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2009-2011年高考数学(理)试题及答案(全国卷1)


2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第错误!未找到引用源。卷(选择题)和第错误!未找到引用源。卷(非选择题) 两部分.第错误!未找到引用源。卷 1 至 2 页,第错误!未找到引用源。卷 3 至 4 页.考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
考生注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

.........

3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么

球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V?

4 3 πR 3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P (k ? 01, ,2, ?,n) n (k ) ? Cn P (1 ? P)

其中 R 表示球的半径

一、选择题
(1)设集合 A={4,5,7,9} ,B={3,4,7,8,9} ,全集 U=A ? B,则集合 [u (A ? B)中的 元素共有 (A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个 (2)已知

Z =2+I,则复数 z= 1+i
(C)3+I (D)3-i

(A)-1+3i (B)1-3i (3) 不等式

X ?1 <1 的解集为 X ?1

(A) {x 0? x?1?

? ? x x? 1?

(B) x 0? x ?1?

?

(C) ?x ?1? x?0?

(D) x x ? 0?

?

(4)设双曲线 率等于 (A) 3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心 2 a b

(B)2 (C) 5

(D) 6

(5) 甲组有 5 名同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各 选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种 (6)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 (A) ?2 (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D) 1 ? 2

? a ? c ? ? ?b ? c ? 的最小值为

(7)已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱与底面边长都相等, A 1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为

(A)

3 5 (B) 4 4

(C)

7 4

(D)

3 4

(8)如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? (A)

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值为 ? 3 ?

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

(9) 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

(10)已知二面角α -l-β 为 600 ,动点 P、Q 分别在面α 、β 内,P 到β 的距离为 3 ,Q 到α 的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为 (A) 2 (B)2 (C) 2 3 (D)4

(11)函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则 (A) f ( x ) 是偶函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2) (B) f ( x ) 是奇函数 (D) f ( x ? 3) 是奇函数

x2 ? y 2 ? 1的又焦点为 F, 右准线为 L, 点 A ? L ,线段 AF 交 C 与点 B。 2 ??? ? ??? ? ??? ? 若 FA ? 3FB ,则 AF =
(12) 已知椭圆 C: (A) 2 (B)2 (C)

3

(D)3

2009 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修 ? 选修Ⅱ)
第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 7 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,

在试题卷上作答无效 . .........
3.本卷共 10 小题,共 90 分. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... (13) ( x ? y)10 的展开式中, x 7 y 3 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于
(14)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n .若 s9 =72,则 a2 ? a4 ? a9 = . .

(15) 直 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 . 若 AB ? AC ? AA 1 ? 2, ∠

BAC = 120? ,则此球的表面积等于
(16)若

. .

?
4

< X<

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan x 的最大值为
3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 在 ? ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且

sin A cosC ? 3 cos A sin C ,求 b.
18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........

如图,四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SD⊥底面 ABCD,AD= 2 ,DC=SD=2. 点 M 在侧棱 SC 上,∠ABM=60 .
0

(Ⅰ)证明:M 是侧棱 SC 的中点; (Ⅱ)求二面角 S—AM—B 的大小。 (19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)

.........

甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设 在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ? 的分布列及数学期望。 (20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

.........

在数列 ?an

? 中,
a

n+1 ? 1? a1= 1’ an+1=?1+ ? a’ + n . 2 ? n?

? ? ? 设 bn= nn ,求数列 ?bn ? 的通项公式; ? ?? ? 求数列 ?an ? 的前 n 项和 sn .
21. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,已知抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r>0) 相交于 A、B、C、D 四个 点。

(I) 求 r 的取值范围: (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线

A、B、C、D 的交点 p 的坐标。

22. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设函数 f ( x) ? x3 ? 3bx2 ? 3cx 有两个极值点 x1,x2 ???1 ,0?,且x2 ??1,2?. (Ⅰ)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b, c)和区域; (Ⅱ)证明: ?10≤f(x2 )≤-

1 2

绝密★启用前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效 。 ......... 3.第 I 卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 球的表面积 公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、 B 相 互独立,那么

S ? 4? R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

V ?

3 ? R3 4

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P (k ? 0,1, 2,…n) n (k ) ? Cn p (1 ? p)

其中 R 表示球的半径

一.选择题 (1)复数

3 ? 2i ? 2 ? 3i

(A) i (B) ?i (C)12-13 i (D) 12+13 i 1.A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析】

3 ? 2i (3 ? 2i)(2 ? 3i) 6 ? 9i ? 4i ? 6 ? ? ?i. 2 ? 3i (2 ? 3i)(2 ? 3i) 13

(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 C. k

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突 出了弦切互化这一转化思想的应用.
? 2 ? 2 ? 2 ? 【解析】 sin 80 ? 1 ? cos 80 ? 1 ? cos ( ?80 ) ? 1 ? k ,所以 tan100? ? ? tan 80

sin 80? 1? k 2 ?? ?? . cos80? k
? y ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域(如右图) ,由图可知,当直线 l 经过点 A(1,-1)时,z 最大,且最 大值为 zmax ? 1 ? 2 ? (?1) ? 3 .

y y?x

x? y ?0

A

l0 : x ? 2 y ? 0
L0

1

O
?2
A

2

x

x? y?2? 0

(4) 已知各项均为正数的等比数列{ an },a1a2a3 =5,a7 a8a9 =10, 则 aaa 4 5 6 = (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识,着重考查了转化与化归的数学思想. 【 解 析 】
3 由 等 比 数 列 的 性 质 知 a1a2a3 ? (a1a3 )? a2 ? a2 ?5 ,
1

3 a7 a8a9 ? (a7 a9 )? a8 ? a8 ? 10,所以 a2 a8 ? 50 3 ,
3 所以 a4a5a6 ? (a4a6 )?a5 ? a5 ? ( a2a8 )3 ? (506 )3 ? 5 2 1

(5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是 展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项 式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力.
【解析】 (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 ? (1 ? 6 x ? 12x ? 8x x )(1 ? 3 x )5



(1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5













x







3 3 0 1? C5 (? 3 x ) ?12 xC5 ? ?10 x ?12x ? ?2x ,所以 x 的系数为-2.

(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门, 若要求两类课程中各至少选一 门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的 数学思想.
1 2 【解析】 :可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C3 C4 1 种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C32C4 种不同的 1 2 2 1 选法.所以不同的选法共有 C3 C4 + C3 C4 ? 18 ? 12 ? 30 种.

(7)正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为 A
2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3

7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法,利用等体积转化求出 D 到平面 AC D1 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想 的具体体现. A1 D 【解析】因为 BB1//DD1,所以 B B1 与平面 O C B D1 B1 C1

AC D1 所成角和 DD1 与 A
1 1

平面 AC D1 所成角 相等, 设 DO ⊥平面 AC D1 ,由等体积法得 VD? ACD ? VD ? ACD ,即
1 1 S?ACD1 ? DO ? S ?ACD ? DD1 .设 DD1=a, 3 3
则 S?ACD1 ?

1 1 1 1 3 3 2 CD ? a 2 . AC ?AD1 sin 60? ? ? ( 2a)2 ? ? a , S ?ACD ? AD ? 2 2 2 2 2 2

S ?A C D ?D D a3 3 1 ? ? a, 记 DD1 与 平 面 AC D1 所 成 角 为 ? , 则 所 以 D O? 2 S ?A C 1D 3 3a

sin ? ?

6 DO 3 ,所以 cos ? ? . ? 3 DD1 3
? 1 2

(8)设 a= log3 2,b=In2,c= 5

,则

A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a 8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数 大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a= log3 2=
1 2

1 1 , b=In2= ,而 log2 3 ? log2 e ? 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5

?

=

1 ,而 5 ? 2 ? log2 4 ? log2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5
2 2
0

( 9)已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠ F 1 p F2 = 60 ,则 P 到 x 轴的距离为

(A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数 学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【 解 析 】 不 妨 设 点 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 的 右 支 , 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得

| PF1 |? e[ x0 ? (?
弦定理得 cos∠ F 1 P F2 =

a2 a2 )] ? a ? ex0 ? 1 ? 2 x0 ,| PF2 |? e[ x0 ? )] ? ex0 ? a ? 2 x0 ? 1 .由余 c c

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 |2 (1 ? 2 x0 )2 ? ( 2 x0 ? 1)2 ? (2 2) 2 0 ,即 cos 60 ? , 2 | PF1 || PF2 | 2(1 ? 2 x0 )( 2 x0 ? 1)

解得 x0 ?
2

5 3 6 2 2 ,所以 y0 ? x0 ? 1 ? ,故 P 到 x 轴的距离为 | y0 |? 2 2 2

(10)已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??)

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在 做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+2b ? a ? A,这也是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? 又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f (a ) ? a ? 为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+

2 ? 2 2 ,从而错选 a

1 2 ,所以 a+2b= a ? a a

2 ,由“对勾”函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ?(0,1)上 a

2 =3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). 1

(11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的 最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

??? ? ??? ?

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求 法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学 A 知识解题的能力及运算能力. 【解析】 如图所示: 设 PA=PB= x ( x ? 0) ,∠APO= ? , O 则∠APB= 2? ,PO= 1 ? x , sin ? ?
2

1 1 ? x2

P

, B

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 2 2 = = = 2 ,令 PA ? PB ? y , PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? x (1 ? 2sin ? ) 2 x ?1 x ?1
则y?

x4 ? x2 2 ,即 x4 ? (1 ? y) x2 ? y ? 0 ,由 x 是实数,所以 x2 ? 1

? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 .
故 ( PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

??? ? ??? ?

2 ?1 .

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体 积的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有

1 1 2 V四面体ABCD ? ? 2 ? ? 2 ? h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ,故 3 2 3

Vmax ?

4 3 . 3

绝密★启用前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请 认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效 。 ......... 3。第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效 )
(13)不等式 2x2 ? 1 ? x ? 1 的解集是

.

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法,利用平方去掉根号是解根式不 等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 解析:原不等式等价于 ?

?2 x 2 ? 1 ? ( x ? 1)2 , ?x ?1 ? 0

解得 0≤x≤2.

(14)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? 14. ?

3 ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4

.

1 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的 7

正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.

k ? 1) ? ? , ? 2( k2? ? 1) k )( ?Z , 又 ) 【 解 析 】 因 为 ? 为 第 三 象 限 的 角 , 所 以 2? ? ( 2( 2
3 ? 4 cos 2 ? ? ? <0, 所以 2? ? ( ? 2(2 k ? 1)? , ? ? 2(2 k ?1) ? )( k ? Z) ,于是有 sin 2? ? , 5 2 5 4 ? 1? tan ? tan 2 ? sin 2? 4 ? 3 ??1. 4 tan 2? ? ? ? ,所以 tan( ? 2? ) ? ? ? 4 cos 2? 3 4 7 1 ? tan tan 2? 1 ? 4 3
(15)直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是
2

.

15.(1, ) 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形 结合的数学思想. 【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a ,观图可知,a 的
2

5 4

?a ? 1 5 ? , 解得 1 ? a ? . 取值必须满足 ? 4a ? 1 4 ?1 ? ? 4
(16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段

1 x?? 2
a

y

x?

1 2

y ? x2 ? x ? a
y=1 x

uu r uur BF 的 延 长 线 交 C 于 点 D , 且 BF ? 2FD , 则 C 的 离 心 率
为 .

O

2 16. 3
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二 定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本 题凸显解析几何的特点: “数研究形,形助数” ,利用几何性 质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图, | BF |? b2 ? c 2 ? a ,

y?

4a ? 1 4

y
B

uu r uur 作 DD1 ? y 轴于点 D1,则由 BF ? 2FD ,得

O D1

F
D

x

3 3 | OF | | BF | 2 ? ? ,所以 | DD1 |? | OF |? c , 2 2 | DD1 | | BD | 3
即 xD ?

3c a 2 3c 3c 2 ,由椭圆的第二定义得 | FD |? e( ? ) ? a ? 2 c 2 2a

又由 | BF |? 2 | FD | ,得 c ? 2a ?
2
2

3c 2 2 2 ,整理得 3c ? 2a ? ac ? 0 . a

2 . 3 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ............
两边都除以 a ,得 3e ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? ?1(舍去),或 e ? 已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a ,b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角

C.
17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的 边角关系,突出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... . 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0. 5, 复审的稿件能通过评审的概率为 0. 3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望. 18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、 分布列、数学期望等知识 ,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思 想、化归与转化思想.
(19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD, AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1, DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面

角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (20 )(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 . 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函 数与方程思想、化归与转化思想. (21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; ( Ⅱ)设 FA?FB ?

??? ? ??? ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直线与圆 的位置关系,直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量 积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力, 同时考查了数形结合思想、设而不求思想.. (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 . 【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础 知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透 了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学

第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)复数
2?i 的共轭复数是 1 ? 2i
(B) i

(A) ? i

3 5

3 5

(C) ?i

(D) i

(2)下列函数中,既是偶函数哦、又在(0, )单调递增的函数是 (A) y ? x2 (B) y ? x ?1 (C) y ? ? x2 ? 1 (D) y ? 2? x

(3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加 各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)
3 4 1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则
cos 2? =

(A) ?
4 5

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的俯视图可以为

(7) 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3
5

(C)2

(D)3

a ?? 1? ? (8) ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x? ?
(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40

(9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 (A)
10 3

(B)4

(C)

16 3

(D)6

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题
? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3? ? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

其中的真命题是 (A) P 1, P 4 (B) P 1, P 3 (C) P2 , P3 (D) P2 , P4

? x ? ? )( ? ? 0,? ? (11 )设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(
且 f (? x) ? f ( x) ,则
? ?? (A) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2? ? ?? (C) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,

? ? 3? (B) f ( x) 在 ? , ?4 4 ? ? 3? (D) f ( x) 在 ? , ?4 4

? ? 单调递减 ? ? ? 单调递增 ?

(12)函数 y ? 之和等于

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有焦点的横坐标 x ?1

(A)2

(B) 4

(C) 6 第Ⅱ卷

(D)8

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题---第 21 题为必考题,每个试题 考生都必须做答。第 22 题—第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

?3 ? 2 x ? y ? 9, (13)若变量 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,
(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 离心率为 为



x 轴上,

2 。过 l 的直线 交于 A, B 两点,且 ? ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程 2



(15) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB ? 6, BC ? 2 3 , 则棱锥 O ? ABCD 的体积为 。 。

(16)在 ? ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . 求数列 ?an ? 的通项公式.
?1? 设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和. ? bn ?

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 (19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量 指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B

配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得 到下面试验结果:

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关 系式为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分 布列及数学期望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质 量指标值落入相应组的概率) (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满 足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (21) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?
x ? 2y ? 3 ? 0 。
a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 ,f ( 1处 ))的切线方程为 x ?1 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?
ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。 已知 AE 的长为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x 2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
??? ? ???? ? M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2
(Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ?

?
3

与 C1 的异

于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题

(1)C (7)B 二、填空题 (13)-6 三、解答题 (17)解:

(2)B (8)D

(3)B (9)C

(4)A (10)A

(5)B (11)A

(6)D (12)D

(14)

x2 y 2 ? ?1 16 8

(15) 8 3

(16) 2 7

2 3 2 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q 2 ? ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4

1 。有条件 9

1 可知 a>0,故 q ? 。 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

(Ⅱ

) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
2n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

(18)解: (Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD

从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD

(Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴 建立空间直角坐标系 D- xyz ,则

A ?1,0,0? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。
??? ? ??? ? ??? ? AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)

?

? ?

?

设平面 PAB 的法向量为 n= (x,y,z) , 则 即
?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3) 设平面 PBC 的法向量为 m,则

??? ? m ? PB ? 0 ??? ? m ? BC ? 0 cos m, n ?
2 7 7
22 ? 8 =0.3 ,所 100

可取 m=(0,-1, ? 3 )

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 (19)解

?

(Ⅰ)由实验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由实验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42

32 ? 10 ? 0.42 ,所以 100

( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

?90,94? , ?94,102? , ?102,110?
的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此 P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解:
???? ( Ⅰ ) 设 M(x,y), 由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA = ( -x,-1-y ) ,
???? ??? ? ???? ???? MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再 由 愿 意 得 知 ( MA + MB ) ?

??? ? AB =0, 即

(-x,-4-2y)?

(x,-2)=0.
1 2 x -2. 4 1 2 1 x -2 上一点,因为 y ' = x,所以 l 的斜 4 2

所以曲线 C 的方程式为 y=

(Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= 率为
1 x 2 0

因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? 则 O 点到 l 的距离 d ?

1 x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2

2 | 2 y0 ? x0 |

x ?4
2 0

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 2 d? ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4
2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

(21)解:

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2

解得 a ? 1 , b ? 1 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

f ( x) ? (

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 。 ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x2 x

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 (i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ? 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 , x2


1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 (ii)设 0<k<1.由于当 x ?(1, )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h’ (x)>0, 1? k 1 1 而 h(1)=0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设 1? k 1? x2

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

矛盾。 (iii)设 k ? 1.此时 h’ (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ?(1,+ ? )时,h(x)>0, 可得
1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] (22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即
AD AE ? .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB AC AB

因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心 为 H,半径为 DH. 由于∠A=900,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(
X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2
1 (12-2)=5. 2

?x ? ? 2 cos ?, ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ? ?2 ?



? x ? 4 cos? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

? x ? 4cos ? 从而 C 2 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

, 。

?
3

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . (24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ?1|? 2 。 由此可得
x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 的

x ? a ? 3x ? 0
此不等式化为不等式组

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ? a 即 ? x? ? ? 4

?x ? a ? a 或? a?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ?
a 由题设可得 ? = ?1 ,故 a ? 2 2

?


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