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汕头市金山中学2017届高三上学期期中考试(理数)


汕头市金山中学 2017 届高三上学期期中考试 数学(理科)
第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? ? x
2

?

/>?

?

2 ? ? 1? ,则 A ? B ? ( ? x?2 ?
D.(2,4)



A.(1,3) 2.已知命题:

B.(1,4)

C.(2,3)

p :在 ?ABC 中,“ sin A ? cos B ”是“ ?ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件;
2 ? 2 x0 ? 2 ? 0 . q : ?x0 ? R, x0

则下列命题为真命题的是( A. p ? q

) C. (?p ) ? q D. p ? q

B. (?p ) ? q

3.已知平面向量 a , b 满足| a |=1,| b |=2,且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为(

?

?

?

?

? ?

?

?

?



? 2? C. 3 3 4.已知函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x ,则下列结论中正确的是(
A.

? 6

B.

D. ).

5? 6

A.关于点 (? C.向左平移

?
8

, ? 2) 中心对称

B.关于直线 x ? D.向右平移

?
8

轴对称

? 后得到奇函数 4

? 后得到偶函数 8

5 .已知函数 f ? x ? ? ( )

1 2 x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大致是 4

(A)

(B)

(C)

(D)
kx+b

6. 某食品的保鲜时间 y(单位: 小时)与储藏温度 x(单位: ℃)满足函数关系 y=e

(e=2.718…

为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是( A.16 小时 B.20 小时 C.24 小时 ) D.28 小时

1

7.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60° ,∠BCD= 135° ,则 BC 的长为 ( ).

A.8 2 C.14 2

B.9 2 D.8 3

8 . 若 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 满 足 f ( x? 1) ? f ( x? 1) , 当 x ? ( 0 , 1) 时,
x ,则 f (log 1 24) 的值等于( f ( x )? 2 ? 2
2

) C.

4 A. ? 3

B. ?

7 2

1 2

D. ?

1 2
)

?x,x≥y ?y,x≥y ? ? 9.记 max{x,y}=? ,min{x,y}=? ,设 a,b 为平面向量,则( ?y,x<y ?x,x<y ? ?

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

10 . 已 知 f ( x) 是 定 义 在 (0,??) 上 的 函 数 , 对 任 意 两 个 不 相 等 的 正 数 x1 , x2 , 都 有

f (sin ) f (3 ) x2 f ( x 1) ? x 1f ( x 2 ) 7 , c ? f (log? 2) ,则( ? 0 ,记 a ? 0.2 , b ? ? x2 ? x1 3 log? 2 sin 7
0.2

?



A. c ? b ? a

B. b ? c ? a

C. b ? a ? c

D. c ? a ? b

11.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ? x ? ? 1 ? f ? ? x ? , f ? 0? ? 0, f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数, 则不等式 e f ? x ? ? e ?1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为(
x x

) D.

A.

? ??, ?1? ? ?0, ???

B.

? ?1, ???

C.

? ??,0? ? ?1, ???

?0, ???

x1+x2 1 12.函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有 f( )≤ [f(x1)+f(x2)],则称 2 2 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; ②f(x2)在[1, 3 ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; x1+x2+x3+x4 1 ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 f( )≤ [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]. 4 4 其中真命题的序号是 ( A.①② B.③④ ) C.①③
2

D.②④

第 II 卷(非选择题共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答.第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.由抛物线 y=x2-1,直线 x=0,x=2 及 x 轴围成的图形面积为 . x 14.曲线 C:f(x)=sin x+e +2 在 x=0 处的切线方程为 . 15.若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 (

? ? , ) 内是减函数,则 a 的取值范围是 6 2



x ? ( x ? 0) ?2 ? a f ( x ) ? 16 .已知函数 恰有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围 ? 2 ? ? x ? 3ax ? a ( x ? 0)



.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A、B、C 的对边,若 m ? (sin

??

2

?? ? ? n ? (?2,cos 2 A ? 1) ,且 m ? n .
(1)求角 A 的大小; (2)当 a ? 2 3 ,且△ABC 的面积 S ?

B?C ,1) , 2

a 2 ? b2 ? c2 时,求边 c 的值和△ABC 的面积. 4 3

18.(本小题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD ,

?PAD 为等边三角形, AB ? AD ?

1 CD , 2

P D A B

M C

AB ? AD , AB // CD ,点 M 是 PC 的中点.
(I)求证: MB // 平面 PAD ; (II)求二面角 P ? BC ? D 的余弦值;

19.(本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B,系统 A 和系统 B 在任意 时刻发生故障的概率分别为 1 和 p. 10

49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ,求 ξ 的概率分布列及 数学期望 E(ξ).

3

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长为 2,离心率为 ,直线 l : y ? kx ? m 2 a b 2
1 2

与椭圆 C 交于 A , B 两点,且线段 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求△ AOB ( O 为坐标原点)面积的最大值.

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 (I) 求函数 y ? f ( x) 在 ? , 2 ? 上的最大值; 2 (II) 如 果 函 数 g ( x) ? f ( x) ? ax 的 图 像 与 x 轴 交 于 两 点 A( x1 ,0) 、 B( x2 ,0) , 且

?1 ?

? ?

0 ? x1 ? x2 . y ? g ? ( x ) 是 y ? g ( x) 的导函数,若正常数 p, q 满足 p ? q ? 1, q ? p .
求证: g ? ( px1 ? qx2 ) ? 0 .

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, A, B, C , D 四点在同一个圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长 线上. (1)若

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB

2 FB ,证明: EF / / CD . (2)若 EF ? FA?

4

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,取原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C1 的

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 ( t 为参数) 极坐标方程为 ? ? 2 cos? ,直线 C 2 的参数方程为: ? ?y ? 3 ? 2 t ? 2 ?
(I )求曲线 C1 的直角坐标方程,直线 C 2 的普通方程; (II)先将曲线 C1 上所有的点向左平移 1 个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 3 倍得到曲线 C3 , P 为曲线 C3 上一动点,求点 P 到直线 C 2 距离的最小值,并求出相 应的 P 点的坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ? x ? ? x ?1 ? 2 . (1)解不等式 g ? x ? ? 5 ; (2)若对任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立, 求实数 a 的取值范围.

5

数学(理科)参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 A 6 C 7 A 8 C 9 D 10 B 11 D 12 B

二、填空题: 13. 2 ; 14. 2x-y+3=0 ; 15.

(??, 2] ;

16. a ?

4 或a ? 1 9

第 10 题解答:由新定义知,max{x,y}是 x 与 y 中的较大值,min{x,y}是 x,y 中的较小 值,据此可知 A、B 是比较|a+b|与|a-b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小,由平行四 边形法则知其大小与〈a,b〉有关,故 A、B 错; 当〈a,b〉为锐角时,|a+b|>|a-b|,此时|a+b|2>|a|2+|b|2. 当〈a,b〉为钝角时,|a+b|<|a-b|,此时|a+b|2<|a|2+|b|2<|a-b|2. 当〈a,b〉=90° 时,|a+b|=|a-b|,此时|a+b|2=|a|2+|b|2. 1,x=1 ? ? 第 12 题解答:令 f(x)=?0,1<x<3 ? ?1,x=3 x1+x2 1 ,可知? x1,x2∈[1,3]都有 f( )≤ [f(x1)+f(x2)]但 2 2

函数 f(x)在[1,3]上的图象不连续,故①不正确.排除 A、C;取函数 f(x)=-x,1≤x≤3,则函 数满足题设条件具有性质 P,但 f(x2)=-x2,1≤x≤ 3就不具有性质 P,故②为假命题,排除 D.应选 B. 三、解答题: 17.解:(1)由于 m⊥n, 所以 m· n = —2sin2 = —2cos2

??A B?C +cos 2A+1=—2sin2 +2cos2A 2 2

A +2cos2A =2cos2A—cos A—1 = (2cos A+1)(cos A—1) = 0. ……..4 分 2 1 所以 cos A= - 或 1(舍去), 2 2 ? A ? (0, ? ) ∴ A ? ? …………………………..6 分 3
(2)由 S=

3 a 2 ? b2 ? c2 及余弦定理得 tan C= , 3 4 3

? C ? (0, ? ) ∴C=

π =B. ……..8 分 6 a c 又由正弦定理 = 得 c ? 2 ,……..10 分 sin A sin C
6

所以△ABC 的面积 S=

1 acsin B= 3 …………………………..12 分 2

18. (Ⅰ)证明:取 PD 中点 H ,连结 MH , AH . 因为 M 为 PC 中点 , 所以 HM // CD, HM ?

1 CD . 2

z P H D A x O B K y M C

因为 AB // CD, AB ?

1 CD . 2

所以 AB / / HM 且 AB ? HM . 所以四边形 ABMH 为平行四边形, 所以 BM // AH . 因为 BM ? 平面PAD ,

AH ? 平面 PAD , 所以 BM // 平面 PAD . (Ⅱ) 取 AD 中点 O ,连结 PO. 因为 PA ? PD , 所以 PO ? AD . 因为 平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD I 平面 ABCD ? AD , PO ? 平面 PAD ,
所以 PO ? 平面ABCD .………………..6 分

…………………………..5 分

取 BC 中点 K ,连结 OK ,则 OK / / AB. 以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, ………..7 分 设 AB ? 2, 则 A(1, 0, 0), B (1, 2, 0), C ( ?1, 4, 0), D( ?1, 0, 0), P(0, 0, 3),

uuu r uur BC ? (?2, 2, 0), PB ? (1, 2, ? 3) .…………..9 分
平面 BCD 的法向量 OP ? (0, 0, 3) , 设平面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

uuu r

ur

uuu r ur ? BC ? ? n ? 0, ? ??2 x ? 2 y ? 0, 由 ? uur ur 得? ? x ? 2 y ? 3z ? 0. ? ? PB ? n ? 0, ? ur 令 x ? 1 ,则 n ? (1,1, 3) .………..10 分
uuu r r uuu r ur OP ? n 15 cos ? OP, n ?? uuu r ur ? .………..11 分 5 | OP || n |
7

由图可知,二面角 P ? BC ? D 是锐二面角, 所以二面角 P ? BC ? D 的余弦值为 19. [解答]

15 . 5

…………………………..12 分 1 · p= 10

(1)设“至少有一个系统不发生故障 ”为事件 C,那么 1-P( C )=1-

49 1 ,解得 p= .…………4 分 50 5 (2)由题意,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3……5 分 1 ? 1 ?3 P(ξ=0)=C0 3 10 = ? ? 1 000, P(ξ=2)=C2 3 1 1 ? 243 ·1- ?2= , 10 ? 10? 1 000 1? 27 ? 1 ?2 ? P(ξ=1)=C1 3 10 ·1-10 = ? ? ? ? 1 000, 1 ?3 729 ? P(ξ=3)=C3 3 1-10 = ? ? 1 000. ……9 分

所以,随机变量 ξ 的概率分布列为 ξ P 0 1 1 000 1 27 1 000 2 243 1 000 3 729 1 000 ……10 分 故随机变量 ξ 的数学期望: 1 27 243 729 27 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = .…………12 分 1 000 1 000 1 000 1 000 10

? c 2 , ?e ? ? a 2 ? ? 2 20.解:(Ⅰ)由已知可得 ? 2b ? 2 , 解得 a ? 2 , b2 ? 1 , ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? ?
故椭圆 C 的标准方程为

………2 分

x2 ? y 2 ? 1. 2

………3 分

? y ? kx ? m , ? (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,联立方程 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?2
消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 .
2 2 2
2 2 2 2 当 ? ? 8(2k ? m ? 1) ? 0 ,即 2k ? m ? 1 时,

………4 分 ………5 分

2m 2 ? 2 ?4km x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

……6 分

8

所以

x1 ? x2 y ? y2 ?2km m ? ? , 1 . 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
1 2

? ) 当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线显然过点 (0 , S ?AOB ? 1 1 AB ? m ? ? m ? 2 2 ? 1 ? m 2 ? 2 ? (1 ? m 2 ) ? m 2 2 2

因为 m ? (?1,0) ? (0,1) ,所以 m2 ? (0,1)

1 1 2 1 2 S?AOB ? 2 ? (1 ? ) ? ? ,当 m ? 时,取到等号. 2 2 2 2
? ), 当 k ? 0 时,因为线段 AB 的垂直平分线过点 (0 , 1 2

………8 分

y1 ? y2 1 ? (? ) 2 2 ? ? 1 ,化简整理得 2k 2 ? 1 ? 2m . 所以 x1 ? x2 k ?0 2
由?
2 ? ? 2k ? 1 ? 2m , 得0 ? m ? 2 . 2 2 2 k ? 1 ? m , ? ?

………9 分

又原点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

m 1? k 2



AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 1 ? k 2

4k 2 ? 2m2 ? 2 1 ? 2k 2
………10 分

所以 S?AOB ?

m 4k 2 ? 2m2 ? 2 1 AB ? d ? 2 1 ? 2k 2
1 4m ? 2m 2 , 0 ? m ? 2 . 2

2 而 2k ? 1 ? 2m 且 0 ? m ? 2 , 则 S ?AOB ?

2 所以当 m ? 1 ,即 k ?

1 2 时, S?AOB 取得最大值 . 2 2

………11 分

综上, S?AOB 最大值为

2 . 2

………12 分

21.解:(Ⅰ) ? f ( x) 的定义域为 (0, ??) 由 f ( x) ? 2ln x ? x 得到: f ? ( x) ?
2

2(1 ? x)(1 ? x) ,令 f ? ( x) ? 0 得 x ? 1或 ? 1 (舍去) x

当 x ? (0,1) 时, f ? ( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ? ( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, 2) 单调递减, f (1) 是极大值,也是最大值.

9

所以 f ( x) 最大值为 f (1) ? ?1 . …………………4 分 (Ⅱ)? g? ( x) ?

2 ? 2x ? a ,又 f ( x) ? ax ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 , x ?2ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 2(ln x1 ? ln x2 ) ? 则? ,两式相减得到: a ? ? ( x1 ? x2 ) …………6 分 2 x1 ? x2 ? ?2ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? 2( px1 ? qx2 ) ? [ ? ( x1 ? x2 )] 于是 g ? ( px1 ? qx2 ) ? px1 ? qx2 x1 ? x2 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ? ? (2 p ? 1)( x2 ? x1 ) px1 ? qx2 x1 ? x2 ? 2 p ? 1, x2 ? x1 ? 0 ,?(2 p ? 1)( x2 ? x1 ) ? 0 …………………8 分 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 要证: g? ( px1 ? qx2 ) ? 0 ,只需证: ? ?0 px1 ? qx2 x1 ? x2 x ? x1 x ? ln 1 ? 0 只需证: 2 ① ………9 分 px1 ? qx2 x2 x 1? t ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立, 令 1 ? t ,0 ? t ? 1 ,只需证: u (t ) ? x2 pt ? q
1 1 ? 又∵ u? (t ) ? ? t ( pt ? q ) 2
∵ p ? q ? 1, q ?

p 2 (t ? 1)(t ?

q2 ) p2

t ( pt ? q ) 2

………10 分

1 q q2 q2 ,则 ? 1,? 2 ? 1 ,于是由 t ? 1 可知 t ? 1 ? 0 , t ? 2 ? 0 2 p p p
x2 ? x1 x ? ln 1 ? 0 ,即①成立,从而原不等式成立.…12 分 px1 ? qx2 x2

故知 u? (t ) ? 0 ? u (t ) 在 t ? (0,1) 上为增函数, 则 u(t ) ? u(1) ? 0 ,从而知

22.解: (1):因为 A, B, C , D 四点共圆;??EDC ? ?BEF , 又? ?DEC ? ?BEA,??ECD ? ?EAB,?

EC ED DC ? ? , EA EB AB

又?

EC 1 ED 1 CD 6 .……………5 分 ? , ? , ? EB 3 EA 2 AB 6

证明:(2)? EF ? FA?FB,?
2

EF FB ? , FA EF

又? ?EFA ? ?BFE,??FAE ? ?FEB ??FEA ? ?FBE , 又因为 A, B, C , D 四点共圆;??EDC ? ?EBF ??FEA ? ?EDC ? EF / /CD .……………10 分 23.解:(Ⅰ) ? ? ? 2cos ? ,? ? ? 2? cos ? , 由 ? ? x ? y , ? cos? ? x ,得 x ? y ? 2 x ,
2 2 2 2 2 2

10

曲线 C1 的直角方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 .………………2 分

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 由? ,消去 t 解得:直线 C2 的普通方程为 x ? y +4=0 .……………4 分 ?y ? 3? 2 t ? ? 2
(Ⅱ)由已知得曲线 C3 的方程为 设点 P ( 3 cos? ,sin ? ),

x2 ? y 2 ? 1 ,……………………6 分 3
点 P 到直线 C2 的距离为

d?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

? 2 cos(? ? ) ? 4 6 = ,………………8 分 2

? = ? 时, d 取得最小值 2 , 6 5? 3 1 此时 ? ? , 所以 P 点坐标为 ( ? , ) .……………………10 分 6 2 2
由三角函数的性质知,当 ? ? 24. 解: (1)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5 ,? x ?1 ? 3 ,解得 ?2 ? x ? 4 所以原不等式的解集为 ?x | ?2 ? x ? 4? . .…………4 分 .

(2)因为对任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立 所以

? y | y ? f ? x?? ? ? y | y ? g ? x?? ,
a ? ?1 或 a ? ?5 .

有 f ( x ) ? 2 x ? a ? 2 x ? 3 ? ? 2 x ? a ? ? ? 2 x ? 3 ? ? a ? 3 , g ? x ? ? x ?1 ? 2 ? 2 , 所 以

a ?3 ? 2 从 而

所 以

实 数 a 的 取 值 范 围

??

? , ? 5 ? ??

分 1 ?? , ..………10 ? ?

11


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