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人教版高一数学必修5 第三章《不等式》2


必修 5 不等式
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
知识点:
? 二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. ? 二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. ? 二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x, y ? ,所有 这样的有序数对 ? x, y ?

构成的集合. ? 在平面直角坐标系中,已知直线 Ax ? By ? C ? 0 ,坐标平面内的点 P ? x0 , y0 ? . ①若 B ? 0 , Ax0 ? By0 ? C ? 0 ,则点 P ? x0 , y0 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0 的上方. ②若 B ? 0 , Ax0 ? By0 ? C ? 0 ,则点 P ? x0 , y0 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0 的下方. ? 在平面直角坐标系中,已知直线 Ax ? By ? C ? 0 . ①若 B ? 0 ,则 Ax ?By ?C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 上方的区域; Ax ? By ? C ? 0 表示 直线 Ax ? By ? C ? 0 下方的区域. ②若 B ? 0 ,则 Ax ? By ?C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 下方的区域; Ax ? By ? C ? 0 表示 直线 Ax ? By ? C ? 0 上方的区域. ? 线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

【同步练习一】

第 1 页 共 9 页

1、不等式 2 x ? y ? 6 ? 0 表示的平面区域在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的( A.上方且包含坐标原点 C.下方且包含坐标原点 2、不在 3x ? 2 y ? 6 表示的平面区域内的点是( A. ? 0, 0 ? B. ?1,1?

)

B.上方且不含坐标原点 D.下方且不含坐标原点 ) C. ? 0, 2 ? ) D. ? 2, 0 ?

3、不等式 x ? 4 y ? 9 ? 0 表示直线 x ? 4 y ? 9 ? 0 ( A.上方的平面区域 C.上方的平面区域(包括直线本身)

B.下方的平面区域 D.下方的平面区域(包括直线本身) ) D. 0 ? a ? 2

4、原点和点 ?1, 1? 在直线 x ? y ? a ? 0 两侧,则 a 的取值范围是( A. a ? 0 或 a ? 2 B. a ? 2 或 a ? 0 C. 0 ? a ? 2

? 4 x ? 3 y ? 12 ? 6、 ? x ? y ? ?1 表示的平面区域内整点的个数是( ?y ? 0 ?
A. 2 个 B. 4 个

)

C. 5 个

D. 8 个

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 7、不等式组 ?3 x ? 5 y ? 25 ,所表示的平面区域图形是( ?x ? 1 ?
A.四边形 C.第一象限内的三角形

)

B.第二象限内的三角形 D.不能确定 )

8、已知点 ? ?3, ?1? 和 ? 4, ?6 ? 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的同侧,则 a 的取值范围是( A. ? ?24,7 ? C. ? ??, ?7? ? ? 24, ??? B. ? ?7, 24? D. ? ??, ?24? ? ? 7, ??? ) D.左下方 )

9、不等式 x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区域在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 的( A.右上方 12、不等式组 ? A.三角形 B.左上方 C.右下方

? ?? x ? y ? 5 ?? x ? y ? ? 0 表示的平面区域是一个( ? ?0 ? x ? 3
B.直角三角形

C.梯形

D.矩形

第 2 页 共 9 页

13、已知点 ? ? x0 , y0 ? 和点 ? ?1, 2 ? 在直线 l : 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的异侧,则( A. 3x0 ? 2 y0 ? 0 B. 3x0 ? 2 y0 ? 0 C. 3x0 ? 2 y0 ? 8

) D. 3x0 ? 2 y0 ? 8

?x ? y ? 5 ? 0 ? 14、已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值是( ?x ? 3 ?
A. 5 B. ? 6 C. 10

)

D. ?10

15、某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价为 60 元、 70 元的样片软件和盒装磁盘,根 据需要软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式共有( A. 5 种 B. 6 种 C. 7 种 ) D. 8 种

16、 设 R 为平面上以 ? ? 4,1? , 则 z ? 4x ? 3 y ? ? ?1, ?6? , C ? ?3, 2? 为顶点的三角形区域(包括边界), 的最大值与最小值分别是( A.最大值 14 ,最小值 ?18 C.最大值 18 ,最小值 14 ) B.最大值 ?14 ,最小值 ?18 D.最大值 18 ,最小值 ?14 )

17、目标函数 z ? 3x ? 2 y ,将其看成直线方程时, z 的意义是( A.该直线的横截距 C.该直线纵截距的一半的相反数 B.该直线的纵截距

D.该直线纵截距的两倍的相反数

?5 x ? 11 y ? ?22 ? 0x 1 0 ?y 18、 某公司招收男职员 x 名, 女职员 y 名, , 则 z ?1 x 和 y 须满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 9 ? 2 x ? 11 ?
的最大值是( A. 80 ) B. 85 C. 90 D. 95

?x ? y ? 2 ? 0 ? 19、在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ,表示的平面区域的面积是( ?x ? 2 ?
A. 4 2 B. 4 C. 2 2 ) D. t ? ?

)

D. 2

20、点 ? ?2, t ? 在直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的上方,则 t 的取值范围是( A. t ?

2 3

B. t ?

2 3

C. t ? ?

2 3

2 3

第 3 页 共 9 页

21、若 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 2 ,且 2 y ? x ? 1 ,则 z ? 2 y ? 2 x ? 4 的最小值是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

)

22、已知非负实数 x , y 满足 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 且 3x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( A.

)

7 3

B.

8 3

C. 2

D. 3

?x ? 2 ? 23、若 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的取值范围是( ?x ? y ? 2 ?
A. ? 2,6? B. ? 2,5? C. ?3,6?

)

D. ? 3,5?

4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元, 24、 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,
那么 2 枝玫瑰的价格与 3 枝康乃馨的价格比较的结果是( A. 2 枝玫瑰价格高 B. 3 枝康乃馨价格高 ) C.价格相同 D.不确定

25、已知点 ? 3,1? 和点 ? ?4,6 ? 在直线 3x ? 2 y ? m ? 0 的两侧,则 m 的取值范围是_____________. 26、 原点在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的①左侧, ②右侧, ③上方, ④下方, 其中正确判断的序号是________. 27、若 0 ? x ? 1 , ?1 ? y ? 2 ,则 z ? x ? 4 y 的最小值是__________________. 28、若 x ? 0 , y ? 0 , 2 x ? 3 y ? 100 , 2 x ? y ? 60 ,则 z ? 6 x ? 4 y 的最大值是________. 29、已知 1 ? a ? 2 , ?1 ? b ? 3 ,则 2a ? b 的取值范围是__________________.

?2 x ? y ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 30、求 z ? 2x ? y 的最大值和最小值,使式中 x 、 y 满足约束条件 ? ,则 z 的最大值是 x ? 4 ? * ? ? x, y ? ?
__________,最小值是____________.

【同步练习二】
1.下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是( A. ? )

? x ? y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? x ? y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

B. ?

? x ? y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? x ? y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

C. ?

D. ?

第 4 页 共 9 页

3.已知点 P ,,P3 ? , 0 ? ,则在 3x ? 2 y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的点是( 0) , P2 (11) 1 (0, A. P 2 1, P B. P 3 1, P C. P 2,P 3 D. P 2

?1 ? ?3 ?

)

0) 与点集 A ? {( x,y) | x ? 2 y ? 1 ? 0,y ? x ? 2, 6.原点 O(0, 2x ? y ? 5 ? 0}所表示的平面区域的
位置关系是

, 与集合 A 的位置关系是 ,点 M (11)



9.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少 180 t 支援物资的任务.该公司有 8 辆载重 6 t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 4 次,

B 型卡车 3 次;每辆卡车每天往返的成本费 A 型为 320 元, B 型为 504 元.请为公司安排一下,应
如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低? 若只安排 A 型或 B 型卡车,所花的成本费分别是多 少?

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10.有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输效果 见表. 方式 轮船运输量∕ t 飞机运输量∕ t

效果 种类 粮食 石油

300

150

250

100

现在要在一天内运输至少 2 000t 粮食和 1 500t 石油,需至少安排多少艘轮船和多少架飞机?

11.用图表示不等式 ( x ? y ? 3)( x ? 2 y ? 1) ? 0 表示的平面区域.

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?x ? 2 y ? 7 ? 0 ? 12.求 z ? x ? y 的最大值和最小值,使式中的 x , y 满足约束条件 ? 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 . ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?
2 2

13.预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子,并希望桌椅的总数尽可能多,但椅子数 不能少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍.问:桌、椅各买多少才合适?

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? ?x ? 2 ? 0 ? 14.画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域,并求出此不等式组的整数解. ? 1 ? y ? x ?1 ? 2

16.给出平面区域如图所示,若使目标函数 z ? ax ? y (a ? 0) 取得 最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为( A. )

1 4

C. 4

3 5 5 D. 3
B. )

17.能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( A. ?

?0 ? y ? 1 ?2 x ? y ? 2 ? 0

B. ?

?y ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0

?0 ? y ? 1 ? C. ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 0 ?

?y ?1 ? D. ? x ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

? x ? 4 y ? ?3, ? 18.已知目标函数 z ? 2 x ? y 中变量 x, y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25, 则( ? x ? 1. ?
A. zmax ? 12,zmin ? 3 C. zmin ? 3 ,无最大值 B. zmax ? 12 ,无最小值 D. z 无最大值,也无最小值

)

19.下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是(
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)

?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? A. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? C. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0

?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? B. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? D. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0
)

21.满足 | x | ? | y |? 2 的整点(横、纵坐标为整数)的个数是( A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

22.不等式 x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的平面区域在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 的( A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方

)

25.△ ABC 中,三个顶点的坐标分别为 A(2, 4) , B(?1, 2) ,C (1, 0) ,点 P( x,y ) 在 △ ABC 内部 及边界运动,则 z ? x ? y 的最大值及最小值分别是 和 .

26. 已知集合 A ? {( x,y) || x | ? | y |? 1} ,B ? {( x,y) | ( y ? x)( y ? x) ? 0} ,M ? A ? B , 则M 的 面积是 .

27.某企业生产 A、B 两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表: 产品品种 A 产品 B 产品 劳动力(个) 3 10 煤(吨) 9 4 电(千瓦) 4 5

已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品的利润是 12 万元,现因条件限制,该 企业仅有劳动力 300 个,煤 360 吨,并且供电局只能供电 200 千瓦,试问该企业生产 A、B 两种产 品各多少吨,才能获得最大利润?

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