x 1 2

.

1 - 2 1 ∴f(4)=4 = . 2 答案:C 3.已 知函数 f(x)=-x +4x+a,x∈[0,1].若 f(x)有 最小值-2 ,则 f(x)的最大值 为( ) A.-1 C.1
2 2

B.0 D.2

解析:f(x)=-x +4x+a 在 x∈[0,1]上的最小值为 f(0)=a,故 a=-2. ∴f(x)=-x +4x-2,它在[0,1]上的最大值为 f(1)=-1 +4×1-2=1,选 C. 答案:C 4.设 f(x)=|2-x |,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 ab 的取值范围是( A.(0,2) C.(0,4] 解析:∵f(x)=|2-x |且 f(a)=f(b), ∴|2-a |=|2-b |. 由 f(x)=|2- x |的图像可知 2-a =b -2. ∴a +b =4>2ab.∴ab<2. 又∵ab>0,∴ab∈(0,2). 答案:A 5.(2013·江南十校联考 )已知 函数 f(x)=? 实数 a 的取值范围是( )
?x +4x,x≥0, ? ? ?4x-x ,x<0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.(0,2] D.(0, 2]

若 f(2-a )>f(a),则

2

2

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
? ?x +4x,x≥0, 解析:函数 f(x)=? 2 ? ?4x-x ,x<0
2

的图 像如图.

知 f(x)在 R 上为增函数. 故 f(2-a )>f(a),即 2-a >a. 解得-2<a<1. 答案:C 6.(2013·江西师大附中月考)方程 mx -(m-1) x+1=0 在区间(0,1)内有两个不同的 实数根,则 m 的取值范围为( A.m>1 B.m>3+2 2 C.m>3+2 2或 0<m<3- 2 D.3-2 2<m<1 解析:令 f(x)=mx -(m-1)x+1, 则 f(x)的图像恒过定点(0,1),
2 2 2 2

)

? ? m-1? -4m>0, ?Δ = m-1 由题意可得? 0< <1, 2m ? ?f? 1? =2>0.
m>0,
2

3

解得 m>3+2 2.选 B. 答案:B 二、填空题 1 α 7 .(2013·临沂质检 ) 当 α ∈ { - 1 , , 1,3} 时,幂函数 y = x 的图像不可能经过 2 __________象 限. 解析:当 x>0 时,y>0,故不过第四象限; 当 x<0 时,y<0 或无意义.故不过第二象限. 综上,不过第二、第四象限.也可画图观察. 答案:第二、第四 8.(2013·泰安调研)已知(0.7 ) <(1.3 ) ,则实数 m 的取值范围是____ ______. 解析:∵0<0.7 <0.7 =1,1.3 >1.3 =1, ∴0.7 <1.3 .而(0.7 ) <(1.3 ) , ∴幂函数 y=x 在(0,+∞)上单调递增,故 m>0. 答案:(0,+∞ ) 9.若定义域为 R 的二 次函数 f(x)的最小值为 0,且有 f(1+x)=f(1-x),直 线 g(x) =4(x-1)被 f(x)的图像截得的线段长为 4 17,则函数 f(x)的解析式为__________. 解析:设 f(x)=a(x-1) (a>0). 由?
?y=a? ? ? ?y=4?
2 1.3 0.7 1.3 m 0.7 m 1.3 0 0.7 0 1.3 m 0.7 m

m

x-1?

2



x-1? ,

得 ax -(4+2a)x+a+4=0.

2

4+2a a+4 由韦达定理,得 x1+x2= ,x1·x2= .

a

a

由弦长公式,得 4 17= ?

??4+2a?2-4·a+4?. 2 1+4 ? ?? ? a ? ?? a ? ?
2 2

∴a=1.∴f(x)=(x-1) . 答案:f(x)=(x-1) 三、解答题

? π π? 2 10.已知 f(x)=x +2xtanθ -1,x∈[-1, 3],其中 θ ∈?- , ?. ? 2 2?
π (1)当 θ =- 时,求函数 f(x)的最大 值与最小值; 6 (2)求 θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数. π 2 3 3? 4 ? 2 解析:(1)当 θ =- 时,f( x)=x - x-1=?x- ?2- , 6 3 3? 3 ?
4

∴当 x=

3 4 时,f (x)min=- ; 3 3

2 3 当 x=-1 时,f(x)max= . 3 (2)由于函数的对称轴是 x=-tanθ ,要使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数, 必须且只需-tanθ ≤-1 或-tanθ ≥ 3,即 tanθ ≥1 或 tanθ ≤- 3, π ? ?π π ? ? π 故 θ ∈?- ,- ?∪? , ?. 3? ?4 2? ? 2 11.已知函数 f(x)=ax +( b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时,f(x)>0;当 x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax +bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 解 析 : 由 题 意 , 得 x = - 3 和 x = 2 是 函 数 f(x) 的 零 点 , 且 a < 0 , 则
? ?0=a×? -3? +? ? 2 ?0=a×2 +? b-8? ?
2 2 2

b-8? ×? -3? -a-ab,
×2-a-ab.

解得?

? ?a=-3, ?b=5. ?
2

∴f(x)=-3x -3x+18. (1)由图像知,函数 在[0,1]内单调递减, ∴当 x=0 时,y =18; 当 x=1 时,y=12. ∴f(x)在[0,1]内的值域为[ 12,18]. (2)令 g(x)=-3x +5x+c.
2

?5 ? ∵g ( x)在? ,+∞?上单调递减,要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立,则需要 g(1)≤0. ?6 ?
即-3+5+c≤0 ,解得 c≤-2. ∴当 c≤-2 时,不等式 ax +bx+c≤0 在[1,4]上恒成立.
5
2

12.(2013·宝鸡月考)已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
?f? x? ? (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? ?-f? x? ?

2

? ?

x>0? , x<0? .



F(2)+F(-2)的值;
(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]恒成立,求 b 的取值范围. 解析:(1)由已知 c=1,a-b+c=0,且- =-1. 2a 解得 a=1,b=2.
? ?? x+1? ∴f(x)=(x+1) ,∴F(x)=? ?-? x+1? ?
2 2 2

b

?
2

x>0? ,
? x<0? .

∴F(2)+F(-2)=(2+1) +[-(-2+1) ]=8. 1 2 2 (2)f(x)=x +bx,原命题等价于-1≤x +bx≤1 在(0,1]上恒成立,即 b≤ -x 且 b≥

2

x

1 1 1 - -x 在(0,1]恒成立, -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2.

x

x

x

所以-2≤b≤0.

6


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