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巴蜀中学高2014级11-12学年(下)半期试题——数学理[2] 2


高 2014 级高一(下)半期考试数学(理科)试卷
命题人:冉光晏
一. 选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.直线 x ? y ? 1 ? 0 不可能通过( A.第一象限 B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限 )

审题人:张应

2.设 Z ? {整数} ,则集合 A ? {x ? Z | x2 ? 5

x ? 6} 中的元素个数有( A.5 B.6 C.7 D.8

3.在 ?ABC 中, AB ? c, AC ? b ,若点 D 满足: BD ? DC ,则 AD =(
1 1 A. b ? c 2 2 1 1 B. b ? c 2 2



C. b ? c

2 1 D. b ? c 3 3

4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 0 , S4 ? a4 ,则 A.1 B.2 C.3 )

S8 =( S5



D.4

5.若 a, b ? R ,则“ a ? b ? 2 ”是“ ab ? 1 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件 )

6.已知 ?ABC 的面积 S ? 5 3, AB ? 4 ,最大边 AC ? 5 ,那么 BC 边的长为( A. 3 B.3 C.4 D. 21

7.若直线 x ? by ? 1 ? 0 与 a2 x ? (a2 ? 1) y ? 2 ? 0 互相平行,则 ab 的最小值是( A.1 B.



3

C.2

D.4

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 ( 2b ? c) cos A ? a cosC ,则 角 A 的大小为( A. ) B.

? 6

? 4

C.

? 2

D.

3? 4

a ? b, 9.已知 a ? b ? 2 , 向量 c 满足: 那么 c 的最大值是 ( (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,
A. 2 B. 2 2 C.4 D.8



10.德国数学家在 1937 年提出了一个著名的猜想: “任给一个正整数 n ,若 n 是偶

数,则将它减半(即

n ) ;若 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n ? 1 ) 。不断重复这 2

样的运算,经过有限步后,一定可以得到 1” 。如 6 ? 3 ? 10 ? 5
? 16 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 ,如果对正整数 n (首项) ,按上述规则实施变换(注:1

可以多次出现)后的第八项为 1,那么 n 的所有可能值共有( A.4 个 B.5 个 C.6 个



D.7 个

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.等比数列 {an } 的公比为 q ,若 a2 ? 1 , a1 ? a3 ? ?2 ,则 q ? _______ 12.不等式
x2 ? 4 ? 0 的解集为_______ x ?1

13.设点 P(2, ?1) , 若点 Q 在直线 y ? 2 x 上运动, 则 P, Q 两点间的最短距离为_____ 14.向量 a 与 b 的夹角为 120? ,若 a ? b ? 3 , b ? 1 ,则 a 的值等于_______
3 15. ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知: a cos B ? b cos A ? c ,那 5

么 tan( A ? B) 的最大值是_______ 三.解答题(共 6 个小题,满分 75 分) 16. (13 分)已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2, x) , ? a, b ?? ? ,当 x 取何值时: (1) a ? b ; (2) a ∥ b ; (3) cos ? ? 0 .

17. (13 分)设两点 A(3,1) , B(?1,5) ,直线 l 通过线段 AB 的中点 C . (1)若 l ? AB ,求直线 l 的倾斜角的大小; (2)若 l 的倾斜角 ? 满足 sin ? ?
2 ,求 l 的方程. 5

18. (13 分)已知等差数列 {an } 的公差为 d , a3 ? 5 , a5 ? 9 ,等比数列 {bn } 的公 比为 q , b1 ? 1 , b4 ? 27 ,设 Sn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ...... ? anbn , Tn ? a1b1 ? a2b2 ?

a3b3 ? ...... ? (?1)n?1 anbn (n ? N? ) .
(1)求 S3 和 T3 的值; (2)设 f (n) ? (1 ? q)S2n ? (1 ? q)T2n ,求 f (n) 的表达式.

o s B ? ac o s C b ? c ? 19. (12 分)?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且ac

.

(1)求证: A ?

?
2



(2)设 ?ABC 的外接圆半径为 1, l ? a ? b ? c ,求 l 的范围.

20. (12 分)已知函数 f ( x) ? x x ? 2 , x ? R . (1)求不等式 ?3 ? f ( x) ? 3 的解集; (2)设 f ( x) 在 [0, a ] 上的最大值为 g (a) ,若 g ( a ) ? a ? 围.
1 ,求正实数 a 的取值范 4

21.(12 分)在递增数列 {an } 中, a1 ? 1 , (an ? an?1 ?1)2 ? 4an an?1 . (1)求 an ,并证明:
1 1 1 ? ? ...... ? ? 2 ; a1 a2 an

n n3 ? n 2 (n ? N ? ) ,求证:当 n ? 2 时, b1 ? b2 ? ...... ? bn ? . (2)若 anbn ? 2 8 n ? 6n ? 9


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