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2015-2016学年高中数学 1.4生活中的优化问题举例课后习题 新人教A版选修2-2


【优化设计】2015-2016 学年高中数学 1.4 生活中的优化问题举例课后习 题 新人教 A 版选修 2-2
课时演练·促提升 A组 1.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午 6 时到 9 时,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下 3 2 函数给出:y=-t -t +36

t-.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( ) A.6 时 B.7 时 C. 8 时 D.9 时 2 解析:y'=-t -t+36,令 y'=0 解得 t=8 或 t=-12(舍), 当 0<t<8 时,y'>0;当 t>8 时,y'<0,∴t=8 为函数的最大值点. ∴t=8 时,通过该路段用时最多. 答案:C 2.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最 小值是( ) 2 2 A. cm B.4 cm 2 2 C.3 cm D.2 cm 解析:设一个正三角形的边长为 x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm,则这两个正三角形的面 2 2 2 2 积之和为 S=x +(4-x) =[(x-2) +4]≥2(cm ),故选 D. 答案:D 3.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则其高为( ) A. cm B.10 cm C.15 cm D. cm 解析:设圆锥的高为 x cm,则底面半径为 cm, 2 2 其体积 V=π x(20 -x )(0<x<20), V'=(400-3x2),令 V'=0 得 x1=,x2=-(舍去). 又当 0<x<时,V'>0;<x<20 时, V'<0,∴当 x= cm 时,V 取最大值. 答案:D 4.设有一个容积 V 一定的铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍,当总造价 最少时,桶高为( ) A. B. C.2 D.2 解析:设圆柱形铁桶的底面半径为 r,高为 h,总造价为 y,单位面积铁的造价为 a,则 V=π r2h,y=π r2·3a+π r2·a+2π rh·a=aπ ,则 y'=aπ . 令 y'=0,得 r=,h==2. 答案:C 3 5.某厂生产某种产品 x 件的总成本:C(x)=1 200+x (万元),产品单价的平方与产品件数 x 成反比,生 产 100 件这样的产品的单价为 50 万元,总利润最大时,产量应定为( ) A.20 件 B.25 件 C.30 件 D.45 件 解析:设产品单价为 a 万元,产品单价的平方与产品件数 x 成反比, 2 2 即 a x=k,由 题知 k=250 000,则 a x=250 000, 所以 a=. 3 2 总利润 y=500x -1 200(x>0),y'=x .由 y'=0,得 x=25,当 x∈(0,25)时,y'>0,x∈(25,+∞) 时,y'<0,所以 x=25 时,y 取最大值. 答案:B 3 2 6.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间的关系为 y=x -x -40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定 为 . 2 解析:由题设知 y'=x -39x-40, 令 y'>0,解得 x>40,或 x<-1, 3 2 故函数 y=x -x -40x(x>0)在[40,+∞)上递增,在(0,40]上递减.∴当 x=40 时,y 取得 最小值. 由此得为使耗电量最小,则其速度应定为 40.

1

答案:40 7.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为 30 n mile/h, 当速度为 10 n mile/h 时,它的燃料费是每小时 25 元,其余费用(无论速度如何 )都是每小时 400 元. 如果甲、乙两地相距 800 n mile,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应 为 . 3 3 解析:由题意设燃料费 y 与航速 x 间满足 y=ax (0≤x≤30),又∵25=a·10 ,∴a=. 设从甲地到乙地海轮的航速为 v,费用为 y, 3 2 则 y=av ××400=20v +. 由 y'=40v-=0,得 v=20<30. 当 0<v<20 时,y'<0;当 20<v<30 时,y'>0, ∴当 v=20 时,y 最小. 答案:20 n mile/h 8.已知球的直径为 d,求当其内接正四棱柱体积最大时,正四棱柱的高为多少? 解:

如图所示,设正四棱柱的底面边长为 x,高为 h, 2 2 2 2 由于 x +x +h =d , 2 2 2 所以 x =(d -h ). 2 2 3 所以球内接正四棱柱的体积为 V= x ·h=(d h-h ),0<h<d. 2 2 令 V'=(d -3h )=0,所以 h=d. 在(0,d)上,当 h 变化时,V',V 的变化情况如下表:

h V + ' V↗

d
0

-

极 大 ↘ 值

由上表知体积最大时,球内接正四棱柱的高为 d. 9.某市旅游部门 开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件, 通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提 2 高的百分率为 x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为 x .记改进工艺后,旅游部门销售该纪念 品的月平均利润是 y(元). (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的销售价,使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 2 解:(1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x)元,月平均销售量为 a(1-x )件, 2 则月平均利润 y=a(1-x )·[20(1+x)-15]元, 2 3 所以 y 与 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x-x -4x )(0<x<1). 2 (2)由 y'=5a(4-2x-12x )=0,得 x1=,x2=-(舍). 当 0<x<时,y'>0;<x<1 时,y'<0, 2 3 所以函数 y=5a(1+4x-x -4x )(0<x<1)在 x=处取得最大值. 故改进工艺后,产品的销售价为 20=30(元)时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. B组 1.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 元,若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是 . 解析:由题意得,总利润

2

P(x)=
当 0≤x≤390 时,P'(x)=-+300,令 P'(x)=0,解得 x=300;当 0≤x≤300 时,P'(x)>0; 当 300<x<390 时,P'(x)<0. 所以当 x=300 时,P(x)max=40 000,而当 x>390 时,P(x)<40 000,因此当 x=300 时利润最大. 答案:300 2.将边长为 1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 S=,则 S 的最 小值是 . 解析:设剪成的上面一块正三角形的边长为 x. 则 S=(0<x<1), S'==-, 令 S'=0,得 x=或 x=3(舍去). ∴x=是 S 的极小值点且是最小值点.

∴Smin=.
答案: 3.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面直径之比为 时,所用材料最省.

解析:设圆柱的高为 h,底面半径为 R, 2 则表面积 S=2π Rh+2π R . 2 由 V=π R h, 得 h=, 2 2 则 S(R)=2π R+2π R =+2π R . 令 S'(R)=-+4π R=0,解得 R=, 从而 h==2,即 h=2R. 因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值. 故当罐的高与底面直径相等时,所用材料最省. 答案:1∶1 4.

请你设计一个帐篷,它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥 (如图).试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时,帐篷的体积最大? 解:设 OO1 为 x m,则 1<x<4. 由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m)

.
于是底面正六边形的面积为(单位:m ) 2 2 6××() =(8+2x-x ). 3 帐篷的体积为(单位:m ) 2 V(x)=(8+2x-x ) =(16+12x-x3). 2 求导数,得 V'(x)=(12-3x ). 令 V'(x)=0,解得 x=-2(不合题意,舍去),x=2. 当 1<x<2 时,V'(x)>0,V(x)单调递增; 当 2<x<4 时,V'(x)<0,V(x)单调递减. 所以当 x=2 时,V(x)最大, 即当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为 2 m 时,帐篷的体积最大.
2

3

5.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千 2 克)满足关系式 y=+10 (x-6) ,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商 品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最 大. 解:(1)因为 x=5 时,y=11,所以+10=11,解得 a=2. 2 (2)由(1)知,该商品每日的销售量 y=+10(x-6) .所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)· =2+10(x-3)(x-6)2(3<x<6). 2 所以 f'(x)=10[(x- 6) +2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 令 f'(x)=0,得 x=4 或 x=6. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x

(3, 4 4) 0

(4, 6)

f' (x +
)

-

f( 极大 ↗ ↘ x) 值 42
由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值为 f(4)=42. 即当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 6.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩. 经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x 万元. 假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解:(1)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m,即 n=-1. 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x =256(2+)x=+m+2m-256(0<x<m). (2)由(1)知,f'(x)=--512). 令 f'(x)=0,得=512,所以 x=64. 当 0<x<64 时,f '(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当 64<x<640 时,f'(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数, 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值. 此时 n=-1=-1=9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.

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