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2006矩阵论试卷及答案




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? ? 6 ? 19 ? 1 ? ? ? 则,由 ? 1 , ? 2 , ? 3 到 ? 1 , ? 2 , ? 3 的过渡矩阵 P ? ? ? 13 ? 42 ? 1 ? ? ?2 ?7 0 ? ? ?


课程编号:

学期研究生课程考试试题
共 页第 页

6.设 A ? C 则 A

3? 3

, A

m

? {?? a ij } 2 , AA H 的非零特征值分别为 3, 5, 15 ,
2 j ?1 i ?1

3

3

1

课程名称:

m2

?

23



一.填空(每题 4 分,共 40 分)

8 2? ?2 ? 3 ? 4 1.设 A ? ? 2 12 ? 2 12? ? ,则 A 的值域 R( A) ? { y y ? Ax , x ? R } 的维数 ? 3 1 4? ?1 ?

? 1 2 1 0? 7. 设A? ? ?,B? ? ? 1 1 1 1?

?2 ? 1 0 1? ?1 ? 1 3 7? ,V1 ,V2 分别为齐次线性方程组 Ax ? 0 ,Bx ? 0 的 ? ?


解空间,则 dim(V1 ? V2 ) ? 1

dim R( A) ?

2



?2 ?0 ? ?0 2.设 A 的若当标准型 J ? ? ?0 ?0 ? ? ?0
(? ? 1) 3 (? ? 2) 2

0 2 0 0 0 0

0 0 0 0? 1 0 0 0? ? 2 0 0 0? ? ,则 A 的最小多项式? m (? ) ? 0 ?1 1 0? 0 0 ?1 1 ? ? 0 ? 1? 0 0 ?

? n ? ( ?1) n ? n 8.设 An ? ? ? n?1 ? ? 3n

1 1 ? (1 ? ) n ? n ? ,则 lim A ? n n? ? 2n ? 1 n ? ( ) 2n ? 1 ? ?

?1 ?1 ? ?3

e ?1 ? ? e ? ?

? 2 ?1 3? ? 1 0 0 ? ? 2 0 0 ?? 1 ? 1 2 3 2 ? ? ? ? ?? ? ?? 9.设 A ? ? 1 2 1 ? ,则 A 的 LDU 分解为 A = ?1 2 1 0 ? ? 0 5 2 0 ?? 0 ? 1 5? 1 ? 2 4 2? ? 1 2 1 ? ? 0 0 0 ?? 0 0 1 ? ? ? ? ?? ? ??

? ? 1 1 0? ? ? 3.设 A ? ? ? 4 3 0 ? 则 h? A? ? A 5 ? 3 A 4 ? A 3 ? 3 A 2 ? 3 A = ? 1 0 2? ? ?
3 2

? 1 ?1 0 ? ? ? ? 4 ?3 0 ? ? ? 1 0 ? 2? ? ?
2

4 4 8? ? 2 ? 2 0 4 0? ? 1 2? ? 2 4? ? ?。 ? ? ? A B ? ? 10.设 A ? ? , B , 则 ? ? ? 2 5? ? 2 0? ? ? 4 8 10 20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 0 10 0 ?
二. (10 分) ,设 T 为 n 维欧氏空间 V 中的线性变换,且满足: (Tx , y ) ? ?( x , Ty ) , 试证明: T 在标准正交基下的矩阵 A 为反对称阵( A ? ? AT ) 证明:设 ? 1 , ? 2 , ? , ? n 为 V 的标准正交基, A ? {a ij } n?n ,下证: a ij ? ? a ji 由 T (? 1 , ? 2 ,? , ? n ) ? (? 1 , ? 2 ,? , ? n ) A 知, T? i ? a 1i ? 1 ? a 2 i ? 2 ? ? ? a ni ? n

(解:因为 A 的特征多项式 det ??I ? A? ? f ?? ? ? ? ? 4? ? 5? ? 2 ,则 h?? ? ? ( ? ? ? ) f (? ) ? ? )

? 1 1? i i? 4.设 Hermite 阵为 A ? ? 5 0? ?1 ? i ? ,则 Hermite 矩阵 A 为 正定的 Hermite 矩阵 ? 0 2? ? ? ?i 5.在 R 3 中有下列两组向量:
{ ? 1 ? ?? 3,1,?2 ? , ? 2 ? ?1,?1,1? , ? 3 ? ?2,3,?1? }{ ? 1 ? ?1,1,1? , ? 2 ? ?1,2,3? , ? 3 ? ?2,0,1? }

T? j ? a1 j ? 1 ? a 2 j ? 2 ? ? ? a nj ? n , (T? i , ? j ) ? ? (? i , T? j )

(T? i , ? j ) ? (a1i ? 1 ? a 2 i ? 2 ? ? ? a ni ? n , ? j ) ? a ji (? i , T? j ) ? (? i , a1 j ? 1 ? a 2 j ? 2 ? ? ? a nj ? n ) ? a ij
所以: a ij ? ? a ji , T 在标准正交基下的矩阵 A 为反对称阵



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页 共 页第 页

? ? 4 2 10 ? ? ? 三, (10 分)在复数域上求矩阵 A ? ? ? 4 3 7 ? 的 Jordan 标准形 J ,并求出可逆矩阵 P , ??3 1 7 ? ? ?

f ( A) ? f (2) E ? f ?(2)( A ? 2 E )

。所以

sin(

?
4

A) ? E

使得 P ?1 AP ? J 。

? 2 1 0? ? ? 解: A 的 Jordan 标准形 J ? ? 0 2 1 ? 令 P ? ( p1 , p 2 , p 3 ) ,则有 ? 0 0 2? ? ?
Ap1 ? 2 p1 , Ap 2 ? p1 ? 2 p 2 , Ap 3 ? p 2 ? 2 p 3
即: 。

1 ? 1? ? 2 ? ? e ? e E ? e ( A ? 2E) ? e ( A ? E) ? e ? ? 2 ? 1 2 ? 。 ? ?1 ?1 2 ? ? ?
A
2 2 2
2

[法二]待定系数: A 的最小多项式为 ? (? ) ? (? ? 2) 2 , 令 r ( z ) ? a 0 ? a1 z ,由 f (? A)? r (? A) ,可得: a 0 ? 2a1 ? 1, a1 ? 0 。

? ? 6 2 10 ? ? 0 ? ? ? 6 2 10 ? ? ? 6 2 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 1 7 ? p 1 ? ? 0 ?, ? ? 4 1 7 ? p 2 ? p1 , ? ? 4 1 7 ? p 3 ? p 2 ?? 3 1 5 ? ? 0? ? ? 3 1 5 ? ?? 3 1 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
解得: p1 ? (2,1,1) T , p 2 ? (0,1,0) T , p 3 ? (1,?2,1) T 。故
?2 0 1 ? ? ? P ? ?1 1 ? 2? ?1 0 1 ? ? ?
?x 四, (10 分)已知 X ? ? 1 ? x4 x2 x5

解得: a 0 ? 1, a1 ? 0 , sin(

?
4

A) ? E ,

e

A

1 ? 1? ? 2 ? ? ? e ?? 2 ?1 2 ? 。 ? ?1 ?1 2 ? ? ?
2

?0 ?? 1 ? ? A 六(10 分) 、设 ?0 ? ?1

1? 0? ? ,求 A 的奇异值分解。 2? ? 0?



? 2 0? H H 解答: A H A ? ? ? ,那么 AA 的非零奇异值为 2 , 5 , A A 对应于特征值 5,2 的 0 5 ? ? ?1 ? ? 0? ?0 1? 标准特征向量为 x1 ? ? ? , x 2 ? ? ? , V ? ? ? ?0? ?1 ? ?1 0?
再计算 AA H 的标准正交特征向量, 。 解得分别与 5,2,0,0 对应的四个标准正交特征向量
? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ?? 2? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 5? ? 5? ? ? 0 ? ,? ? ? 2 ? ,? ? ? 0 ? ,? ? ? ? 2 3 4 2 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? 5? ? 1 ? ? 5? ? ? ? ? ? 0 ? 0 2 ? ? ? ? ? ?

x3 ? df , f ( X ) ? e x1 x6 ? sin x 2 x 5 ? x 3 x 4 ,求 ? x6 ? dX

? ?f ? ?x df 解答: ?? 1 dX ? ?f ? ? ?x 4

?f ?x 2 ?f ?x 5

?f ? x x ?x 3 ? ? x 6 e 1 6 ??? ?f ? ? x 3 ?x 6 ? ?

x 5 sin x 2 x 5 x 2 sin x 2 x 5

x4 x1 e
x1 x 6

? ? ?

1 ? 1? ? 3 ? ? ? 2 ? ,求 sin( A) , e A 。 五, (10 分)已知 A ? ? ? 2 0 4 ? ?1 ?1 3 ? ? ?

解:[法一]由于 | ?E ? A |? (? ? 2) ,而 rank (2 E ? A) ? 1 ,因此 A 的 A 的最小多项式
3

? (? ) ? (? ? 2) 2


? ? 0 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ,U ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2? ? ? ? ?

1 5 0 2 5 0

0 ?1 2 0 1 2

?2 5 0 1 5 0

? 0 ? ? 1 ? 2? ? 0 ? ? 1 ? ? 2?


? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 5 0 2 5 0 0 ?1 2 0 1 2 ?2 5 0 1 5 0 ? 0 ? ? 1 ? 2? ? 0 ? ? 1 ? ? 2?

f ( A) ? f (2) A1 ? f ?(2) A2 。

取 f ( z ) ? 1 ,则有 A1 ? E ;取 f ( z ) ? z ? 2 ,则有 A2 ? A ? 2 E

。因此

所以 A ? U?V H

? ? ? ? ? ? ?

5 0 0 0

0? ? 2? 0? ? 0? ?

?0 1? ?1 0 ? ? ?



页第





页第



七(10 分)设 0 ? Ai ? C n?n 且当 i ? j 时 Ai Aj ? 0 , i ? 1, 2,? , n ; j ? 1, 2,? , n ,证明存在 同一个可逆阵 P ? C n?n ,使得对所有的 i ( i ? 1, 2,? , n )有 Ai ? ai PEii P ?1 ,其中 ai ? C 。 证明: n ? 1 时,命题显然。 假设 n ? k 时,命题成立。当 n ? k ? 1 时, 设 rankA1 ? r

? D1 0 ? ?1 由 若 当 分 解 A1 ? P , 其 中 D1 ? C r?r 可 逆 , 由 A1 Aj ? Aj A1 ? 0 可 得 1? 1 ?P 0 0 ? ?
?0 0 ? ?1 由 Ai Aj ? 0 得 Bi B j ? 0 ,i ? j ,i ? 2,? , n ; j ? 2,? , n 。 Aj ? P ?P 1 ? 1 , j ? 2,? , n 。 ?0 B j ?

由假设得存在可逆阵 Q ? C ( n ? r )?( n ? r ) ,使得 Bi ? ai QEii Q ?1 ,其中 ai ? C ,i ? 2,? , n 。所以

? a1 0 ? ?1 ?1 r ? n ? 1 ? n ,即 r ? 1 , A1 ? P ? a1 P P 1 1 E11 P 1 。所以 1? ? ? 0 0? ? a1 0 ? ?1 ?1 0 ? ?1 0 ? ?1 0 ? ?1 ? a1 P A1 ? P P P 1? 1 1? ? ?? ?? ?1 ? 1 ? 0 0? ?0 Q ? ?0 0 ? ?0 Q ? ?1 0 ? ?1 ?1 0 ? ? 记P ? P ,则 A a P P ? a1 PE11 P ?1 , 1? 1 1 ? ? ? ?0 0? ?0 Q ?
0 ?0 0 ? ?1 ?0 ? ?1 ?P ? ajP Aj ? P P ? ?1 ? P 1? 1 1? 1 B a QE Q 0 0 j j jj ? ? ? ? ?0 0 ? ?1 ?1 ?0 E ? P ? a j P E jj P , j ? 2,? , n 。 jj ? ?

所以存在同一个可逆阵 P ? C n?n ,使得对所有的 i ( i ? 1, 2,? , n )有 Ai ? ai PEii P ?1 ,其 中 ai ? C 。


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