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三角函数复习课件(人教A版必修4)


三角函数复习

三角函数复习

三角函数复习 三角函数复习
任意角 的概念 角度制与 弧度制

任意角的 三角函数

三角函数的 图象和性质

三角函数 的应用

弧长与扇形 同角三角函数 面积公式 的基本关系

三角函数的 诱导

公式

计算、化简、 证明恒等式

三角函数复习 三角函数复习
任意角 的概念 角度制与 弧度制

弧长与扇形 面积公式 弧长公式: ? l

? ?r

1 S 扇形面积公式: ? rl 2

角的有关概念

三角函数复习
y

? 的终边
正角 零角
x

1、角的概念的推广

? ? (??,??)
? 的终边
角度与弧度的互化

o

负角

? ?180?

180 1弧度 ? ( )? ? 57.30? ? 57?18, π π 1? ? 180

三角函数复习

典型例题

例1.若α是第三象限的角,问α/2是哪个象限的 角?2α是哪个象限的角?

各个象限的半角范围可以用下图记 忆,图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 一、二、三、四象限角的半角范围;

三角函数复习

例2 : α α 设α 角是第二象限且满足| |? ? cos , cos 2 2 α 则 角属于( C ) A.第-象限; B.第二象限; 2 C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.

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任意角 的概念 角度制与 弧度制

任意角的 三角函数

y r

弧长与扇形 面积公式

o y

y sin ? ? r P(x,y) x cos ? ? r y tan ? ? x x
? 的终边

? 的终边

P

T

正弦线MP
正切线AT

A (1,0) 余弦线OM

o

M

x

三角函数值的符号:“第一象限全为正,二正三切四余弦”

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任意角 的概念 角度制与 弧度制

任意角的 三角函数

弧长与扇形 同角三角函数 面积公式 的基本关系

sin ? ? cos ? ? 1 sin ? tan ? ? cos ? 及这两个公式的 等价变形
2 2

三角函数复习

例3.已知sinα =0.8,求tanα

.

方法指导:此类例题的结果可分为以下二种情况. (1)已知一个角的某三角函数值,又知角所在象限, 有一解. (2)已知一个角的某三角函数值,但不知角所在象限, 有两解.

例4:已知tan? =3,求下列各式的值. sin? -cos? 2 (1) (2)1 ? cos ? cos? +2sin?

三角函数复习 三角函数复习
任意角 的概念 角度制与 弧度制

任意角的 三角函数

弧长与扇形 同角三角函数 面积公式 的基本关系

三角函数的 诱导公式

记忆: 奇变偶不变;

符号看象限。

用诱导公式求值的一般步骤
任 意 负 角 或公式一 任 意 正 的三角函 角 的 三 数 用公式三 角函数 用公式一 0° 到 360° 的角的三角 函数

三角函数复习

用公式二 或四或五

锐角 三角 函数

求 值

可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”

解题分析

三角函数复习

1.在利用诱导公式求三角函数的值时,一定要注意符号 2 .三角变换一般技巧有 ①切化弦, ②降次, ③变角, ④化单一函数, ⑤妙用1, ⑥分子分母同乘除,

方法不当就会很繁,只能通过总结积累解题经验, 选择出最佳方法.

函数
y

三角函数的图象和性质 三角函数复习 y ? cos ? y ? tan ? y ? sin ?
1

图象 定义域 值域

?

y

o?
-1

?

?

2?

1?

?

?

x

o
-1

? ? ? ?

?

y
2?

x

?

?
2

o

? 2

x

? ?1,1?
T ? 2? 奇函数
增区间
? ? ? ? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

R

? ?1,1?
T ? 2?

R

? ? ? x | x ? k? ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

R

周期性
奇偶性 单调性

偶函数
增区间

T ?? 奇函数
增区间 ? ?? ? k? ? , k? ? ? ? 2 2? ?
(k ? Z )

减区间

(k ? Z )

?2k? ? ? , 2k? ?
(k ? Z ) (k ? Z )

减区间

3 ?? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ?2 2 ? ?

? 2k? , ? ? 2k? ?

(k ? Z )

三角函数复习 三、一般函数图象变换
位 移 变 换 上下 平移
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位

y=f(x)+b图象

基 本 变 换 伸 缩 变 换

左右 平移 上下 伸缩 y=f(x) 图 象

向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位

y=f(x+φ) 图 象

点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变

y=Af(x)图象

左右 伸缩

点的横坐标变为原来的1/ω倍 纵坐标不变

y=f(ωx)图象

四、记住下列三角公式:
①两角和与差的正弦、 余弦、正切: sin(α ?β ) ? sinα cosβ ? cosα sinβ cos( ?β ) ? cosα cosβ ? sinα sinβ α tgα ? tgβ t( ?β ) ? α 1 ? tgα tgβ

②二倍角公式: 2tgα sin2 ? 2sinα cosα ; tg 2 ? α α 2 1 ? tg α cos2 ? cos α ? sin α ? 1 ? 2sin α ? 2cos α ? 1 α
2 2 2 2

③降幂公式: 1 ? cos 2 α 1 ? cos 2 α 2 cos α ? ; sin α ? 2 2 ④半角公式:
2

α 1 ? cosα α 1 ? cosα cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cosα sinα 1 ? cosα tg ? ? ? ? 2 1 ? cosα 1 ? cosα sinα ⑤万能公式:

α 2α 2tg 1 ? tg 2 ; cosα ? 2 sinα ? 2α 2α 1 ? tg 1 ? tg 2 2

⑥和差化积与积化和差公式不需记但要会用.

三角解题常规
分析差异
指角的、函数的、运算的差异

宏 观 思 路

寻找联系

利用有关公式,建立差异间关系

促进转化

活用公式,差异转化,矛盾统一

微 观 直 觉

1、以变角为主线,注意配凑和转化; 2、遇见切,想化弦;个别情况弦化切; 3、见和差,想化积;见乘积,化和差; 4、见分式,想通分,使分母最简; 5、见平方想降幂,见“1±cosα”想升幂; 6、见2sinα,想拆成sinα+sinα; sinα+sinβ=p 7、见sinα±cosα或
cosα+cosβ=q

想两边平方或和差化积 8、见asinα+bcosα,想化为

a 2 ? b 2 sin(α ? φ )形式
9、见cosα·cosβ·cosθ····,先 sin 2α 运用cosα ? 若不行,则化和差 2 sinα

三角函数复习 课堂练习 1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)

(C)y=sin(x/2+π/6)

(D)y=tan(x+π/6)

则同时具有以下两个性质的函数是( ①最小正周期是π 称.

A

)

②图象关于点(π/6,0)对

2.关于函数 f(x)=2sin(3x-3π/4) ,有下列 命题: ①其最小正周期是2π/3; ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位 得到; ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4); ④在x∈[π/12,5π/12]上为增函数. ①④ 其中正确的命题的序号是_________

三角函数复习

三角函数复习

3、在 ? 0, 2? ?内使sin x ? cos x成立的 x 取值范围是( C ) ? ? 5? ? ( A)( 4 , 2 ) ? (? , 4 ) ( B)( 4 , ? )

(C )( 4 , ) ( D)( 4 , ? ) ? ( , ) 4、函数 y ? ? x cos x 的部分图象是( )
?
5? 4

?

5? 4

3? 2

D
y y y y

0

x

0

x

0

x

0

x

( A)

( B)

(C )

( D)

三角函数复习

5、关于函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? )( x ? R) 有下列命 3 题: ① y ? f ( x) 的表达式可改写为

?

② y ? f ( x)是以2? 为最小正周期的周期函 数 y ? f ( x) ? ? ? ? ,0 ③

y ? f ( x)

?? ? y ? 4cos ? 2 x ? ? 6? ?

的图象关于点

? ? 6

? ?

x??

?对称
6

的图象关于直线

①③

对称

其中正确的命题序号是。

三角函数复习
6.下列函数中,周期为 2 的偶函数是 (
?

B)

A. y=sin4x B.y=cos4x C.y=tan2x

D.y=cos2x

7.函数f(x)=sinx-cosx的最大值是
A. 2 B. 1 C.
2 2

( )

D

D.

2
)的图象的一条对称轴是直线
C. x= -? D.5?
4

5? 8.函数y=sin(2x+ 2 ( )

B

A. x= -

?

B. x= ?

4

8

2

已知函数 例9:

若弹簧振子对平衡位置的位移 x(cm)与时间t(s)之间的 关系由上述关系式决定,回答下列问题. (1)求小球初始位置;经过多少时间小球往复振动一次? (2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少? (3)求t=1s时弹簧振子对平衡位置的位移(精确到0.001)
解: 在平衡位置以上且距平衡位置 3 (1) 2 经过 ? s小球往复振动一次
3cm

π x = 3sin(2 t + ) 3

三角函数复习 三角函数复习

(2)都是 3cm
(3) 0.283 cm

三角函数复习 三角函数复习
? ? x∈? 0, ? (1)当 ? 12 ?

π 已知函数 f(x) = 3sin(2x + ) 例10: 3 π
sin( π - 2x) 6

时,若3sin(2x +

π )= a 3

,求

π π π 分析: + )+( - 2x) = (2x 3 6 2 由诱导公式有
π π sin( - 2x) = cos(2x + ) 6 3

答:

9 - a2 3

三角函数复习 三角函数复习
已知函数 f(x) = 3sin(2x + ) 例10: (2)用五点法作出函数 在一个周期 内的简图;并指出其减区间,对称轴和对称中心
2x + π 3

π 3 π f(x) = 3sin(2x + ) 3

0
π 6

x y

π 2 π 12

π
π 3
0

3π 2 7π 12


5π 6

0

3

-3

0

π f(x) = 3sin(2x + ) 已知函数 例10: 3 π (2)用五点法作出函数 y = 3sin(2x + ) 在一个周期 3 内的简图;并指出其减区间,对称轴和对称中心
π 2x + 3

三角函数复习 三角函数复习

0
π 6

x y

y π 3 2? π π ? 12 π o 6

π


12

3

7π π 12 3

?

5π 6

3π 2 7π x 12


5π 6

0

-3 3

?

0

-3

0

例2: 已知函数 f(x) = 3sin(2x + π )
y 3
-

三角函数复习 三角函数复习
3 π f(x) = 3sin(2x + ) 3

(2)用五点法作出函数 在一个周期 内的简图;并指出其减区间,对称轴和对称中心
?
7π 12

π ? o π π? 12 3 6

?

5π 6

x
(k∈Z)

-3

?

减区间
π 2x + 3

x y

π = kπ + π (k∈z)3π 对称轴 x 2 12 0 2 2 π π 对称中心 π( kπ - π ,0) (k∈Z)7π 12 2 6 3 6 12

7π ?π ? + kπ, + kπ ? ?12 12 ? ?

π
0


5π 6

0

3

-3

0

已知函数 例10: 的图象?

π π (3)如何将 f(x) = 3sin(2x + ) 的图象 变换到 y = 3sin(2x + ) 3 6

π f(x) = 3sin(2x + ) 3

三角函数复习 三角函数复习

解:3) y = 3sin(2x + ) = 3sin[2(x ( 6
= f(x π ) 12

π

π π )+ ] 12 3

?

π y = 3sin(2x + ) 3

向右移 个单位 y = 3sin(2x + π )
π 12

6

三角函数复习 三角函数复习
已知函数 f(x) = 3sin(2x + π ) 例10:
? π? x∈?0, ? 时, f(x)- k > 0 恒成立,求实数k (4)若 2? ? y

3

的取值范围。 解: 法1:图象法;

3

?
7π 12

π ? o π π? 12 3 6

?

5π 6

x

-3

?

π 已知函数 f(x) = 3sin(2x + ) 例2: 3 π? f(x)- k > 0 恒成立,求实数k (4)若 x∈?0, ? 时, 2? y 的取值范围。 3 ? 解

三角函数复习

法1:图象法;

-

3 3 6- 2

π ?

o

π π? 12 3

π 2

7π 12

?

5π 6

x y=k

-3

?

由图可得 法2:值域法

k <-

3 3 2

? ?

-

3 3 π ≤3sin(2x + )≤3 2 3 3 3 k <2

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任意角 的概念 角度制与 弧度制
任意角的 三角函数

三角函数的 图象和性质

三角函数 的应用

弧长与扇形 同角三角函数 面积公式 的基本关系

三角函数的 诱导公式

计算、化简、 证明恒等式

三角函数复习
课后练习 已知 1. α 为锐角,利用单位圆证明: π 1 (1) < sinα+ cosα< 2 (2)sinα<α<

tanα

2.若 α,β,γ 均为锐角, cosα β= cos(sinβ) , α= γ= sin(cosγ) 试比较 α,β,γ的大小 (利用(1)的结论)


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