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2014年湖南高考文科数学试题解答(纯word版,可修改)


2014 年湖南高考数学试题(文史类)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.(2014 湖南文)设命题 p : ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ,则 ?p 为
2 A.?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 C.?x0 ? R, x0 ?1? 0 2 B. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 D. ?x0 ? R

, x0 ?1 ? 0

( B )

2.(2014 湖南文)已知集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 3} ,则 A

B?

( C )

A.{x | x ? 2} B. {x | x ? 1} C.{x | 2 ? x ? 3} D. {x |1 ? x ? 3}
3.(2014 湖南文)对一个容器为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单 随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个 个体被抽中的概率分别为 p1 , p2 , p3 ,则 ( D )

A. p1 ? p2 ? p3 B. p2 ? p3 ? p1 C. p1 ? p3 ? p2

D.p1 ? p2 ? p3
( A )

4.(2014 湖南文)下列函数中,既是偶函数又在区间 (??, 0) 上单调递增的是

A. f ( x ) ?

1 x2

B. f ( x ) ? x 2 ? 1

C. f ( x ) ? x 3

D.f ( x ) ? 2 ? x
( B )

5.(2014 湖南文)在区间 [?2,3] 上随机选取一个数 X ,则 X ? 1 的概率为 A.4/5 B.3/5 C.2/5 D.1/5

6.(2014 湖南文)若圆 C1 : x2 ? y 2 ? 1 与圆 C2 : x2 ? y2 ? 6x ? 8 y ? m ? 0 外切,则 m ? A.21 B.19 C.9 D.-11

( C )

7.(2014 湖南文)执行如图所示的程序框图.如果输入的 t∈[-2,2],则输出的 S 属于 ( D ) A.[-6,-2] B.[-5,-1] C.[-4,5] D.[-3,6]

8.(2014 湖南文)一块石材表示的几何体三视图如图所示,将该石材切削、打磨, 加工成球,则能得到的最大球的半径等于 A.1 B.2 C.3 D.4

( B )

9.(2014 湖南文)若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则

(C)

A. e x2 ? e x1 ? ln x2 ? ln x1 C. x2e x1 ? x1e x2

B. e x2 ? e x1 ? ln x2 ? ln x1 D. x2e x1 ? x1e x2

10.(2014 湖南文)在平面直角坐标系中, O 为原点, A(?1,0), B(0,3), C(3, 0) 动点 D 满足 | CD |? 1 ,则 | OA ? OB ? OD | 的取值范围是 A. [4,6] B. [ 19 ? 1 ,19+1] C. [2 3, 2 7] D. [ 7 ? 1 ,7+1] ( D )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(2014 湖南文)复数

3?i ( i 为虚数单位)的实部等于 -3 i2
2 t 2 ( t 为参数) 2 t 2

? ?x ? 2 ? ? 12.(2014 湖南文)在平面直角坐标系中,曲线 C : ? ? y ? 1? ? ?
的普通方程为 x-y-1=0

? y?x ? 13.(2014 湖南文)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 7 ? y ?1 ?
14.(2014 湖南文)平面上以机器人在行进中始终保持与点 F (1,0) 的距离和到直线

x ? ?1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P?? 1, 0? 且斜率为 k 的直线,则 k
的取值范围是 (-∞,-1)∪(1,+∞)

15.(2014 湖南文)若 f ?x ? ? ln e3 x ? 1 ? ax 是偶函数,则 a ? -2/3

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程. 16.(2014 湖南文)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? 2 n ? (?1)n an ,求数列 ?bn ?的前 2 n 项和.
a

n2 ? n ,n ? N ? . 2

解:(1)当n ? 1时,a1 ? S1 ? 1, 当n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? n, ∴ an ? n (n ? N * ). (2)由(2)得 bn ? 2 n ? (?1)n an ? 2n ? (?1)n n ,∴数列 ?bn ?的前 2 n 项和 T2 n 为
a

T2n ? (2 ? 22 ?

? 22n ) ? (?1 ? 2 ? 3 ? 4 ?

? 2n) ? 22n?1 ? 2 ? n.

17.(2014 湖南文)(本小题满分 12 分) 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组 往年研发新产品的结果如下:

(a, b), ( a, b), ( a, b), ( a, b), ( a, b), ( a, b), ( a, b), ( a, b), (a, b), ( a, b), ( a, b), ( a, b), ( a, b), ( a, b), ( a, b),
其中 a, a 分别表示甲组研发成功和失败; b, b 分别表示乙组研发成功和失败.

(1)若某组成功研发一种新产品,则给改组记 1 分,否记 0 分,试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估算恰有一组研发成功的概率. 解:(1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数为 x甲 = 方差为 S甲 =
2

10 2 = . 15 3

1 2 2 2 [(1 ? ) 2 ? 10 ? (0 ? ) 2 ? 5] ? . 15 3 3 9 9 3 = . 15 5

乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数为 x乙 = 方差为 S乙 =
2

1 3 3 6 [(1 ? )2 ? 9 ? (0 ? ) 2 ? 6] ? . 15 5 5 25

2 2 ,∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平. x甲> x乙,S甲 <S乙

(2)记 E={恰有一组研发成功},在所抽得的 15 个结果中,恰有一组研发成功的结果是

(a, b), (a, b), (a, b), (a, b), (a, b), (a, b), (a, b),
共有 7 个,故事件 E 发生的频率为 7/15. 视频率为概率,则所求的概率为 P(E)=7/15. 18.(2014 湖南文)(本小题满分 12 分) 如图,已知二面角 ?

? MN ? ? 的大小为 60°,菱形 ABCD 在面 ? 内, A, B 两点

在棱 MN 上, ?BAD ? 60°, E 是 AB 的中点, DO ? 面 ? ,垂足为 O . (1)证明: AB ? 平面 ODE ; (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.

解:(1)∵DO⊥α,AB?α,∴DO⊥AB.∵四边形 ABCD 问菱形,∠BAD=60°,连结 BD,则△ABD 为正三角形.又 E 为 AB 的中点,∴DE⊥AB.而 DO∩DE=D,∴AB⊥平面 ODE. (2)∵BC∥AD,∴∠ADO 是直线 BC,OD 所成的角. 由(1)知,AB⊥平面 ODE,∴AB⊥OE AB⊥DE,∴∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角,∴∠DEO=60°. 设 AB=2,则 AD=2,DE= 3 ,DO=DEsin60°=3/2.连结 AO,则 cos ?ADO ? DO ? 3 , AD 4

∴异面直线 BC,OD 所成的角的余弦值为 3/4. 19.(2014 湖南文)(本小题满分 13 分) 如图,在平面四边形 ABCD 中, DA ? AB , DE ? 1, EC ? 7, EA ? 2,

?ADC ?

2? ? , ?BEC ? . 3 3
(2)求 BE 的长.

(1)求 sin ?CED 的值;

解解: (1)在?CDE中, EC 2 ? CD2 +DE 2 ? 2CD DE cos ?EDC,

即 7 ? CD2 +12 +CD, CD2 +CD ? 6 ? 0, ?CD ? 2 (CD ? ?3舍去).
设?CED ? ? , EC CD 7 2 21 ? ,即 ? , ? sin ? ? . 2? sin ? sin ?D sin ? 7 sin 3
21 2 7 ,? cos ? ? , 7 7

(2)

0<? <

?
3

,sin ? ?

? cos ?AEB ? cos (

2? 2? 2? 7 ? ? ) ? cos cos ? +sin sin ? ? , 3 3 3 14
EA EA 2 , ? BE ? ? ? 4 7. BE cos ?AEB 7 /14

在?ABE中, cos ?AEB ?

20.(2014 湖南文)(本小题满分 13 分) 如图, O 为坐标原点,双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a1 ? 0, b1 ? 0) 和椭圆 a12 b12

C2 :

2 3 y 2 x2 ,1) ,且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个 ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) 均过点 P( 2 3 a2 b2

焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1 , C2 的方程; (2)是否存在直线 l ,使得 l 与 C1 交于 A, B 两点,与 C2 只有一个公共点,且

| OA ? OB |?| AB | ?证明你的结论.
解:(1)设 C2 的焦距为 2c2 ,则 2a1

? 2c2 ? 2 ,∴ a1 ? c2 ? 1. P(

2 3 ,1) 在 C1 上, 3

∴ C1 : (

2 3 2 y2 ) ? 2 ? 1 , b12 ? 3 . 3 b1

由椭圆定义知, 2a2

? (

2 3 2 2 3 2 ) ? (1 ? 1) 2 ? ( ) ? (1 ? 1) 2 ? 2 3 , 3 3
3 3 2

∴ a2

2 2 2 2 2 2 ? a2 ? c2 ? 2 ,∴ C1 , C2 的方程分别为 x2 ? y ? 1, y ? x ? 1. ? 3 , b2

(2)不存在符合题设条件的直线. ①若 l

? x 轴,∵ l 与 C2 只有一个公共点,∴ l 的方程为 x ? 2 或 x ? ? 2 .

当 x ? 2 时,易得 A( 2, 3), B( 2, ? 3) , 此时 | OA ? OB |?|

| OA ? OB |? 2 2, | AB |? 2 3 ,

AB | .

②若 l 不垂直 x 轴,设 l: y ? kx ? m ,代入双曲线方程整理得 (3 ? k 2 ) x2 ? 2k mx ? m2 ? 3 ? 0.

2k m m2 ? 3 于是 , x x ? , 1 2 3? k2 3? k2 3k 2 ? 3m2 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? . k2 ? 3
当 l 与C1 有两个交点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 时, x1 ? x2 ? 再将 y ? kx ? b 代入椭圆方程整理得 (2k 2 ? 3) x2 ? 4k mx ? 2m2 ? 6 ? 0 , ∵ l 与 C2 只有一个公共点,∴由 ? ? 0 ,可得 2k 2 ? m2 ? 3 ,于是有

OA OB ? x1x2 ? y1 y2 ?

m2 ? 3 3k 2 ? 3m2 3k 2 ? 2m2 ? 3 ? k 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 0, k2 ? 3 k2 ? 3 k2 ? 3 k ?3

∴ | OA ? OB |2 ? | AB |2 ?| OA ? OB |2 ? | OB ? OA |2 ? 4OA OB ? 0 ,即 | OA ? OB |?| AB | . 综合①②可知,不存在符合题设条件的直线. 21.(2014 湖南文)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x cos x ? sin x ? 1( x ? 0) .

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)记 xi 为 f ( x ) 的从小到大的第 i(i ? N * ) 个零点,证明:对一切 n ? N * ,有

1 1 ? 2? 2 x1 x2

?

1 2 ? xn 2 3

解: (1) f ?( x) ? cos x ? x sin x ? cos x ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? k? (k ? N * ) . 当 x ? (2k? ,2k? ? ? )(k ? N ) 时, f ?( x) ? 0 , 当 x ? (2k? ? ? ,2k? ? 2? )(k ? N ) 时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x) 的单调减区间为 (2k? ,2k? ? ? )(k ? N ) , f ( x) 的单调增区间为 (2k? ? ? ,2k? ? 2? )(k ? N ) . (2)由(1)知, f ( x) 在区间 (0, ? ) 上单调递减,∵ f ( ? ) ? 0 ,∴ x1 ? ? .

2

2

当 n ? N * 时,∵ f (n? ) f (n? ? ? ) ? [(?1)n n? ? 1] [(?1)n?1 (n ? 1)? ? 1] ? 0 , 且 f ( x) 的图像是连续不断的,∴ f ( x) 在区间 (n? , n? ? ? ) 内至少有一个实根, 又 f ( x) 在区间 (n? , n? ? ? ) 上是单调的,∴ n? ? xn?1 ? n? ? ? .由此可得

1 1 ? 2? 2 x1 x2

?

1 1 1 1 ? 2 [4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 xn ? 2 3
?

?

1 ] (n ? 1)2

1 1 1 1 [4 ? 1 ? ? ? ? ] 2 ? 1? 2 2 ? 3 (n ? 2)(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 [4 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? 2 (4 ? 1 ? 1 ? ) ? 2 2 3 n ? 2 n ?1 ? n ?1 1 1 6 2 ? 2 (6 ? )? ? . ? n ?1 ? 2 3

综上可知,对一切 n ? N * ,都有

1 1 ? 2? 2 x1 x2

?

1 2 ? . xn 2 3


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