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对数函数基础运算法则及例题


对数函数的定义: 函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数,定义域为 (0,??) ,值域为 (??,??) . 对数的四则运算法则: 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n

loga M (n ? R) . 1 (4) log a n N ? log a N n
(2) log a 对数函数的图像及性质 a>1
3 3 2.5 2.5

0<a<1

2

2

1.5

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) 值域:R 过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0 性 质

x ? (0,1) 时 y ? 0
x ? (1,??) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是增函数

x ? (0,1) 时

y?0

x ? (1,??) 时 y ? 0
在(0,+∞)上是减函数

例 1.已知 x =

9 时,不等式 4

loga (x2–x– 2)>loga (–x2 +2x + 3)成立,

求使此不等式成立的 x 的取值范围. 解:∵x =
9 9 9 9 9 使原不等式成立. ∴loga[ ( ) 2 ? ? 2 ]>loga [1? ( ) 2 ? 2 ? ? 3) 4 4 4 4 4
13 39 >loga . 16 16

即 loga



13 39 < . 所以 y = logax 为减函数,故 0<a<1. 16 16

? ?x 2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? ?1或x ? 2 ? ? ? 2 ∴原不等式可化为 ?? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ?? 1 ? x ? 3 . ? 2 ? 2 5 x ? x ? 2 ? ?x ? 2x ? 3 ? ?? 1 ? x ? ? 2 ?

故使不等式成立的 x 的取值范围是 (2, 例 2.求证:函数 f (x) = log2 解:设 0<x1<x2<1, 则 f (x2)–f (x1) = log 2 ∵0<x1<x2<1,∴

5 ) 2

x 在(0, 1)上是增函数. 1? x

x2 x x (1 ? x1 ) x 1 ? x1 . = log2 2 ? ? log 2 1 ? log 2 2 x1 1 ? x 2 1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x2 ) x1
x2 1 ? x1 >1, >1. 1 ? x2 x1

则 log2

x 2 1 ? x1 ? >0, x1 1 ? x 2

∴f (x2)>f (x1). 故函数 f (x)在(0, 1)上是增函数
例 3.已知 f (x) = loga (a–ax) (a>1). (1)求 f (x)的定义域和值域; (2)判证并证明 f (x)的单调性. 解: (1)由 a>1,a–ax>0,而 a>ax,则 x<1. 故 f (x)的定义域为( -∞,1), 而 ax<a,可知 0<a–ax<a,又 a>1. 则 loga(a–ax)<lgaa = 1. 取 f (x)<1,故函数 f (x)的值域为(–∞, 1). (2)设 x1>x2>1,又 a>1,∴ a x1 > a x2 ,∴ a ? a x1 <a- a x2 , ∴loga (a– a x1 )<loga (a– a x2 ), 即 f (x1)<f (x2),故 f (x)在(1, +∞)上为减函数.


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