koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修1导学案


1.1.1 集合的含义及其表示方法(1)

一、课前预习新知
(一) 、预习目标: 初步理解集合的含义,了解属于关系的意义,知道常用数集及其记法 (二) 、预习内容: 阅读教材填空: 1 、集合:一般地,把一些能够 的全体构成的 (或 ) 。 来表示,它们的元素通常用 (或 对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象 ) 。构成集合的每个对象叫做这个

集合的

2、集合与元素的表示:集合通常用 来表示。 3、元素与集合的关系: 如果 a 是集合 A 的元素,就说 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 4.常用的数集及其记号: (1)自然数集: (2)正整数集: (3)整 数 集: (4)有理数集: (5)实 数 集: ,记作 ,记作 ,记作 ,记作 ,记作 。 。 。 。 。 ,记作 ,记作 ,读作 ,读作

。 。

二、课内探究新知
(一) 、学习目标 1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的―属于‖关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问 题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识. 2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提 高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识. 学习重点:集合的基本概念与表示方法. 学习难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.
1

(二) 、学习过程 1、 核对预习学案中的答案 2、 思考下列问题 ①请我们班的全体女生起立!接下来问:―咱班的所有女生能不能构成一个集合啊?‖ ②下面请班上身高在 1.75 以上的男生起立!他们能不能构成一个集合啊? ③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家 能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义. ④如果用 A 表示高一(3)班全体学生组成的集合,用 a 表示高一(3)班的一位同学,b 是高一(4)班的一位同 学,那么 a、b 与集合 A 分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系? ⑤世界上最高的山能不能构成一个集合? ⑥世界上的高山能不能构成一个集合? ⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质? ⑧由实数 1、2、3、1 组成的集合有几个元素? ⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质? ⑩由实数 1、2、3 组成的集合记为 M,由实数 3、1、2 组成的集合记为 N,这两个集合中的元素相同吗? 这说明集合中的元素具有什么性质?由此类比实数相等,你发现集合有什么结论? 3、集合元素的三要素是 4、例题 例题 1.下列各组对象不能组成集合的是( A.大于 6 的所有整数 C.被 3 除余 2 的所有整数 变式训练 1 1.下列条件能形成集合的是( A.充分小的负数全体 C.中国的富翁 例题 2.下列结论中,不正确的是( A.若 a∈N,则-a ? N C.若 a∈Q,则|a|∈Q ) B.爱好足球的人 D.某公司的全体员工 )
2







)

B.高中数学的所有难题 D.函数 y=

1 图象上所有的点 x

B.若 a∈Z,则 a ∈Z D.若 a∈R,则 3 a ? R )内填“√” ,错误的填“×”

变式训练 2 判断下面说法是否正确、正确的在( (1)所有在 N 中的元素都在 N*中( (2)所有在 N 中的元素都在Z中( ) )

2

(3)所有不在 N*中的数都不在 Z 中( (4)所有不在 Q 中的实数都在 R 中(

) ) )

(5)由既在 R 中又在 N*中的数组成的集合中一定包含数 0( (6)不在 N 中的数不能使方程 4x=8 成立( 5、 课堂小结 三、当堂检测 )

1、你能否确定,你所在班级中,高个子同学构成的集合?并说明理由。 你能否确定,你所在班级中,最高的 3 位同学构成的集合? 2、 用符号 ? 或 ? 填空: (1) -3 (5) 3 N; (2)3.14 Q; (6) ? Q; (3)

1 3

Q; (4)0 N+; (8) ?

Φ; R。

1 2

R; (7)1

课后练习巩固新知

1.下列对象能否组成集合: (1)数组 1、3、5、7; (2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点; (3)满足 3x-2>x+3 的全体实数; (4)所有直角三角形; (5)美国 NBA 的著名篮球明星; (6)所有绝对值等于 6 的数; (7)所有绝对值小于 3 的整数; (8)中国男子足球队中技术很差的队员; (9)参加 2008 年奥运会的中国代表团成员. 2.(口答)说出下面集合中的元素: (1){大于 3 小于 11 的偶数}; (2){平方等于 1 的数}; (3){15 的正约数}. 3.用符号∈或 ? 填空:
3

(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N, 2 ______N; (2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z, 2 ______Z; (3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q, 2 ______Q; (4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R, 2 ______R. 4.判断正误: (1)所有属于 N 的元素都属于 N*. (2)所有属于 N 的元素都属于 Z. (3)所有不属于 N*的数都不属于 Z. (4)所有不属于 Q 的实数都属于 R. (5)不属于 N 的数不能使方程 4x=8 成立. ( ( ( ( ( ) ) ) ) )

1.1.1 集合的含义及其表示方法(2)

课前预习学案
一、预习目标: 1、会用列举法表示简单的结合。2、明确描述法表示集合的 二、预习内容: 阅读教材表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合; (3)由 1~20 以内的所有质数组成的集合

4

课内探究学案
一、 【学习目标】

1、集合和元素的表示法; 2、掌握一些常用的数集及其记法 3、掌握集合两种表示法:列举法、描述法。 学习重难点:集合的两种表示法:列举法和描述法。
二、学习过程 1 、核对预习学案中的答案 2、 列举法的基本格式是 描述法的基本格式是 3、例题 例题 1、..用列举法表示下列集合: (1)、小于 5 的正奇数组成的集合; (2)、能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3)、方程 x2-9=0 的解组成的集合; (4)、{15 以内的质数}; (5)、{x|

6 ∈Z,x∈Z}. 3? x

变式训练 1 用列举法表示下列集合: (1)x2-4 的一次因式组成的集合; (2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}; (3)方程 x2+6x+9=0 的解集; (4){20 以内的质数}; (5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}; (6){大于 0 小于 3 的整数}; (7){x∈R|x2+5x-14=0}; (8){(x,y)|x∈N 且 1≤x<4,y-2x=0}; (9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}. 例题 2.用描述法分别表示下列集合: (1)二次函数 y=x2 图象上的点组成的集合;
5

(2)数轴上离原点的距离大于 6 的点组成的集合; (3)不等式 x-7<3 的解集. 变式训练 2 用描述法表示下列集合: (1)方程 2x+y=5 的解集; (2)小于 10 的所有非负整数的集合; (3)方程 ax+by=0(ab≠0)的解; (4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合; (5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合; (6)方程组 ?

? x ? y ? 1, 的解的集合; ?x - y ? 1

(7){1,3,5,7,…}; (8)x 轴上所有点的集合; (9)非负偶数; (10)能被 3 整除的整数. 三、当堂检测 课本 P5 练习 1、2.

课后练习与提高

1.下列集合表示法正确的是( A.{1,2,2,3} B.{全体实数} C.{有理数}



D.不等式x2-5>0的解集为{x2-5>0} 2.用列举法表示下列集合 ① x ? N * | x 是 15 的约数 .? _______; ②

?

?? x, y ? | x ? ?1, 2?, y ? ?1, 2??; ________________________;
n

③ {x | x ? (?1) , n ? N } ________;

{ ④ 数字和为 5 的两位数} ________;
⑤ ?( x, y)| 3x ? 2 y ? 16, x ? N , y ? N ? ___________________________;
6

3.用列举法和描述法分别表示方程x2-5x+6=0的解集
4.集合{x∈N|-1<x<4}用列举法表示为 .

1.1. 2 集合间的基本关系

课前预习学案
一、预习目标: 初步理解子集的含义,能说明集合的基本关系。 二、预习内容: 阅读教材中的相关内容,并思考回答下例问题: (1)集合 A 是集合 B 的真子集的含义是什么?什么叫空集? (2)集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别? (3)0,{0}与 ? 三者之间有什么关系? (4)包含关系 {a} ? A 与属于关系 a ? A 正义有什么区别?试结合实例作出解释. (5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗? (6)能否说任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ?
7

(7)对于集合 A,B,C,D,如果 A ? B,B ? C,那么集合 A 与 C 有什么关系?

课内探究学案
一、学习目标 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用 venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 学习重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 学习难点:难点是属于关系与包含关系的区别. 二、学习过程 1、 思考下列问题 问题 l:实数有相等.大小关系,如 5=5,5<7,5>3 等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间 有什么关系呢? 问题 2:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗? (1) A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2)设 A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合; (3)设 C ? {x | x是两条边相等的三角形}, D ? {x | x是等腰三角形}; (4) E ? {2, 4,6}, F ? {6, 4, 2} . 问题 3:与实数中的结论“若 a ? b, 且b ? a, 则a ? b ”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 你对上面 3 个问题的结论是

2、例题 例题 1..某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格。若用 A 表示合格产品,B 表示 质量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成立?

A ? B, B ? A, A ? C, C ? A
试用 Venn 图表示这三个集合的关系。.

8

变式训练 1 用适当的符号( ?、 、 、 、 、 )填空: ? ? ? ? ?

①4
1, ③ ? 2?

?0,2,4, 6? ?1,,4? 2 3,

②11
6 ④ ?5,?

?4m ? 3, m ? Z ?
?6?

例题 2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.

变式训练 2 写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 5 课堂小结 三、当堂检测

(1)讨论下列集合的包含关系 ①A={本年天阴的日子},B={本年天下雨的日子}; ②A={-2,-1,0,1,2,3},B={-1,0,1}。 (2)写出集合 A={1,2,3}的所有非空真子集和非空子集

课后练习与提高
“ ? ? ? 连接下列集合对: 1 用 ?、 、 、 ”

①A={宁波人},B={浙江人}; ②A=N,B=R; ③A={1,2,3,4},B={0,1,2,3,4,5}; ④A={本校田径队队员},B={本校长跑队队员}; ⑤A={11 月份的公休日},B={11 月份的星期六或星期天} 2 若 A={ a , b , c },则有几个子集,几个真子集?写出 A 所有的子集。 3 设 A={3 m , m ? Z},B={6 k , k ? Z},则 A、B 之间是什么关系?
9

1.1.3 集合的基本运算(并集、交集)导学案
课前预习学案 一、预习目标:了解交集、并 集的概念及其性质,并会计算一些简单集合的交集并集。 二、预习内容:1、交集:一般地,由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的 作 ,即 2、并集: 一般地,对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做 A,B 的 .记作 ,即 .记

3、用韦恩图表示两个集合的交集与并集。 提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 (一)学习目标: 1、熟练掌握交集、并集的概念及其性质。 2、注意用数轴、韦恩图来解决交集、并集问题。
10

3、体会数学语言的简洁性与明确性,发展运用数学语言交流问题的能力。 学习重难点:会求两个集合的交集与并集。 (二)自主学习 1.设 A={x|x 是等腰三角形} ,B={x|x 是直角三角形} ,求 A∩B. 2.设 A={x|x 是锐角三角形} ,B={x|x 是钝角三角形} ,求 A∪B.
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

(三)合作探究:思考交集与并集的性质有哪些?

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(四) 精讲精练 例 1、已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N 为( A.x=3,y=-1 C.{3,-1} B.(3,-1)? D.{(3,-1)} )?

变式训练 1:已知集合 M={x|x+y=2},N={y|y= x2},那么 M∩N 为

例 2.设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3} ,求 A∪B.

变式训练 2:已知 A={x|x2-px+15=0},B={x|x2-ax-b=0},且 A∪B={2,3,5},A∩B={3},求 p,a,b 的值。

三、课后练习与提高 1、选择题
11

(1)设M={0,1,2,4,5,7} ,N={1,4,6,8,9} ,P={4,7,9} ,则(M ∩N)∪(M∩P)=( A. {1,4} ) C. {4,7} D. {1,4,7}

B. {1,7}

(2)已知A={y|y=x2-4x+3,x∈R} ,B={y|y=x-1,x∈R} ,则A∩B= ( ) A. {y|y=-1或0} C.(0,-1)(1,0) { , } B. {x|x=0或1} D. {y|y≥-1 } )

(3) 已知集合M= {x|x- a =0} N= , {x| a x-1=0} 若M∩N=M, , 则实数 a = ( A.1 2、填空题 B.-1 C.1或-1 D.1或-1或0

(4) .若集合A、 B满足A∪B=A∩B, 则集合A, B的关系是_________________________________. (5) A ? { y | y ? x ? 2 x ? 3, x ? R} ,B ? { y | y ? ? x ? 2 x ? 13, x ? R} ,则 A ? B =________。 设
2 2

3、解答题 (6).已知关于 x 的方程 3x2+px-7=0 的解集为 A,方程 3x2-7x+q=0 的解集为 B,若 A∩B={- 求 A∪B.

1 }, 3

参考答案 ⒈D[解析]由条件知,M∩N={1,4} ,M∩P={4,7} ,故选D ⒉D[解析]集合A中y=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,集合B中y=x-1∈R, ∴A ? B,∴A∩B=A.故选D.
?

12

1.1.3 集合的基本运算(全集、补集)导学案

课前预习学案 一、预习目标:了解全集、补集的概念及其性质,并会计算一些简单集合的 补集。 二、预习内容: ⒈如果所要研究的集合________________________________,那 么称这个给定的集合为全集,记作 _____. ⒉如果 A 是全集 U 的一个子集,由_______________________________构成的集合,叫做A在U中的 补集,记作________,读作_________. ⒊A∪CUA=_______,A∩CUA=________,CU(CUA)=_______ 三.提出疑惑
13

同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

[来源:学+科+网]

课内探究学案 一、学习目标: 1、了解全集的意义,理解补集的概念 . 2、能用韦恩图表达集合的关系及运算 ,体会直观图示对理解抽象概念的作用 3、进一步体会数学语言的简洁性与明确性,发展运用数学语言交流问题的能力。 学习重难点:会求两个集合的交集与并集。 二、自主学习 ⒈设全集U={0,1,2,3,4} ,集合A={0,1,2,3} ,集合B={2,3,4} ,则 (CUA )∪(CUB)=( A. {0} B. {0,1} ) C. {0,1,4} D. {0,1,2,3,4}

⒉已知集合I={0,-1,-2,-3,-4},集合M={0,-1,-2},N={0,-3, -4},则M∩(CIN)=( A. {0} ) D. ?

B. {-3,-4} C. {-1,-2}

⒊已知全集 为U,M、N是U的非空子集,若M ? N,则CUM与CUN的关系是 _____________________.

三、合作探究:思考全集与补集的性质有哪些?

四、精讲精练 例⒈设U={2,4,3- a 2},P={2, a 2+2- a } ,CUP={-1} ,求 a . 解:

14

变式训练一:已知A={0,2,4,6} ,CSA={-1,-3,1,3} ,CSB={-1,0, 2} ,用列举法写出集合B. 解:

[来源:Z。xx。k.Com]

例⒉设全集U=R,A={x|3m-1<x<2m} ,B={x|-1< x<3} ,B ? CUA,求 ? m的取值范围. 解:
[来源:Zxxk.Com]

变式训练二:设全集U={1,2,3,4} ,且A={x|x2-mx+n=0,x∈U} ,若CUA ={2,3} ,求m,n的值.

三、课后练习与提高 1、选择题 (1)已知CZA={x∈Z|x>5} ZB={x∈Z|x>2} ,C ,则有( A.A ? B B.B ? A C.A=B D.以上都不对 ) )

(2)设 U ? R , A ? {x | x ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? 5} ,则 (CU A) ? B =( A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 1 ? x ? 5}

15

C. {x | 0 ? x ? 1}

D. {x | 1 ? x ? 5} )

(3) 设全集U= {2, a 2+2 a -3}A= 3, , {| a +1|, , UA= 2}C {5}则 a 的值为 , ( A.2或-4 2、填空题 B.2 C.-3或1 D.4

(4) 设U=R, { x | a ? x ? b } CUA= A= , {x|x>4或x<3} 则 a =________, =_________. , b (5 )设U=R ,A={x|x 2 -x -2=0}, B={x| |x |= y+1,y∈ A} ,则C U B= ______________. 3、解答题 (6)已知全集S={不大于 20 的质数} ,A、B是S的两个子集,且满足A∩(CSB)={3,5} , (CSA)∩B={7, 19}(CSA)∩(CSB)={2,17} , ,求集合A和集合B.

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

16

1.2.1 函数的概念导学案

课前预习学案 一、预习目标:了解函数的概念,并会计算一些简单函数的定义域。 二、预习内容 : ⒈在一个变化的过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相应地 _____________________________,那么我们称__________的函数,其中x是_________,y 是________. ⒉记集合 A 是一个______________, A 内_________x, 对 按照确定的法则f, 都有_________________ 与它对应,则这种对应关 系叫做____________________,记作_________________,其中x叫做_______, 数集A叫做________________________ ______. ⒊如果自变量取值 a ,则由法则f确定的值y称为_________________________,记作________或 ______,所有函数值构成的集合_____________________,叫做_________________. 四.提出疑惑 同学们,通过你的自 主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

17

课内探究学案 (一)学习目标: 1、通过丰富的实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 2、学习用集合语言刻画函数 3、理解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域 并能够正确使用―区间‖的符号表示某些函数的 定义域。 4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。 学习重难点:体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,正确 理解函数的概念 (二)合作探究: 1.用集合语言刻画函数关键词语有哪些?

2.明确函数的三要素:定义域、值域、解析式

(三)精讲精练 例 1:求函数y= 2 x ? 3 ? 解:

1 2? x

?

1 的定义域。 x

变式训练一:求函数y= 解:

x?2 的定义域; x2 ? 4

18

例⒉求函数f(x)= 解:
[来源:学科网 ZXXK]

1 ,x∈R,在x=0,1,2处的函数值和值域. x ?1
2

变式训练二:已知A={1,2,3,k} ,B={4,7, a 4 , a 2+3 a } a ∈N+,k∈N+,x , ∈A,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B上的一个函数, 求 a ,k,A,B. 解:

课后练习与提高 一、选择题 ⒈函数 y ?

( x ? 1) 0 | x | ?x

的定义域是(



A.{ x | 0 ? x ? 1 } B.{ x | x ? 0 }

C.{ x | x ? ?1或x ? ?1 } D.{ x | x ? ?1, x ? 0 } )
[来源:Zxxk.Com]

⒉已知函数f(x)=x+1,其定义域为{-1,0,1,2} ,则函数的值域为( A. [0,3] B. {0,3} C. {0,1,2,3} D. {y|y≥0} ) D.5

⒊已知f(x)=x2+1,则f[f(-1)]的值等于( A.2 二、填空题 4.函数 y ? B.3 C.4

x ? 2 ? 2 ? x 的定义域是_______________________
19

5.已知f(x)=2x+3,则f(1)=_________________,f(a)=______________, f[f(a)]=______________________. 三、解答题 6. 用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面 积y与x的函数关系式,并指出其定义域.

1.2.1 第二课时

函数的概念 函数概念的应用

课前预习学案

一 、预习目标 1.通过预习熟知函数的概念 2.了解函数定义域及值域的概念
20

二 、预习内容
1.函数的概念:设 A、B 是__________,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的_______ 数 x, 在集合 B 中都有__________的数 f(x)和它对应, 那么就称_______为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记 作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的_______;与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值,函数值的集合_________叫做函数的值域.值域是集合 B 的______。 注意:①如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有 意义的实数的集合;② 函数的定义域、值域要写成_________的形式. 定义域补充:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的 主要依据是: (1)分式的分母________; (2)偶次方根的被开方数_________; (3)对数式的真数_______; (4)指数、 对数式的底_________. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义 域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以_______ (6)实际问题中的函数的定义 域还要保证实际问题有意义. 2. 构成函数的三要素:_______、_________和__________
高.考.资.源.

注意: (1)函数三个要素中.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的_______和 _________完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和 对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值 的字母无关。

相同函数的判断方法:①_______ _____________;②______________________(两点必须同时具备)
3. 函数图象的画法 ① 描点法:②图象变换法:常用变换方法有三种,即平移变换、__________和___________ 4.区间的概念(1)区间的分类:________、_________、_________; 说明:实数集可以表示成(–∞,+∞)不可以表示成[–∞,+∞]--------切记高.考.资.源. 5.什么叫做映射:一般地,设 A、B 是两个____的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的________元素 x,在集合 B 中都有_________的元素 y 与之对应,那么就称对应_________为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应
高.考.资.源.

①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的②对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与 从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有____与之对应(Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是____; (Ⅲ)不要 求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有对应的元素。 6.函数最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:
高.考.资.源.

(1)__________________________________(2)________________________________
21

那么我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值; 函数最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)__________________________________ (2)__________________________________ 那么我们称 M 是函数 y=f(x)的最小值 7:分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的 表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应把几种不同的表达式用一个左大括号括起来, 并分别注明各部分的自变量的取值情况. 说明: (1) 分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个函数; (2)
分段函数的定义域是各段定义域的___ _,值域是各段值域的_____.

三、提出疑惑

[来源:Z.xx.k.Com]

同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1.进一步加深对函数概念的理解,掌握同一函数的标准; 2.了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域. 学习重点 能熟练求解常见函数的定义域和值域. 学习难点 对同一函数标准的理解,尤其对函数的对 应法则相同的理解. 二 、学习过程 创设情境 下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数?为什么? (1)f(x)= (x-1) 0;g(x)=1 ; (3)f(x)=x 2;g(x)=(x + 1) 2 ; 讲解新课
22

(2) f(x)=x;g(x)= x2;


(4) f(x) =|x|;g( x)= x2.

总结同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同 例 1 求下列函数的定义域: (1) y ? x ? 1 ? x ? 1 ; (2) y ?
1
3

x ?3
2

? 5 ? x2 ;

变式练习 1 求下列函数的定义域: (1) y ?

( x ? 1) 0 | x | ?x

; (2) y ? 2 x ? 3 ?

1 2?x

?

1 . x

[来源:学科网 ZXXK]

若 A 是函数 y ? f (x) 的定义域,则对于 A 中的每一个 x,在集合 B 都有一个值输出值 y 与之对应.我 们将所有的输出值 y 组成的集合称为函数的值域.

A

B
f

x

C
f ( x)

因此我们可以知道:对于函数 f:A B 当成是函数的值域.

B 而言,如果如果值域是 C,那么 C ? B ,因此不能将集合

我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素.如果函数的对应法则与定义域都确定了, 那么函数的值域也就确定了. 例 2.求下列两个函数的定义域与值域: (1)f (x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};
23

(2)f (x)=( x-1)2+1.

变式练习 2 求下列函数的值域: (1) y ? x 2 ? 4 x ? 6 , x ? [1 , 5) ; (2) y ?
3x ? 1 ; x ?1

三 、 当堂检测 求下列函数的值域: ①y?
2x ? 1 ;② y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 , x ? (?1 ,6].③ y ? 3? | 2 x ? 1 | . x ?1
[来源:Zxxk.Com]

课后练习与提高 1.函数 f ( x) ? A. 3

cx 3 , ( x ? ? ) 满足 f [ f ( x)] ? x, 则常数 c 等于( 2x ? 3 2



B. ? 3 C. 3或 ? 3 D. 5或 ? 3 x ? 1( x ≤1) 5 2.设 f (x) 3 ? x( x >1) , 则 f ( f ( )) 的值为( ? 2 1 3 5 9 A. ? B. C. D. 2 2 2 2



3.已知函数 y f( ?) 的定义域是( 2 3 ? x 1定义域是 [? , ],则 y f( x 1 ? 2 ?) A. [ 0 ,



5 ] 2

B. [? , ] 1 4
2

C. [?5 5 ,] )

D. [? , ] 3 7

4.函数 y ? 2 ? ? x ? 4 x 的值域是( A. [?2, 2] B. [1, 2]
5 3

C. [0, 2]

D. [ ? 2, 2]

5.已知 f(x)=x +ax +bx-8,f(-2)=10,则 f(2)=____.
24

6.若函数 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) =
2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1.2.2 第一课时

函数的表示方法 函数的几种表示方法

一 、 预习目标 通过预习理解函数的表示 二 、预习内容
与对应 为横坐标,对应的 的表来表示 为纵坐标的点 的方法叫做列表法 的集合,叫做函数 y=f(x)

1.列表法:通过列出 2.图象法:以

的图象,这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法. 3.解析法(公式法) :用 析法,也称公式法。 4.分段函数:在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着 函数通常叫做 。
25

来表达函数 y=f(x) ? A)中的 f(x) (x ,这种表达函数的方法叫解

,这样的

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑 惑内容

课内探究学案 一 、学习目标

1.掌握函数的三种主要表示方法 2.能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3.会画简单函数的图像 学习重难点:图像法、列表法、解析法表示函数 二 、 学习过程 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种. ?解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称 解析式. 例如,s=60 t ,A= ? r ,S=2 ?rl ,y=a x +bx+c(a ? 0),y=
2

2

2

x ? 2 (x ? 2)等等都是用解析 式表示函数关

系的. 优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应 的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ?列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如,学生的身高 学号 身高 1 125 2 135 3 140 4 156 5 138 6 172 单位:厘米 7 167 8 158 9 169
源:Zxxk.Com] [来

数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表,银行里的利息表,列车时 刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表 优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ?图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如,气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线,课本中我国人
B D C

26
A

口出生率变化的曲线,工厂的生产图象,股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图象 来研究函数的某些性质. 三、例题讲 解 例 1 某种笔记本每个 5 元,买 x ? {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为 y(元) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像
王新敞
奎屯 新疆

变式练习 1 设 f ( x ? x ?1 ) ? x 3 ? x ?3 , g ( x ? x ?1 ) ? x 2 ? x ?2 求 f[g(x)]。
1 例 2 作出函数 :y=∣x∣ 的图象 x y ? x?

变式练习 2 画出函数 y=∣x-2∣与函数 y ? x ? 2 x ? 3 的图象
2



、当堂检测 课后练习与提高

1.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x)(实线表示),另一种是平均价格曲 线 y=g(x)(虚线表示) 如 f(2)=3 是指开始买卖后两个小时的即时价格为 3 元;g(2)=3 表示两个小时内的平 〔 均价格为 3 元〕,下图给出的四个图象中,其中可能正确的是( )

2.函数 f(x+1)为偶函数,且 x<1 时,f(x)=x2+1,则 x>1 时,f(x)的解析式为( A.f(x)=x2-4x+4 C.f(x)=x2-4x-5

)

B.f(x)=x2-4x+5 D.f(x)=x2+4x+5
27

3.函数 f ( x) ?

x x · (a ? 1) 的图象的大致形状是( a |x|

)

4 .如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点 P 所旋转过的 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是( )

5.用一根长为 12m 的铝合金条做成一个―目‖字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充 足,则框架的长与宽应分别为_________. 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f[f(x)-x2+x]=f(x)-x2+x. (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析表达式.

解答: 1 解析:解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应,因此可以得到正确选项为 C. 答案:C 2 解析:因为 f(x+1)为偶函数, 所以 f(-x+1)=f(x+1),即 f(x)=f(2-x). 答案:B 3 解析:该函数为一个分段函数,即为 f ( x ) ?
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

当 x>1 时,2-x<1,此时,f(2-x)=(2-x)2+1,即 f(x)=x2-4x+5.

?a x , x ? 0, x x ? a ( a ? 1) ? ? x 当 x>0 时函数 f(x)=ax 的图象 |x| ?? a , x ? 0, ?
28

单调递增;当 x<0 时,函数 f( x)=-ax 的图象单调递减.故选 B.

答案:B 4 解析:函数在[0,π]上的解析式为

d ? 12 ? 12 ? 2 ? 1 ? 1 ? cos l ? 2 ? 2 cos l ? 4 sin 2
在[π,2π]上的解析式为 d ?

l l ? 2 sin . 2 2

2 ? 2 cos(2? ? l ) ? 2 sin
l ,l∈[0,2π]. 2

l , 2

故函数 d=f(l)的解析式为 d ? 2 sin 答案:C

5 解析:由题意可知,即是求窗户面积最大时的长与宽,设长为 xm,则宽为( 3 ? ∴ S ? x(3 ?

1 x )m, 2

9 1 1 x) ? ? x 2 ? 3x(0 ? x ? 6), 解得当 x=3 时 , S max ? .∴长为 3m,宽为 1.5m. 2 2 2

答案:3m,1.5m

1.2.2 函数的表示方法 第二课时
一 、预习目标 通过预习理解分段函数并能解决一些简单问题 二、预习内容
在同一直角坐标系中:做出函数 y ? 2 x ? 1( x ? (1,??)) 的图象和函数 y ? ? x ? 4( x ? ?? ?,1?) 的图象。
2

分段函数

思考:问题 1、所作出 R 上的图形是否可以作为某个函数的图象? 问题 2、是什么样的函数的图象?和以前见到的图像有何异同? 问题 3、如何表示这样的函数?
29

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一 、学习目标
[来源:Zxxk.Com]

1.根据要求求函数的解析式

2.了解分段函数及其简单应用 3.理解分段函数是一个函数,而不 是几个函数 学习重难点:函数解析式的求法 二 、 学习过程 1 、分段函数 由实际生活中,上海至港、澳、台地区信函部分资费表 重量级别 20 克及 20 克以内 20 克以上至 100 克 100 克以上至 250 克 250 克以上至 5 00 克 资费(元 )

1.50 4.00 8.50 16.70

[来源:Z_xx_k.Com]

引出问题:若设信函的重量 x (克)应支付的资费为 y 元,能否建立函数 y ? f (x) 的解析式?导出分 段函数的概念。 通过分析课本第 46 页的例 4、例 5 进一 步 巩固分段函数概念,明确建立分段函数解析式的一般步骤, 学会分段函数图象的作法 可选例:1、动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始运动,沿正方形 ABCD 的运动路程为自变量 x ,写出 P 点与 A 点距离 y 与 x 的函数关系式。
30

2、在矩形 ABCD 中,AB=4m,BC=6m,动点 P 以每秒 1m 的速度,从 A 点出发,沿着矩形的 边按 A→D→C→B 的顺序运动到 B,设点 P 从点 A 处出发经过 t 秒后,所构成的△ABP 面积为 S m2,求 函数 S ? f (t ) 的解析式。 3、以小组为单位构造一个分段函数,并画出该函数的图象。 2、典题 例 1 国内投寄信函 (外埠) 每封信函不超过 20g 付邮资 80 分, , 超过 20g 而不超过 40g 付邮资 160 分, 依次类推,每封 x g(0<x ? 100)的信函应付邮资为(单位:分) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式, 并画出这个函数的图像
王新敞
奎屯 新疆

变式练习 1 作函数 y=|x-2|(x+1)的图像

例 2 画出函数 y=|x|的图象.

x ? 0, ?x y ? x ?1 ? x ? 2 ? 变式练习 2 作出分段函数 的图像 x ? 0. ?? x

变式练习 3. 作出函数 y ?| x ? 2 x ? 3 | 的 函数图像
2

31

三 、 当堂检测 课后练习与提高 1.定义运算 ? : a ? b = ? ( ) B. [?

?a, a ≤b, 设 F(x)=f(x) ? g(x),若 f(x)=sinx,g(x)=cosx,x∈R,则 F(x)的值域为 ?b, a > b.

A.[-1,1]

2 ,1] 2

C. [?1,

2 ] 2

D. [ ?1,?

2 ] 2
) D.2

2.已知 f ( x ) ? ? A.-2

?cos?x, x ? 0, 4 4 则 f ( ) ? f (? ) 的值为( 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0,
B.-1
2 ? ?sin(?x ), ?1 ? x ? 0,

C.1

3.设函数 f ( x) ? ?

?e x ?1 , x ? 0, ?

若 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能的值是__________.

4.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面 上标 12 的点 B 重合.将 A、B 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,则 d=________,其中 t∈[0,60]. 5.对定义域分别是 Df、Dg 的函数 y=f(x)、y=g(x),规定:函数 h(x)=

? f ( x) ? g ( x), x ? D f 且x ? D g , ? x ? D f 且x ? D g , . ? f ( x), ? g ( x), x ? D f 且x ? D g . ?
(1)若函数 f ( x) ?

1 ,g(x)=x2,写出函数 h(x)的解析式; x ?1

(2)求(1)中函数 h(x)的值域; (3)若 g(x)=f(x+α),其中 α 是常数,且 α∈[0,π],请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x)及一个 α 的值, 使得 h(x)=cos4x,并予以证明. 解答 1 解析:由已知得 F ( x) ? sin x ? cos x ? ?

?sin x, sin x ? cos x, ?cos x, sin x ? cos x,

即 F(x)=

3? ? ? ?sin x, x ? [? 4 ? 2k? , 4 ? 2k? ], ? k?Z ? ?cos x, x ? [ ? ? 2k? , 5? ? 2k? ], ? 4 4 ?
F(x)=sinx,

32

当 x ? [?

2 3? ? ]; ? 2k? , ? 2k? ] ,k ? Z 时,F(x)∈[-1, 2 4 4

F(x)=cosx,当 x ? ( 答案:C

?
4

? 2k? ,

2 5? ),故选 C. ? 2k? ) ,k∈Z 时,F(x)∈(-1, 2 4

3

解析:由已知可得,①当 a≥0 时,有 e0+ea-1 =1+ea-1 =2,∴ea-1 =1.∴a-1=0.∴a=1.②当-1<a<0 时,有

1+sin(a2π)=2,∴sin(a2π)=1. ∴ a ? 2k ?
2

1 (k ? Z ) . 2

又-1<a<0,∴0<a2<1, ∴当 k=0 时,有 a ?
2

2 1 ,∴ a ? ? . 2 2

综上可知,a=1 或 ?

2 . 2

答案:1 或 ? 4

2 2

解析 :由题意,得当时间经过 t(s)时,秒针转过的角度的绝对值是

时, ?AOB ?

?t

30 ?t ?t , ? 50(1 ? cos ) ? 100 sin 2 30 60 ?t ; 当 t∈(30,60) 时 , 在 △ AOB d ? 10 sin 60

,由余弦定理,得 d ? 5 ? 5 ? 2 ? 5 ? 5 cos
2 2 2

?t
30

2? ?t t? 弧度,因此当 t∈(0,30) 60 30

中 , ?AOB ? 2? ?

?t
30

, 由 余 弦 定 理 , 得

33

30 ?t 60 时,相应的 d(cm)与 t(s)间的关系仍满足 d ? 10 sin . 60 ?t 综上所述, d ? 10 sin ,其中 t∈[0,60]. 60 ?t 答案: 10 sin 60
? x2 , x ? (??,1) ? (1,??), ? 5 解:(1) h( x) ? ? x ? 1 ?1, x ? 1. ?
(2)当 x≠1 时, h( x) ?

d 2 ? 5 2 ? 5 2 ? 2 ? 5 ? 5 cos(2? ?

?t
30

) ? 50(1 ? cos

?t

) ? 100 sin 2

?t
60

, d ? 10 sin

?t
60

,且当 t=0 或 30 或

x2 1 ? x ?1? ? 2, x ?1 x ?1

若 x>1,则 h(x)≥4,当 x=2 时等号成立; 若 x<1,则 h(x)≤0,当 x=0 时等号成立. ∴函数 h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞). (3)解法一:令 f(x)=sin2x+cos2x, ? ? 则 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? sin 2( x ? 于是 h(x)=f(x)·f(x+α) =(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x. 解法二:令 f ( x) ? 1 ?

?
4

,

?
4

) ? cos 2( x ?

?
4

) =cos2x-sin2x,

2 sin 2 x , ? ?

?
2

,

则 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? 1 ? 2 sin 2( x ?

?
2

) ? 1 ? 2 sin 2 x ,

于是 h(x)=f(x)·f(x+α)=( 1? 2 sin 2 x )( 1? 2 sin 2 x ) =1-2sin22x=cos4x.

1.3.1 函数的单调性与最大(小)值(1)
课前预习学案
一、预习目标: 1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; 2.熟记函数单调性的定义 二、预习内容: 1. 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
34

y 1 -1 -1 1 x -1

y 1 1 -1 x -1

y 1 1 -1 x

1 ○ 随 x 的增大,y 的值有什么变化? 2 ○ 能否看出函数的最大、最小值? 3 ○ 函数图象是否具有某种对称性?

y 1 -1 -1 1 x

2.画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f(x) = x
1 ○ 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 ○ 在区间 ____________ 上,随着 x 的增

y 1 -1 -1 y 1 -1 -1 1 x 1 x

大,f(x)的值随着 ________ . (2)f(x) = -x+2
1 ○ 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 ○ 在区间 ____________ 上,随着 x 的增

大,f(x)的值随着 ________ . (3)f(x) = x2
1 ○在区间 ____________ 上,

f(x)的值随着 x 的增大而 _____ ___ .
2 ○ 在区间 ____________ 上,f(x)的值随

着 x 的增大而 ________ . 3.一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2, (1)当 x1<x2 时,都有 f(x1) (2)当 x1<x2 时,都有 f(x1) 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习 ,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是 f(x2 ),那么就说 f(x)在区间 D 上是 函数 函数

35

课内探究学案
一、学习目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.

学习重点:函数的单调性及其几何意义.
学习难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 二、学习过程 例 1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单 调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

解:

变 式训练 1 A.减函数

函数 f ( x) ? 2 x 在 x ? [?1,2] 上的单调性为 B.增函数. C.先增后减.





D.先减后增

例 2 物理学中的玻意耳定律 P=

k (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积 V 减少时, V
36

压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。 证明:

变式训练 2

若函数 y ? mx ? b 在 (??,??) 上是增函数,那么 ( B. b<0 C.m>0 D.m<0



A.b>0

例 3.证明函数 y ? x ? 解:

1 在(1,+∞)上为增函数 x

变式训练 3.:画出反比例函数 y ?

1 的图象. x

1 ○ 这个函数的定义域是什么? 2 ○ 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论.

三、当堂检测 1、函数 y ? ? x 的单调增区间为
2

( C. (??,??) D. (?1,??)



A. (??,0]

B. [0,?? )
2

2、函数 f ( x) ? 2 x ? mx ? 3 ,当 x ? [?2,??) 时是增函数,当 x ? (??,?2] 时是减函数,则 f (1) 等 于 A.-3 B.13 C.7 ( D.由 m 而定的常数 ( ) )

3、若函数 f ( x) ? A. k ? 0

k?x 在 (??,0) 上是减函数,则 k 的取值范围是 x
C. k ? 0 D. k ? 0
[来源:Z&xx&k.Com]

B. k ? 0

4、函数 f ( x) ?| x | 的减区间是____________________.

37

5、若函数 f ( x) ? (2m ? 1) x ? n 在 (??,??) 上是减函数,则 m 的取值范围是______.

课后练习与提高
一、 选择题 1、下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 A. y ? ?3x ? 1 2、函数 y ? A. (??,?3] B. y ? 3 x C. y ? x ? 4 x ? 3
2

( D. y ? ( D. [1,??)



4 x


x 2 ? 2 x ? 3 的单调减区间是
B. [?1,??) C. (??,?1]

二、填空题: 3、函数 f ( x) ? 3x ? 6 x ? 1 , x ? (3,4) 上的单调性是_____________________.
2

4、已知函数 y ? 8 x ? ax ? 5 在 [1,??) 上递增,那么 a 的取值范围是________.
2

[来源:学.科.网]

三、解答题: 5、设函数 f (x) 为 R 上的增函数,令 F ( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) (1) 、求证: F (x) 在 R 上为增函数 (2) 、若 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ,求证 x1 ? x 2 ? 2

参考答案
例一 略 变式训练一 B 例二 略 变式训练二 C 例三 解:设 x1 ? x2 ? ? 0,1? 则

38

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?

1 1 ? x2 ? x1 x2

x2 ? x1 x1 x2

? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? ? ? x1 x2 ? ? x x ? 1? ? ? x1 ? x2 ? 1 2 x1 x2
x1 ? x2

x1 ? x2 ? 0

x1 x2 ? ? 0,1?

x1 x2 ? 0

x1 x2 ? 1 ? 0
? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?
变式训练三略

§1.3.1 函数的单调性与最大(小)值(2)

课前预习学案
39

一、预习目标: 认知函数最值的定义及其几何意义 二、预习内容: 1. 画出下列函数的图象,并 根据图象解答下列问题:

1 ○ 说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; 2 ○ 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征?

(1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (3) f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

(2) f ( x) ? ?2 x ? 3 x ?[?1,2] (4) f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

x ? [?2,2]

2. 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: ( 1)对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈ I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最 3.试给出最小值的定义. 三、提出疑惑 同学们,通过你 的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 值.

课内探究学案
一、学习目标
[来源:学科网]

(1)理解函数的最大(小)值及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;

学习重点:函数的最大(小)值及其几何意义.
学习难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 二、学习过程 例 1.利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解:
[来源:学,科,网]

40

变式训练 1:设 a,b∈R,且 a>0,函数 f(x)=x2+ax+2b,g(x)=ax+b,在[-1,1]上 g(x)的最大 值为 2,则 f(2)等于( A.4 例 2. 旅 馆 定 价 一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如下: 房价(元) 160 140 120 100 欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 解: 住房率(%) 55 65 75 85 ). B.8 C.10 D.16

变式训练 2. 函数 f(x)= x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上递减,则 a 的取值范围是( A.

2

)

? ?3, ?? ?

B.

? ??, ?3?

C. (-∞,5)

D. ? 3, ?? ?

三、当堂检测 1.设偶函数 f (x) 的定义域为 R ,当 x ? ?0,?? ? 时, f (x) 是增函数,则 f (?2), 系是 ( ) A f (? ) ? f (?3) ? f (?2) C f (? ) ? f (?3) ? f (?2) B f (? ) ? f (?2) ? f (?3) D

f (? ) , f (?3) 的大小关

f (? ) ? f (?2) ? f (?3)
1 3


2.已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是( A. (

1 2 , ) 3 3

B. ? ? , (

2 ) 3

C. (

1 2 , ) 2 3

D. ? ,?? ?

?2 ?3

? ?

3.若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是 A. f (? ) ? f (?1) ? f (2)

( )中学学科网

3 2

B. f (?1) ? f (? ) ? f (2)
41

3 2

C. f (2) ? f (?1) ? f (? )

3 2

D. f (2) ? f (? ) ? f (?1)

3 2

4.已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是( 考资源网 A. (

1 3

)高

1 2 1 2 1 2 1 2 , ) B.[ , ) C.( , ) D.[ , ) 3 3 3 3 2 3 2 3

课后练习与提高
1 已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( )

A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)>f(x2)

B.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定
?1?

2 已知函数 f ? x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围是( ? x? ? ? A. ?? 1,1? B. ?0,1? C. ?? 1,0? ? ?0,1? D. ?? ?,?1? ? ?1,?? ?



3.对 ?a 、 b ? R ,记 min{a, b} = ? 为 A. [0, ??) B. (??, 0]

? a, (a ? b) ,则函数 f(x)=min{|x+1|,|x-1|}(x ? R)的单调增区间 ?b.( a ? b)

C. (??, ?1] 和 [0,1]

D. [?1,0] 和 [1, ??)

4.若函数 f ( x) ? A. ( ,?? )

1 2

ax ? 1 (a为常数), 在(?2,2) 内为增函数,则实数 a 的取值范围( x?2 1 1 1 B. [ ,?? ) C. (??, ) D. (??, ] 2 2 2



5.(04 上海)若函数 f(x)=a|x-b|+2 在 [0,?? ) 上为增函数,则实数 a,b 的取值范围是____________ 6 设 f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题: (1)若 f(x)单调递 增, g(x)单调递增,则 f(x)-g(x)单调递增 (2) 若 f(x)单调递增, g(x)单调递减,则 f(x)-g(x)单调递增 (3)若 f(x)单调递减, g(x)单调递增,则 f(x)-g(x)单调递减 (4) 若 f(x)单调递减, g(x)单调递减,则 f(x)-g(x)单调递减 其中,正确命题的序号为_______________

7、求函数 f ( x) ?

x 在[2,5]上的最大值和最小值 x ?1
42

参考答案 例1略 变式训练 1 B

当堂检测 1.A 2.A 3.D 4.A

课后练习与提高 1. A 2. C 3. D 4. A 5. a>0 b<0 6. (3)(2)

7. 解析: f ( x) ?

x ?1 ? 1 1 ,可证 f(x)在[2,5]上是减函数, ? 1? x ?1 x ?1
5 4



当 x=2 时,f(x)最大值为 2 当 x=5 时,f(x)最小值为

1.3.2 函数的奇偶性

43

课前预习学案 一、预习目标: 理解函数的奇偶性及其几何意义 二、预习内容: 函数的奇偶性定义: 一般地,对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 x ,都有 一般地,对于函数 f ( x) 的定义域的任意一个 x ,都有 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 ,那么 f ( x) 就叫做 ,那么 f ( x) 就叫做 函数. 函数.

课内探究学案 一、学习目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义; 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 3.学会判断函数的奇偶性; 学习重点:函数的奇偶性及其几何意义 学习难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 二、学习过程 例 1.判断下列函数是否是偶函数. (1) f ( x) ? x
2

x ? [?1, 2]

(2) f ( x) ?

x3 ? x 2 x ?1

变式训练 1(1) f ( x) ? x ? x 、
3

(2) f ( x) ? ( x ? 1) 、

x ?1 2 2 (3) f ( x) ? x ? 4 ? 2 ? x 、 x ?1

44

例 2.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x
4

(2) f ( x) ? x

5

(3) f ( x) ? x ?

1 x

(4) f ( x ) ?

1 x2

?1 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) ? 变式训练 2 判断函数的奇偶性: g ( x) ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? 2 ?

三、 【当堂检测】 1、函数 f ( x) ? A.奇函数

1 , x ? (0,1) 的奇偶性是 x
C.非奇非偶函数

( D.既是奇函数又是偶函数
3 2



B. 偶函数
2

2、 若函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 是偶函数,则 g ( x) ? ax ? bx ? cx 是( A.奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 ( )



3、若函数 y ? f ( x), x ? R 是奇函数,且 f (1) ? f (2) ,则必有 A. f (?1) ? f (?2) B. f (?1) ? f (?2) C. f (?1) ? f (?2) D.不确定

4、函数 f (x) 是 R 上的偶函数,且在 [0,?? ) 上单调递增,则下列各式成立的是 ( A. f (?2) ? f (0) ? f (1) C. f (1) ? f (0) ? f (?2) )

B. f (?2) ? f (?1) ? f (0) D. f (1) ? f (?2) ? f (0)

5、已知函数 y ? f (x) 是偶函数,其图像与 x 轴有四个交点,则方程 f ( x) ? 0 的所有实数根的和为 ( )
45

A.4

B.2

C.1

D.0

6、函数 f ( x) ? a, a ? 0 是_______函数. 7、若函数 g (x) 为 R 上的奇函数,那么 g (a) ? g (?a) ? ______________. 8、如果奇函数 f (x) 在区间[3,7]上是增函数,且最小值是 5,那么 f (x) 在区间[-7,-3]上的最 ______________值为____________.

课后练习与提高 一、选择题 1、函数 f ( x) ? x ?
2

x 的奇偶性是





A.奇函数

B. 偶函数

C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 )

2、函数 y ? f (x) 是奇函数,图象上有一点为 (a, f (a)) ,则图象必过点( A. (a, f (?a)) 二、填空题: B. (?a, f (a)) C. (?a,? f (a))

D. (a,

1 ) f (a)

3 、 f (x) 为 R 上 的 偶 函 数 , 且 当 x ? (??,0) 时 , f ( x) ? x( x ? 1) , 则 当 x ? (0,??) 时 ,

f (x) ? _____________________________.
4、函数 f (x) 为偶函数,那么 f ( x)与f (| x |) 的大小关系为__________________. 三、解答题: 5 、 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 0 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的 a, b ? R , 都 有

f (ab) ? af (b) ? bf (a)
(1) 、求 f (0), f (1) 的值; (2) 、判断函数 f (x) 的奇偶性,并加以证明。

参考答案
例 1.解:函数 f ( x) ? x , x ? [?1, 2] 不是偶函数,因为它的定义域关于原点不对称.
2

46

函数 f ( x) ? 变式训练 1

x3 ? x 2 也不是偶函数,因为它的定义域为 ? x | x ? R且x ? 1? ,并不关于原点对称. x ?1

解: 、函数的定义域为 R, f (? x) ? (? x) ? (? x) ? ? x ? x ? ? f ( x) (1)
3 3

所以 f (x) 为奇函数 (2) 、函数的定义域为 {x | x ? 1或x ? ?1} ,定义域关于原点不对称,所以 f (x) 为非奇非偶函数 (3) 、函数的定义域为{-2,2}, f (? x) ? 0 ? f ( x) ? ? f ( x) ,所以函数 f (x) 既是奇函数又是偶函数

2.1.1

第一课时

根式学案

47

课前预习学案 一.预习目标 1.通过填写下面知识空白更好理解根式的概念 2.准确把握根式的性质 二.预习内容 1.n次方根的定义:如果 2.根式:形如 数
n 3. 根式的性质: 1) 0 = (

x

n

=a,那么x叫做 ,

. (其中n>1且 n ? N ) 叫做被开

式子叫根式.这里n叫做

; (2) (n

a) n =

; (3) 当n是奇数时 n

a

n





当是偶数时 n

a

n





三.提出疑惑 通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面的横线上 课内探究学案 一.学习目标:1.理解 n 次根式.根式,根指数,被开方数等概念。 2.理解并记住方根的性质,并能 熟练应用于相关计算中 学习重点: (1)根 式概念的理解。 (2)根式的化简 学习难点: (1)根式的化简

二.课内探究 例1:化简下列根式: (1) 3 a ? 3
3

( a)



(2) 4

a

4

? (4

4

a)

(3) 4

(4 a2 ?12ab?9b2)

2

例2:计算: (1) 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 , (2)
3

1
3

? 3

1
3

(2 ? 5 ) ( (2 ? 5 )

48

(3) 3 ?? 8? ? 4
2

?

3 ?2 ?3 2? 3

?

4

?

?

3

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

[来源:学,

例3:求使等式 (a ? 3)(

a

2

? 9) = (3 ? a ) a ? 3 成立的实数的取值范围.

三.当堂检测 1.以下说法正确的是( A.正数的n次方根是正数 ) B.负数的n次方根是负数 D.a的n次方根是 n a ) D. a ? 4
[来源:学*科*网]

C.0的n次方根是0 (n ? N )
0

2. 4 a ? 2 ? ?a ? 4 ? 有意义,则 a 的取值范围是( A. a ? 2 B. a ? 2 且 a ? 4 C. a ? 2

3.若 x ? 0, 则 x ?

x2 ?

x2 ? ________ x
. .

4.若 n a =- n a ,则

5.若 n ? 3 ? ?n 3 ,则n的取值范围是

课后练习与提高 1、当1<x<3时,化简

( x ?3)

2

?

(1? x)

2

的结果是( )
49

A.4-2X B.2 C.2X-4 D.4 2 、已知 a ? b, ab ? 0 ,下列不等式(1) a ? b ;(2) 2 ? 2 ;(3)
2 2

a

b

1 1 1 1 ? ;(4) a 3 ? b 3 ; a b

?1? ?1? (5) ? ? ? ? ? 中恒成立的有( ?3? ?3?

a

b

) C、3 个


A、1 个

B、2 个

D、4 个

3、若 6 x ? 2 有意义,则x的取值范围是(

A.x ? 2 B.x ? -2 C.x ? -2或x ? 2 D.x ? R 4.某企业生产总值的月平均增长率为 p ,则年平均增长率为 5.若 9 。 . .

a

2

? 6a ? 1 =3a-1,则a的取值范围是

6.若x<2,则

x

2

? 4 x ? 4 ? 3 ? x 的值是
2

7.化简 (1)

( a ?1)

?

(1? a)

2

+3

(1? a)

3

4

(2)

1? a ?
2

1? a

a

2

? 1 ? 3a



2.1.1-2 分数指数幂
课前预习学案
50

一. 预习目标 1. 2. 通过自己预习进一步理解分数指数幂的概念 能简单理解分数指数幂的性质及运算
[来源:学*科*网]

二. 预习内容 1.正整数指数幂:一个非零实数的零次幂的意义是: 负整数指数幂的意义是: 2.分数指数幂:正数的正分数指数幂的意义是: 正数的负分数指数幂的意义是: 0的正分数指数幂的意义是: 0的负分数指数幂的意义是: . . . . . .

3.有理指数幂的运算性质:如果a>0,b>0,r,s ? Q,那么

a ?a
r

s





(a r )

s





(ab)

r





4.根式的运算,可以先把根式化成分数指数幂,然后利用 的运算性质进行运算. 三. 提出疑惑 通过自己的预习你还有哪些疑惑请写在下面的横线上

课内探究学案 一. 学习目标 1. 2. 理解分数指数幂的概念 掌握有理数指数幂的运算性质,并能初步运用性质进行化简或求值

学习重点: (1)分数指数幂概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用有理数指数幂性质进行化简求值. 学习难点: (1)分数指数幂概念的理解 (2)有理数指数幂性质的灵活应用.

二. 学习过程 探究一
51

1.若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 A、 am ? an ? a n
m


n

) D、 1 ? a ? a
n 0?n

B、 a ? ? a a
m n

m ?n

C、 am ( )

? ?

? a m? n

2.c<0,下列不等式中正确的是

A.c≥ 2 c 1 C. 2 c < ( ) c 2
3.若 (

1 B.c> ( ) c 2 1 D. 2 c > ( ) c 2
) D.X<0.5

1? 2x)

?

3 4

有意义,则x的取值范围是( C.x>0.5

A.x ? R B.x ? 0.5

4.比较 a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7 三个数的大小关系是________. 探究二 例1:化简下列各式: (1)

?

a ?1 ?

?

2

?1 ? a ?
1

2

? 3 ?1 ? a ? ;
3

1 2 6 1 ?2 2 ?1 ?3 (2) a 3 b ( ?3 a 2 b ) ? ( 4 ) a3b 5

例2:求值: (1)已知

2

x

?2

?x

? a (常数)求 8 ? 8
x
1 2 1 2

?x

的值;
1 2 1

x (2) 已知x+y=12,xy=9x,且x<y,求 x

? ?

y y

的值

2

例3:已知

a

2x

?

?a 2 ? 1 ,求 a a ?a
3x x

?3 x ?x

的值.

52

三. 当堂检测 1.下列各式中正确的是( )
?1

A.

(?1)

0

? ?1

B.

(?1)

? ?1 C. 3 a ?

?2

1 3a
2

(? x) D. (? x)

5

3

?

x

2

2.

? 3 6 a 9 ? ? 6 3 a 9 ? 等于( ? ? ? ? ? ? ? ?

4

4

) C、 a 4


A、 a16

B、 a 8

D、 a 2

3.下列互化中正确的是( A. ?

x ? (? x) 2 ( x ? 0)
? 3 4 3

1

B. 6

y

2

1

?
1 3

y

3

( y ? 0)

x C. ( ) y

?4

y ( ) ( x , y ? 0) x
b ?b

D.

x

? ?3 x

4.若 a ? 1, b ? 0 ,且 a ? a

? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于(

) D、2

A、 6
5.使

B、 ?2
2
? 3 4

C、 ?2


(3?2x? x )

有意义的x的取值范围是(

A.R B. x ? 1 且 x ? 3

C.-3<X<1 D.X<-3或x>1

课后练习与提高 1.已知a>0,b>0,且

a ?b
b

a

,b=9a,则a等于(


53

A. 4 3 2.

B.9 C.
2

1 9

D.

3

9
2 ?2

x

?2

? x ? 2 2 且x>1,则 x ? x 的值(
D.2



A.2或-2 B.-2 C. 6 3. 2 3 ? 3 1.5 ? 12

1 . ? 6 n 1 2 4.已知 n ? N ? 则 [1 ? (?1) ]( n ? 1) = 8
1 1 ? ? 1? n ? a ? a n ? ,求 x ? 1 ? x 2 5.已知 a ? 0, x ? ? 2? ? ?



?

? 的值.
n

2.1.1-3 无理数指数幂
课前预习学案 一、预习目标 理解无理数指数幂得实际意义。

[来源:学科网 ZXXK]

54

二、预习内容 教材 52 页至 53 页 5 三、提出疑惑 同学们,你们通过自主学习,还有哪些疑惑请写在下面的横线上—————————
2

的意义解读。

课内探究学案 一、学习目标 1.能熟练进行根式与分 数指数幂间的互化。 2.理解无理数指数幂的概念。 学习重点:实数指数幂的的运算及无理数指数幂的理解 学习难点:无理数指数幂的理解 二、学习过程
1

1.解释 33 的意义,理解分数指数幂与根式的互化。探究 5 2.反思总结

2

的实际意义。

得出结论:一般地,无理数指数幂 a ( a ? 0, ? 是无理数)是一个确定的实数。有理数指数幂的运算 同样适用于无理数指数幂。 3.当堂检测 (1)参照以上过程,说明无 理数指数幂 2 的意义。
3

?

(2)计算下列各式

1 ○2

3

.2

5

2 ○

3 3

5 2

课后练习与提高 1.化简下列各式 (1)
3

a?4 a
[来源:Z+xx+k.Com]

(2) a a a

2.下列说法错误的是()

55

A.根式都可以用分数指数幂来表示 B.分数指数幂不表是相同式子的乘积,而是根式的一种新的写法 C.无理数指数幂有的不是实数 D.有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂

[来源:学&科&网 Z&

[来

2.1.2-1 指数函数的概念学案

课前预习学案 一. 预习目标 1. 2. 通过预习理解指数函数的概念 简单掌握指数函数的性质

二. 预习内容 1.一般地,函数 2.指数函数的定义域是 3.指数函数 y ? 4.指数函数 y ? 是减函数. 三.提出疑惑 通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面的横线上 课内探究 学案 一. 学习目标 1. 2. 理解指数函数的概念能画出具体的指数函数图象 在理解指数函数概念、性质的基础上,能运用所学知识解决简单的数学问题 叫做指数函数. ,值域 . . 时,在 (??,??) 上

a a

x

(a ? 0, a ? 1) 的图像必过特殊点 (a ? 0, a ? 1) ,当

x

时,在 (??,??) 上是增函数;当

学习重点:指数函数概念、图象和性质 学习难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 二. 学习过程 探究一
56

1.函数 y ? (

a

2

? 3a ? 3) ? a 是指数函数,则有(
x



A.a=1或a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0且 a ? 1

1 2.关于指数函数 y ? 2 和 y ? ( ) 2
x

x

的图像,下列说法不正确的是(



A.它们的图像都过(0,1)点,并且都在x轴的上方. B.它们的图像关于y轴对称,因此它们是偶函数. C.它们的定义域都是R,值域都是(0,+ ? ) .

1 D.自左向右看 y ? 2 的图像是上升的, y ? ( ) 2
x

x

的图像是下降的.

3.函数 f ( x) ? a2 ?1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(

?

?

x



A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ? 2
1 ) ,则f(2)= 8

D、 1 ? a ? 2


4.指数函数f(x )的图像恒过点(-3, 5.函数 y ? 3
2 ?3 x 2

的单调递增区间是



探究二
例1:指出下列函数那些是指数函数: (1) y ? (7) y ?

4

x

(2) y ?

x

4

(3) y ? ?
x

4

x

(4) y ? (

?4) (5) y ??
x

x

(6)y ? 4

x

2

x

x

(8) y ? (

2a ?1) (a ? 2 , a ? 1)
1

例2:求下列函数的定义域与值域:
1 x ?4

(1) y ?

2

2 (2) y ? ( ) 3

?x

(3) y ?

4 ?2
x

x ?1

? 1 (4) y ? 10

2x ?1 x ?1
57

例3:将下列各数从小到大排列起来:

(

2 , 3 , ,( 2 , 3 ,(5 , 5 ) ( ) 3 ) ( ) ) (?2) , ( ) 3 5 5 2 6 3
2 3 3

?

1 3

1 2

1 2

2 3

0

?

1 3

三.当堂检测 1.下列关系式中正确的是( )

A. (

1 ) 2

2 3



2

?1..5

<(

1 ) 2

1 3

B. (

1 ) 2
?1..5

1 3

<(

1 ) 2
1 3

2 3



2

?1..5

1 C. 2 <( ) 2
?1..5

2 3

1 <( ) 2
x

1 3

1 D. 2 <( ) 2

1 <( ) 2
C.

2 3

2.若-1<x<0,则下列不等式中正确的是( A.



5

?x



5 < 0 .5
1 x

x

B.

5 < 0 .5 < 5
C. y ?

x

x

?x

5 <5

x

?x



0 .5
2? x

x

D.

0 .5 < 5

x

?x



5

x

3.下列函数中值域是(0,+ ? )的函数是( A. y ?



2

B. y ?

2 ?1
x

2 ?1
x

1 D. y ? ( ) 2

4.函数 y ?

1 的值域是( 2 ?1
x

) C、 ? ?1, ?? ? D、 (??, ?1) ? ? 0, ?? ?

A、 ? ??,1?

B、 ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ?

58

课后练习与提高 1.函数 y ?

a

x

? m ? 1(a ? 0, a ? 1) 图像在不在第二象限 且不过原点,则m的取值范围是(



A.a>1 b.a>1且m<0 C.0<a<1且m<0 D.0<a<1 2.设0<a<b<1,则下列不等式中正确的是( A. )

a <b

a

b

B.

b <b

a

b

C.

a >b

a

a

D.

b <a

b

a

3.已知 x>0,函数 y=(a2-8)x 的值恒大于 1,则实数 a 的取值范围是________. 4.若 f (5
2 x ?1

) ? x ? 2 ,则 f (125) ?
1 1 3 ? )x ?1 2



5.已知函数 y ? (

2

x

(1)求f(x)的定义域;

(2)讨论f(x)的奇偶性;

2.1.2
一.预习目标 了解指数函数的定义及其性质.



指数函数的图像与性质
课前预习学案

59

二.预习内容 1.一般地,函数 2.指数函数的定义 域是 3.指数函数 y ? 4. 指数函数 y ? 叫做指数函数. ,值域 . . 时, 在

a
x

x

(a ? 0, a ? 1) 的图像必过特殊点

a

(a ? 0, a ? 1) , 当

时, (??,??) 上是增函数; 在 当

(??,??) 上是减函数.
五.提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一.学习目标 (1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系; (2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性和 特殊点; (3)在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的 方法等. 教学重点:指数函数的的概念和性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 二、学习过程 1.(合作讨论)人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引起全世界关注.世界人口 2000 年大约是 60 亿, 而且以每年 1.3%的增长率增长, 按照这种增长速度, 2050 年世界人口将达到 100 多亿, 到 大有“人口爆炸”的趋势.为此,全球范围内敲起了人口警 钟,并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” , 呼吁各国要控制人口增长.为了控制人口过快增长,许多国家都实行了计划生育. 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人口.因此,中国 的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了 有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本国策.
60

1 ○ 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? 2 ○ 到 2050 年我国的人口将达到多少? 3 ○ 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响?

2.上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x(x∈N*,x≤20)能否构成函数? 3.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以时间 x 年为自变 量,残留量 y 的函数关系式是什么? 上面的几个函数有什么共同特征? 探究一:指数函数的定义及特点:

[来源:学科网 ZXXK]

例1:指出下列函数那些是指数函数: (1) y ?

4 (2) y ? x (3) y ? ? 4
x
4

x

(4) y ? (

?4) (5) y ??
x

x

(6) y ? 4

x (7)

2

y?

x

x

(8) y ? (

2a ?1) (a ? 2 , a ? 1)
x

1

变式训练一:1.函数 y ? (

a

2

? 3a ? 3) ? a 是指数函数,则有(
x



A.a=1或a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0且 a ? 1 探究二:指数函数的图像与性质 在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1) y ? ( )

1 3

x

(2) y ? ( )

1 2

x

(3) y ? 2

x

(4) y ? 3

x

例2:求下列函数的定义域 (1) y ?

[来源:学科网 ZXXK]

2

1 x ?4

(2) y ? 5

x ?1

61

变式训练二 : y ?

1 2?( ) 2

x

的定义域

三.反思总结

四.当堂检测

1 1.关于指数函数 y ? 2 和 y ? ( ) 2
x

x

的图像,下列说法不正确的是(



A.它们的图像都过(0,1)点,并且都在x轴的上方. B.它们的图像关于y轴对称,因此它们是偶函数. C.它们的定义域都是R,值域都是(0 ,+ ? ) .

1 D.自左向右看 y ? 2 的图像是上升的, y ? ( ) 2
x

x

的图像是下降的.

2.函数 f ( x) ? a2 ?1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(

?

?

x



A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ? 2
1 ) ,则f(2)= 8

D、 1 ? a ? 2


3.指数函数f(x)的图像恒过点(-3, 参考答案:1.B 2.D 3.4

课后练习与提高 1.下列关系式中正确的是( )

A. (

1 ) 2

2 3



2

?1..5

<(

1 ) 2

1 3

B. (

1 ) 2

1 3

<(

1 ) 2

2 3



2

?1..5

1 C. 2 <( ) 2
?1..5

2 3

1 <( ) 2

1 3

1 D. 2 <( ) 2
?1..5

1 3

1 <( ) 2


2 3

2.下列函数中值域是( 0,+ ? )的函数是(

62

A. y ?

2

1 x

B. y ?
x

2 ?1
x

C. y ?

2 ?1
x

1 D. y ? ( ) 2
[来源:Zxxk.Com]

2? x

3.函数 y ? A.0.5

a

在[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则a等于( B.2 C.4 的定义域是 D.0.25



4.函数 f ( x) ?

1 1 ? ex

5.已知f(x)=

2

x

,则f[f(-1) ]=
2 x 2 ?3 x ? 2



6.设 0 ? a ? 1,解关于 x 的不等式 a

? a2 x

2

? 2 x ?3



2.1.2
三.预习目标

指数函数的性质的应用
课前预习学案

能熟练说出指数函数的定义及其性质. 四.预习内容 1.函数 y ? 2.函 数 y ?

a

x

(a ? 0, a ? 1) 的定义域是 (a ? 0, a ? 1) .
1,

,值域



a

x

当a>1时,若x> 0时,y 若x<0时,y

1;若x=1时,y 1,

1;

当0<a<1时,若x>0时,y

63

若x<0时,y 3.函数 y ?

1;若x=1时,y

1.

a

x

(a ? 0, a ? 1) 是

函数(就奇偶性填) .

六.提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点
[来源:Z&xx&k.Com]

疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标: (1)能熟练说出指数函数的性质。 (2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。 (3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 教学重点:指数函数的性质的应用。 教学难点:指数函数的性质的应用。 二、教学过程 探究点一:平移指数函数的图像 例1:画出函数 y ? 解:

2

x ?1

的图像,并根据图像指出它的单调区间.

1 变式训练一:已知函数 y ? ( ) 2
(1)作出其图像;

x ?1

64

(2)由图像指出其单调区间; 解:

探究点二:复合函数的性质 例 2:已知函数 y ? (

1

2
解:

x

1 3 ? )x ?1 2
(2)讨论f(x)的奇偶性;

(1)求f(x)的定义域;

变式训练二:已知函数 f ( x) ?

a x ?1 (a ? 1) ,试判断函数的奇偶性; ax ?1

四.当堂检测 1.函数 y=a|x|(0<a<1)的图像是( )

65

2.函数

y

1

?

a

x



y ?a
2

x ?1

,若恒有

y

2

?

y

1

,那么底数a的取值范围是(



A.a>1

B.0<a<1

C.0<a<1 或 a>1 D.无法确定

3.函数 y=2-x 的图像可以看成是由函数 y=2-x+1+3 的图像平移后得到的,平移过 程是 [ ] A.向左平移 1 个单位,向上平移 3 个单位 B.向左平移 1 个单位,向下平移 3 个单位 C.向右平移 1 个单位,向上平移 3 个单位 D.向右平移 1 个单位,向下平移 3 个单位 4.函数 y=ax+2-3(a>0 且 a≠1)必过定点________

参考答案: 1.C 2.B 3.A 4. (-2,-2)

课后练习与提高

2x ?1 1.函数 y ? x 是( 2 ?1

) C、 既奇又偶函数


A、奇函数
2.函数 y ?

B、偶函数

D、非奇非偶函数

2

1 x

的单调递减区间是(

A. (-∞,+∞) B. (-∞,0) C. (0,+∞) 3.函数 f ( x) ? a A. a ? 1, b ? 0
x ?b

D. (-∞,0) 和(0,+ ∞) 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是 B. a ? 1, b ? 0
66





C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

4.已知函数y=f(x)满足对任意 0时,f(x)<1,那么函数f(x)

x ,x
1

2

有f(

x +x
1

2

)=f(

x ) ? f( x
1

2

) ,且x>

在定义域上的单调性为



5.函数 y=4x 与函数 y=4-x 的图像关于________对称.
6.已知函数 f ? x ? ? a ?

1 , ,若 f ? x ? 为奇函数,求 a 的值。 z ?1
x

[来源:学。科。网 Z

。X。

2.2.1 对数的概念导学案 课前预习学案

一、预习目标 了解对数的概念,知道常用对数与自然对数以及这两种对数符号的记法,了解对数恒等式, 二、预习内容 对数概念: 1. 一 般 地 , 如 果 a ( a ? 0, a ? 1 ) 的 b 次 幂 等 于 N , 即 a ? N , 那 么 数 b 叫
b

做 做
2

,记作 loga N ? b .其中, a 叫做对数的 . 例如: 3 ? 9 ?

,N 叫

log 3 9 ? 2 ,读作:以 3 为底 9 的对数为 2 .

(1)概念分析:对数式 b ? log a N 中各字母的取值范围:

a : a ? 0, a ? 1 ;

b : b?R ;

N :N ?0 .
a

(2) 零和负数没有对数; 的对数为 0, lg 1 0 ( a ? 0 且 a ? 1 ) 底数的对数为 1, lg 1 即o a ? ; 即o

a1 ?
67

( a ? 0 且 a ? 1) . 2.以 10 为底的对数 称为 3. log a a ?
b

,以 e 为底的对数称为

a loga N ?

三、提出疑惑

课内探究学案
一、 学习目标 1、 理解指数式与对数式的相互关系,能熟练进行指数式与对数式的互化。2‘ 2、 并能运用恒等式进行计算。 学习重难点:理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化、 二、 学习过程 (一)合作探究
[来源:学科网]

探究一.指数式和对数式互化 1.将下列指数 式写成对数式:

① 54 ? 625

② 10?2 ?

1 100

③ ea ? 81

1 ④ ( ) m=5.73 3

解析:直接用对数式的定义进行改写. 解: 点评:主要考察了底真树与幂三者的位置.

变 1.将下列对数式写成指数式:

① log 1 16 ? ?4
2

② log 2

1 ? ?7 128

③ lg 0.01 ? ?2

④ ln10=2.303

探究二.求对数值 2、? log 9 27 , ? log 4 3 81 , ? log ?2? 3 ? 2 ? 3 ,

?

?

? log 3

54

625

解析:将对数式写成指数式,再求解. 解:

点评:考察了指数与对数的相互转化.
68

变 2.求下列对数的值 (1) log 2 4
7

[来源:Zxxk.Com]

(2) lg 5 100

(3) log 3 (81 3 )

(二)反思总结

(三)当堂检测 1.完成下列指数式与对数式的互化: (1)2
?6

?

1 ? 64

, (2) ( )

1 3

m

? 5.73 ?

, , .

(3) log 0.5 16 ? ?4 ? (5) lg 0.01 ? ?2 ? 2.求下列对数的值
1
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

, (4) log 2 128 ? 7 ? , (6) ln 10 ? 2.303 ?

(1) log 216 = (4) log 2.5 6.25 =

, (2) lg 0.01 = , (5) log (
2 ?1)

, (3) ln e =



(3 ? 2 2) =

课后练习与提高

1.对数式

的值为





(A) 1

(B)-1

(C)

(D)-

?

2、若 log 7 [ log 3 ( lo g 2 x)] = 0,则 x (A). 3.计算

1 2

为(

). (C).

1 2 3

(B).

1 3 3

1 2

(D).

2 4

69

(1) 3

(2 ? log 3 2)

?

(2) 5

2log 5 3

?
2m ? n

4.已知 a ? 0 且 a ? 1 , log a 2 ? m , log a 3 ? n ,求 a

的值。

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

2.2.1 对数的运算性质导学案
课前预习学案
一、预习目标 初步了解对数的运算性质,知道推导这些法则的依据和过程; 二、预习内容 1.对数的定义

log a N ? b
王新敞
奎屯 新疆

其中 a ? (0,1) ? (1,??) 与 N ? (0,?? )

王新敞
奎屯

新疆

2.指数式与对数式的互化

3.重要公式: ?负数与零没有对数; ? log a 1 ?
[来源:Z*xx*k.Com]

, log a a ?
log a N

王新敞
奎屯

新疆

? 对数恒等式 a

?

王新敞
奎屯

新疆

a m ? a n ? _____(m, n ? R)
3.指数运算法则 (a m ) n ? ______( , n ? R) m

(ab) n ? _______( ? R) n
三、提出疑惑

课内探究学案
三、 学习目标
70

1.掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2.能较熟练地运用法则解决问题; 学习重点、对数运算性质
王新敞
奎屯 新疆

学习难点:对数运算性质的证明方法. 四、 学习过程 (一)合作探究 探究一:积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N (2) N log a M n ? nlog a M(n ? R) (3)
解析:利用对数的性质与对数式与指数式的关系证明.

点评:知道公式的推倒过程有利于学生掌握公式. 探究二 例 1 计算 (1) log 5 25, (2) log 0.4 1, (3) log 2 ( 4 × 2 ) , 解析:用对数的运算性质进行计算. 解:
7 5

(4)lg 5 100

点评:本题主要考察了对数性质的应用,有助于学生掌握性质. 例 2 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式:

王新敞
奎屯

新疆

71

xy ( 1 ) l oa g ; z

(2) l o g a

x2 y
3

z

解析:利用对数的性质化简. 解:
王新敞
奎屯 新疆

点评:熟悉对数的运算性质.

变式练习:计算:

(1)lg14-2lg

7 +lg7-lg18 3

(2)

lg 243 lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg 1.2

(二)反思总结

(三)当堂检测 1.求下列各式的值: (1) log 2 6- log 2 3
王新敞
奎屯 新疆

(2)lg5+ lg2

王新敞
奎屯

新疆

2. 用 lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg(xyz) ; (2)lg

xy 2 ; z

课后练习与提高
1.若 3a=2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为( )
72

(A)a-2

(B)3a-(1+a)2 (C)5a-2
2

(D)3a-a2

2、已知 lga,lgb 是方程 2x -4x+1 = 0 的两个根,则(lg (A).4 (B).3 (C).2 ( ). (D).1

a 2 ) 的值是( b

).

3、下列各式中正确的个数是

① (A)0 (B)1 (C)2

② (D)3



4.已知



,那么

______.

5、若 lg2 = a,lg3 = b,则 lg 54 =_______ ______. 6. 用 lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg

xy 3 z

; (2) lg

x y z
2

73

2.2.1 对数的运算性质的应用学案
课前预习学案 一、预习目标 记住对数的定义;对数的运算性质和换底公式. 二、预习内容 1、对 数的定义_________________ 2.对数的运算性质:如 果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0, 则 (1) (2) (3) 3.换底公式

log a N ?

log c N log c a

其中 a ? 0, a ? 1 N ? 0, c ? 0, c ? 1

三、提出疑惑

课内探究学案
一、 学习目标 1.掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2.能较熟练地运用法则解决问题; 学习重点:对数 运算性质
王新敞
奎屯 新疆

[来源:学,科,网]

74

学习难点:对数运算性质的应用. 二、学习过程 探究点一 例 1. (1).把下列各题的指数式写成对数式、对数式写成指数式 (1) 4 =16
2

(2) 3 =1

0

(3)x= log 5 27

(4)x= log 8 7

解析 :利用指数式与对数式的关系解. 解:

点评:本题主要考察的是指数式与对数式的互化.

探究点二 例 2 计算: ? log 9 27 ,? log 4 3 81 ,? log ?2? 3 ? 2 ? 3 ,? log 3 4 625 5 解析:利用对数的性质解. 解

?

?

点评:让学生熟练掌握对数的运算性质及计算方法. 例3.利用换底公式计算 (1)log25?log53?log32 解析:利用换底公式计算 解: (2)

[来源:学+科+网]

l o g4 5 l o g8 5

75

点评:让学生熟悉换底公式.

三、反思总结

四、当堂检测 1.指数式化成对数式或对数式化成指数式 (1) 4 =2
x

(2) 2 =0.5

x

(3)x= log 4 3

2.试求: lg 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 5 的值
2

课后练习与提高
1.对于 , ,下列命题中,正确命题的个数是( )

①若

,则



②若

,则



③若

,则



④若

,则

A.

B.

C.

D.

2.设 a,b,c∈R,且 3 = 4 = 6 ,则( (A).

a

b

c

). (D).

2 2 1 1 2 2 = + (C). = + c a b c a b 1 1 a b 3. .已知 3 +5 = A,且 + = 2,则 A 的值是( ). a b
(B). (A).15 (B). 15 (C).± 15

1 1 1 = + c a b

2 1 2 = + c a b

(D).225

76

4.2loga(M-2N)=logaM+logaN,则 5.若 loga2=m,loga3=n,a 6.已知
2m+n

M 的值为( N
. ,求



=

的值.

2.2.2 对数函数及其性质学案 课前预习学案
一、预习目标 记住对数 函数的定义;初步把握对数函数的图象与性质. 二、预习内容 1、对数函数的定义_______________________________________. 2、对数函数 y = logax (a>0,且 a≠ 1)的图像和性质 研究函数 y

? log 2 x



y ? log 1 x
2

的图象;

请同学们完成 x,y 对应值表,并用描点法分别画出函数

y ? log 2 x
? ? ?



y ? log 1 x 的图象:
2

X

? ? ?
[来源:Zxxk.Com]

1 0 0

y ? log 2 x
y ? log 1 x
2

[来源:Z。xx。k.Com]

O

x
77

观察发现:认真观察函数 y=log2x 的图象填写下表: 图象特征 代数表述

(表一)

图象位于 y 轴的________.

定义域为:

[来源:学科网][来源:学科网 ZXXK]

图象向上、向下呈_________趋势.

值域为:

图象自左向右呈___ ________趋势.

函数在(0,+∞)上是:

观察发现:认真观察函数

y ? log1 x 的图象填写下表:
2

(表二)

图象特征

代数表述

对数函数 y = logax (a>0,且 a≠ 1)的图像和性质:

(表三)

0<a<1 图 象

a>1

y

x =1 (1,0)

y

x =1
y ? loga x (a ? 1)
78

O
x

x

O

(1,0)

x

定 义域 值 域

性 质

三、提出疑惑

课内探究学案 一、学习目标 1 理解对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律. 2 掌握对数函数的性质. 学习重难点 对数函数的图象与性质 二、学习过程 探究点一 例 1:求下列函数的定义域: (1)
y ? loga; x 2

(2) y ? loga (4 ? x ) .

79

练习:求下列函数的定义域: (1) y

? log5 (1 ? x ) ;

(2)

y?

1 . log2 x

解析 : 直接利用对数函数的定义域求解,而不能先化简. 解:

点评:本题主要考查了对数函数的定义域极其求法. 探究点二 例 2:比较下列各组数中两个值的大小: (1)

log 2 3.4, log 2 8.5

(2)

log0.3 1.8, log0.3 2.7

(3)loga5.1,loga5.9 (a>0,且 a≠ 1).

(1)

log 0.5 6


____ ____ <

log 0.5 4 ;
log1.5 1.4 ;

(2)log1.5 1.6 (3)

(4)若

log3 n , 则 m____n; log m > log 0.3 n ,则 m____n.
0 .3

log 3 m

三、反思总结
80

四、当堂检测 1、求下列函数的定义域 (1)

y ? log a x 2

(2)

y ? log a (4 ? x)

2、比较下列各组数中两个值的大小 (1)

log 2 3.4, log 2 8.5

(2)

log 0.3 1.8, log 0.3 2.7

课后练习与提高 1.函数 f(x)=lg( x ? 1 ? x )是
2

(奇、偶)函数。 。

2.已知函数 f(x)=log0.5 (-x2+4x+5),则 f(3)与 f(4)的大小关系为 3.已知函数 y ? log a (2 ? ax ) 在[0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围.

81

2.2.2 对数函数的性质的应用(1)学案
课前预习学案
一、预习目标 记住对数函数的定义;掌握对数函数的图象与性质. 二、预习内容 对数函数的性质: a>1 0<a<1

82

3

3

2.5

2.5

2

2


-1

1.5

1.5

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: 值域:

王新敞
奎屯

新疆

性 质

过点( , ) ,即当 x ? 时, y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (0,1) 时 y ?

王新敞
奎屯

新疆

x ? (0,1) 时

y?

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ?

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ?

王新敞
奎屯

新疆

在( , )上是增函数 七.提出疑惑

王新敞
奎屯

新疆

在( , )上是减函数

王新敞
奎屯

新疆

同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标 1 理解对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律. 掌握比较同底数对数大小的方法 2 掌握对数函数的性质. 学习重点:性质的应用 学习难点:性质的应用. 二、学习过程 探究点一 : 比较大小
83
王新敞
奎屯 新疆

例 1 比较下列各组数中两个值的大小: ? log 2 3.4, log 2 8.5 ; ? log 0.3 1.8, log 0.3 2.7 ; ? log a 5.1, log a 5.9(a ? 0, a ? 1)

解析:利用对数函数的单调性解. 解:略 点评:本题主要考察了利用函数的单调性比较对数的大小. 变式练习:比较下列各组中两个值的大小: ? log 6 7, log 7 6 ; ? log 3 ? , log 2 0.8

王新敞
奎屯

新疆

探究点二:求定义域、值域: 例 3 求下列函数的定义域、值域:

?y?

2 ?x

2

?1

?

1 4

? y ? log 2 ( x ? 2 x ? 5)
2

? y ? log 1 (? x ? 4 x ? 5)
2 3

?y?

log a ( ? x 2 ? x ) (0 ? a ? 1)

王新敞
奎屯

新疆

解析:利用对数函数的性质解. 点评:本题主要考察了利用函数的定义域与值域. 三、反思总结

四、当堂检测 1.比较 log 2 0.7 与 log 1 0.8 两值大小
3
王新敞
奎屯 新疆

2.已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log 3 m< log 3 n (2) log 0.3 m> log 0.3 n
84

(3) log a m< log a n(0<a<1)

(4) log a m> log a n(a>1)

王新敞
奎屯

新疆

课后练习与提高
1、函数 y ? A. ?1,?? ? 2、设 P ? log 1
2

log 1 ?x ? 1? 的定义域是
2

( C.

) D.

B.

?2,?? ?

?1,2 ?


?1,2?


1 1 , Q ? log 1 , T ? log 1 2 3 5 3 3
B. T ? Q ? P C.

A.

Q ?T ? P

P ?Q ?T

D.

P ?T ?Q
( )

3、已知 0 ? a ? 1, b ? 1且 ab ? 1 ,则下列不等式中成立的是 A. C.

log b

1 1 ? log a b ? log a b b 1 1 log a b ? log a ? log b b b

B. D.

log a b ? log b

1 1 ? log a b b 1 1 log b ? log a ? log a b b b

3.方程 lgx+lg(x+3)=1 的解 x=___________________. 4.已知 f(x)的定义域为[0,1] ,则函数 y=f[log 1 (3-x) ]的定义域是__________.
2

2.2.2 对数函数的性质的应用(2)
课前预习学案 一、预习目标 记住对数函数的定义;掌握对数函数的图象与性质.
85

二、预习内容 1.对数函数的性质: a>1
3

0<a<1
3

2.5

2.5

2

2


-1

1.5

1.5

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: 值域:

王新敞
奎屯

新疆

性 质

过点( , ) ,即当 x ? 时, y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (0,1) 时 y ?

王新敞
奎屯

新疆

x ? (0,1) 时

y?

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ?

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ?

王新敞
奎屯

新疆

在( , )上是增函数

王新敞
奎屯

新疆

在( , )上是减函数 (

王新敞
奎屯

新疆

2.函数 y ? log a ( x ? 1)(a ? 0且a ? 1) 恒过的定点坐标是 A. (2, 0) B. (1, 0) C. (0,1) D. (1,1)



3.画出函数 y= log 3 x 及 y= log 1 x 的图象,并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.
3

课内探究学案
一、 学习目标 1. 使学生理解对数函数的定义,进一步掌握对数函数的图像和性质 2、通过定义的复习,图像特征的观察、巩固过程使学生懂得理论与实践 的辩证关系,适时渗透分类讨论的数学思想,培养学生探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。 教学重点:对数函数的图像和性质 教学难点:底数 a 的变化对函数性质的影响
86

二、学习过程 探究点一 例 1 求下列函数的定义域: (1) y ? log a x ; (2) y ? log a (4 ? x) ; (3) y ? log a (9 ? x )
2 2

解析:利用对数函数的定义域解. 解:

点评:本题主要考察了利用函数的定义域. 探究点二 例 2.比较大小 1. log 3 4 , log 4 3 , log 4
3

3 4

2. 5 , 0.6 , log 0.6 5

0.6

5

解析:利用对数函数的单调性解. 点评:本题主要考察了利用函数的单调性比较对数的大小. 探究点三 例 3 求下列函数的反函数

?1? ① y ? ? ? ?1 ?2?

x

②y?( )

1 2

x 2 ?1

?3

( x ? 0)

解析:利用对数函数与指数函数互为反函数解. 解:略 点评:本题主要考察了反函数的解法.

三、反思总结

四、当堂检测
87

1.求下列函数的定义域:

(1) y= log 3 (1-x)

(2)y=

1 log 2 x

(3)y= log 7

1 1 ? 3x

(4) y ? log 3 x

2.若 log a

3 ? 1(a ? 0, 且a ? 1), 求实数 a 的取值范围 4

课后练习与提高
1、函数 y ? log (2 x ?1) 3 x ? 2 的定义域是(
?2 ? A、 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?3 ? ?2 ? C、 ? , ?? ? ?3 ?



?1 ? B、 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?2 ? ?1 ? D、 ? , ?? ? ?2 ?

2、函数 y ? log 1 ( x 2 ? 6 x ? 17) 的值域是(
2

) C、 ? ??, ?3? )
D、 0 ? m ? n ? 1

A、 R

B、 ?8, ?? ?

D、 ? 3, ?? ?

3、若 log m 9 ? log n 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是(
A、 m ? n ? 1 B、 n ? m ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1

88

4、已知函数 f ( x) ?

10 x ? 10? x ,判断 f ( x) 的奇偶性和单调性。 10 x ? 10? x

2.3 幂函数学案

课前预习学案
一、预习目标 预习“五个具体的幂函数” ,初步认识幂函数的概念和性质。 二、预习内容 1.写出下列函数的定义域,并画出函数图象、指出函数的单 调性和奇偶性:

(1) y ? x 2 (4) y ? x ?2

1

??(2) y ? x 3 ?? (5) y ? x
? 3 2

1

??(3) y ? x 3 ?? (6) y ? x 5 ?
? 4

2

89

2.下列四个命题中正确的为 A.幂函数的图象都经过





B.当 n<0 时,幂函数 的值在定义域内随 x 的值增大而减小 C.幂函数的图象不可能出现在第四象限内 D.当 n=0 时,幂函数图象是一条直线 3.下列各式中正确的是 ( )

A.-2.4 <(-4.2)

5 1 4 1 ? ? B.( 6 ) 2 <( 5 ) 2

C.(-π ) >(-2 )

D.(-π ) <5

4.幂函数的图象过点(2, 4 ), 则它的单调递增区间是。 A.(0, +∞) B.[0, +∞) C.(-∞, 0) D.(-∞, +∞) ___

5.已知幂函数 的图象与 x 轴、y 轴都无公共点,且关于 y 轴对称,则 m=__ 三、提出疑惑 同学们,通过你的自 主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究 学案
一、学习目标 1.掌握幂函数的形式特征,掌握具体幂函数的图象和性质。 2.能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。 学习重难点:能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,概括出 幂函数的性质。 二、学习过程 探究任务一:幂函数的概念 问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1 )边长为 a 的正方形面积 S ? a 2 , S 是 a 的函数; (2)面积为 S 的正方形边长 a ? S 2 , a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a3 , V 是 a 的函数; (4)某人 ts 内骑车行进了 1 km ,则他骑车的平均速度 v ? t ?1km / s ,这里 v 是 t 的函数; (5)购买每本 1 元的练习本 w 本,则需支付 p ? w 元,这里 p 是 w 的函数.
90
1

新知:一般地,形如 y ? x? (a ? R ) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数.

试试:判断下列函数 哪些是幂函数. ①y?
1 ;② y ? 2 x 2 ;③ y ? x3 ? x ;④ y ? 1 . x

探究任务二:幂函数的图象与性质 问题:作出下列函数的图象: (1) y ? x ; (2) y ? x 2 ; (3) y ? x 2 ; (4) y ? x ?1 ; (5) y ? x3 . 从图象分析出幂函数所具有的性质.
1

观察图象,总结填写下表:
y?x
y ? x2
[来源:学科网]

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点

三、 典型例题 例 1 讨论 f ( x) ? x 在 [0, ??) 的单调性.

91

变式训练一:讨论 f ( x) ? 3 x 的单调性.

例 2 比较大小: (1) (a ? 1)1.5 与 a1.5 (a ? 0) ; (2) (2 ? a2 ) (3) 1.1 2 与 0.9 2 .
? 1 ? 1

?

2 3

与2 3 ;

?

2

变式训练二
2

练 1. 讨论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.

练 2. 比大小:
3 3
6 6

(1) 2.3 4 与 2.4 4 ;

(2) 0.315 与 0.35 5 ;

(3) ( 2) 2 与 ( 3)

?

3

?

3 2

.

92

四、反思总结 幂函数 y ? x? 的图象, 在第 象限内, 直线 的右侧, 图象由下至上, 指数 ? 由小到大. y

轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? . 五、当堂达标
[来源:学.科.网]

1. 若幂函数 f ( x) ? x? 在 (0, ??) 上是增函数,则( A. ? >0
4

). D.不能确定

B. ? <0 ).

C. ? =0

2. 函数 y ? x 3 的图象是(

A.
1 ? 1

B.

C.

D. ).

3. 若 a ? 1.12 , b ? 0.9 2 ,那么下列不等式成立的是(

A. a <l< b

B.1< a < b

C. b <l< a

D.1< b < a

[来源:Zxxk.Com]

课后练习与提高

一、 选择题 1、下列所给出的函数中,是幂函数的是 A. y ? ? x
3

( C. y ? 2x
3



B. y ? x

?3

D. y ? x ? 1
3

2、下列命题中正确的是 A.当 ? ? 0 时函数 y ? x 的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C.若幂函数 y ? x 是奇函数,则 y ? x 是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
?
?


?



3、如图所示,幂函数 y ? x 在第一象限的图象,比较 0, ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ,1 的大小( A. ? 1 ? ? 3 ? 0 ? ? 4 ? ? 2 ? 1
?1

?



93

?4

B. 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 1 C. ? 2 ? ? 4 ? 0 ? ? 3 ? 1 ? ?1 D. ? 3 ? ? 2 ? 0 ? ? 4 ? 1 ? ?1

4. 比较大小: (1) 1.32 _____1.5 2 ; (2) 5.1?2 ______ 5.09?2 .
1 1
[来源:Zxxk.Com]

5. 已知幂 函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2) ,则它的解析式为

.

m ? m ? 2 的图象不过原点,求: m 值。 6.若幂函数 y ? (m 2 ?3m ? 3) x
2

3.1.1

方程的根与函数的零点导学案
课前预习学案

一、预习目标 预习方程的根与函数零点的关系。 二、预习内容 (预习教材 P86~ P88,找出疑惑之处)
94

复习 1:一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的解法. 判别式 ? = 当? 当? 当? . ; ;

0,方程有两根,为 x1,2 ? 0,方程有一根,为 x0 ? 0,方程无实数.

复习 2:方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a ? 0)的图象之间有什么关系? 判别式
??0 ??0 ??0

一元二次方程

二次函数图象

三、提出疑惑

课内探究学案 一、学习目标 1. 结合二次函数的图象, 判断一元二次方程根的存在性及根的个数, 从而了解函数的零点与方程根的 联系; 2. 掌握零点存在的判定条件. 学习重难点:方程的根与函数的零点的关系,求函数零点的个数问题 二、学习过程 探究任务一:函数零点与方程的根的关系 问题: ① 方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 . ② 方程 x2 ? 2x ? 1 ? 0 的解为 为 . ③ 方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 为 . ,函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 个交点,坐标 ,函数 y ? x2 ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴有 个交点,坐标 ,函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 个交点,坐标为

根据以上结论,可以得到: 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根就是相应二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的图象与 x 轴交
95

点的

.

你能将结论进一步推广到 y ? f ( x) 吗?

新知:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点(zero point).

反思: 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标,三者有什 么关系?

试试: ( 1 ) 函 数 y ? x2 ? 4x ? 4 的 零 点 为 为 . ; ( 2 ) 函 数 y ? x2 ? 4x ? 3 的 零 点

小结:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点.

探究任务二:零点存在性定理 问题: ① 作出 y ? x 2 ? 4 x ? 3 的图象,求 f (2), f (1), f (0) 的值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号

② 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象,

96

在区间 [a, b] 上 在区间 [b, c] 上 在区间 [c, d ] 上

零点; f ( a) f ( b) ? 零点; f ( b) f ( c) ? 零点; f ( c) f ( d ) ?

0; 0; 0.

新知:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a)?f (b) <0,那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根.

讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.

三、 典型例题 例 1 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数.

变式一:求函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点所在区间.

小结:函数零点的求法. ① 代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② 几何法: 对于不 能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的 性质找出零点. 例 2 求函数 y ? 2 x ? 3 的零点大致所在区间.

97

变式训练二 求下列函数的零点: (1) y ? x 2 ? 5 x ? 4 ; (2) y ? ( x ? 1)( x 2 ? 3x ? 1) .

四、反思总结 图像连续的函数的零点的性质: (1)函数的 图像是连续的,当它通过零点时(非偶次零点) ,函数值变号. 推论:函数在区间 [a, b] 上的图像是连续的,且 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上至少有一 个零点. (2)相邻两个零点之间的函数值保持同号. 五、当堂达标 1. 求函数 y ? x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 的零点所在区间,并画出它的大致图象.

[来源:Z§ xx§k.Com]

课后练习与提高
1. 函数 f ( x) ? ( x 2 ? 2)( x 2 ? 3x ? 2) 的零点个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ). ).

2.若函数 f ( x) 在 ? a, b ? 上连续,且有 f (a)?f (b) ? 0 .则函数 f ( x) 在 ? a, b ? 上( A. 一定没有零点 C. 只有一个零点 B. 至少有一个零点 D. 零点情况不确定

98

3. 函数 f ( x) ? e x ?1 ? 4 x ? 4 的零点所在区间为( A. (?1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3) .

).

4. 函数 y ? ? x 2 ? x ? 20 的零点为

[来源:Zxxk.Com]

5. 若函数 f ( x) 为定义域是 R 的奇函数, f ( x) 在 (0, ??) 上有一个零点. f ( x) 的零点个数为 且 则 6. 已知函数 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ? 1 . (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)若函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 值.

.

3.1.2 用二分法求方程的近似解学案

课前预习学案
一、预习目标 能说出零点的概念,零点的等价性,零点存在性定理。 二、预习内容 (预习教材 P89~ P91,找出疑惑之处)
99

复习 1: 什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理? 对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点.

方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴

? 函数 y ? f ( x)

. ,那么,函数

如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 内有零点. y ? f ( x) 在区间 (a ,b )

复习 2:一元二次方程求根公式? 三次方程? 四次方程?

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

课内探究学案 一、学习目标 1. 根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 2. 通过用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系, 初步形成用函数观点 处理问题的意识. 学习重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观 点处理问题的意识. 学习难点:精确度概念的理解,求方程近似解一般步骤的概括和理解 二、学习过程 探究任务:二分法的思想及步骤 问题:有 12 个小球,质量均匀,只有一个是比别的球重的,你用天平称几次可以找出这个球的,要 求次数越少越好. 解法:
100

第一次,两端各放 第二次,两端各放 第三次,两端各放

个球,低的那一端一定有重球; 个球,低的那一端一定有重球; 个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球.

思考:以上的方法其实这就是一种二分法的思想,采用类似的方法,如何求 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所 在区间?如何找出这个零点?

新知:对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a)?f (b) <0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断的把函数的零点所在的 区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).

反思: 给定精度ε ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如何呢?

①确定区间 [a, b] ,验证 f (a)?f (b) ? 0 ,给定精度ε ; ②求区间 (a, b) 的中点 x1 ; ③计算 f ( x1 ) : 若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是函数的零点; 若 f (a)?f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1 (此时零点 ; ; x0 ? (a, x1 ) ) 若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ④判断是否达到精度ε ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a(或 b) ;否则重复步骤②~④. 三、 典型例题 例 1 借助计算器或计算机,利用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解.

变式:求方程 2 x ? 3x ? 7 的根大致所在区间.

101

例 2 求方程 log3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致所在区间.

变式训练
x 2 求函数 f ( x)? 3 ? x ? 2 x? 的一个正数零点(精确到 0 . 1 )

零点所在区间

中点函数值符号

区间长度
[来源:学&科&网]

[来源:学科网]

四、反思总结 ① 二分法的概念;②二分法步骤;③二分法思想. 五、当堂达标 1. 求方程 0.9 x ? 0.1x ? 0 的实数 解个数及其大致所在区间.

102

课后练习与提高
1. 若函数 f ( x) 在区间 ? a, b ? 上为减函数,则 f ( x) 在 ? a, b ? 上( A. 至少有一个零点 C. 没有零点 B. 只有一个零点 D. 至多有一个零点 ). ).

2. 下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(

3. 函数 f ( x) ? 2 x ln( x ? 2) ? 3 的零点所在区间为( A. (2,3) B. (3, 4) C. (4,5) D. (5, 6)

).

4. 用二分法求方程 x3 ? 2x ? 5 ? 0 在区间[2,3]内的实根,由计算器可算得 f (2) ? ?1 , f (3) ? 16 ,
f (2.5) ? 5.625 ,那么下一个有根区间为

. ,大致所在区间为 .

5. 函数 f ( x) ? lg x ? 2 x ? 7 的零点个数为

6. 借助于计算机或计算器,用二分法求函数 f ( x) ? x3 ? 2 的零点(精确到 0.01 ).

[来源:学科网 ZXXK]

103

3.2.1 几类不同增长的函数模型学案

课前预习学案
一、预习目标 对于基本的实际问题能抽象出数学模型。 二、预习内容
[来源:Zxxk.Com]

(预习教材 P95~ P98,找出疑惑之处) 阅读:澳大利亚兔子数“爆炸” 有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859 年,有人从欧洲带进澳 洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子们占 领了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊 所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用 各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大 利亚人才算 松了一口气. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中

104

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异; 2. 借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异; 3. 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格 )并借助信息技术解决一些实际问题. 学习重点:将实际问题转化为数学问题,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类 型增长的含义。 学习难点:如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。 二、学习过程

典型例题
例 1 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?

反思: ① 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述这些数量关系?

② 根据此例的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?借助计算器或计 算机作出函数图象,并通 过图象描述一下三种方案的特点.

105

变式训练 1 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的, 如果某台计算机感染上这种病毒, 那么每轮 病毒发作时,这台计算机都可能感染没被感染的 20 台计算机. 现在 10 台计算机在第 1 轮病毒发作时被感 染,问在第 5 轮 病毒发作时可能有多少台计算机被感染?

例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达 到 10 万元时,按销售利润进行奖励, 且奖金 y (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而增 加但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型:
y ? 0.25x ; y ? log7 x ? 1 ; y ? 1.002 x .

问:其中哪个模型能符合公司的要求?

反思: ① 此例涉及了哪几类函数模型?本例实质如何?

② 根据问题中的数据,如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求?

[来源:Z*xx*k.Com]

106

变式训练 2
经市场调查分析知,某地明年从年初开始的前 n 个月,对某种商品需求总量 f ? n ? (万件)近似地满足 关系
f ? n? ? 1 n ? n ? 1?? 35 ? 2n ?? n ? 1, 2,3,?,12 ? . 150

写出明年第 n 个月这种商品需求量 g ? n ? (万件)与月份 n 的函数关系式.

四、反思总结 解决应用题的一般程序: ① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③ 解模:求解数学模型,得出数学结论; ④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义. 五、当堂达标:课本 108 页 2 题

课后练习与提高
1. 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个??,现有 2 个这样的细 胞,分裂 x 次后得到的细胞个数 y 为( A. y ? 2 x ?1 B. y=2 x?1 C. y=2 x ). D. y=2 x

2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越 慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用( A. 一次函数 C. 指数型函数 B. 二次函数 D. 对数型函数 ). ).

3. 一等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是关于腰长 x 的函数,它的解析式为( A. y=20-2x (x≤10) C. y=20-2x (5≤x≤10) B. y=20-2x (x<10) D. y=20-2x(5<x<10 )

107

4. 某新品电视投放市场后第 1 个月销售 100 台,第 2 个月销售 200 台,第 3 个月销售 400 台,第 4 个月销售 790 台,则销量 y 与投放市场的月数 x 之间的关系可写成 .

5. 如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量 y 与净化时间 t(月)的近似 函数关系: y ? a t (t≥0,a>0 且 a≠1).有以下叙述 ① ② ③
1 第 4 个月时,剩留量就会低于 ; 5

每月减少的有害物质量都相等; y
1 1 1 若 剩 留 量 为 , , 所 经 过 的 时 间 分 别 是 t1 , t2 , t3 , 则 2 4 8

1

t1 ? t2 ? t3 .

4 (2, ) 9
O 1 4 2 3 t(月)

其中所有正确的叙述是

.

6.某服装个体户在进一批服装时, 进价已按原价打了七五折, 他打算对该服装定一新价标在价目卡上, 并注明按该价 20%销售. 这样,仍可获得 25%的 纯利.求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的 函数关系.

108

3.2.2 函数模型的应用实例 第一课时 应用已知函数模型解决实际问题

课前预习学案
一.预习目标:熟悉几种常见的函数增长型

[来源:Z|xx|k.Com]

二.预习内容:阅读课本内容思考:主要的函数增长性有哪些 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一.学习目标:能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用一次函数、二次函数模型解决 实际问题.
[来源:Zxxk.Com]

学习重点:运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题. 学习难点:将实际问题转变 为数学模型. 二.学习过程 解决实际问题的步骤 1)首先建立直角坐标系,画出散点图; 2)根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: 一次函数模型: f ( x) ? kx ? b(k ? 0); 二次函数模型: g ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0);
2

幂函数模型: h( x) ? ax ? b(a ? 0); 指数函数模型: l ( x) ? ab ? c ( a ? 0, b >0, b ? 1)
x

1 2

利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型;由于尝试的过程计 算量较多, 可同桌两个同学分工合作,最后再一起讨论确定. 例 1 某农家旅游公司有客房 3 00 间,每间日房租为 20 元,每天都客满. 公司欲提高档次,并提高租
109

金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多 少时,每天客房的租金总收入最高?

变式:某列火车众北京西站开往石家庄,全程 277km,火车出发 10min 开出 13km 后,以 120km/h 匀 速行驶. 试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系式,并求火车离开北京 2h 内行驶的路 程.
[来源:Zxxk.Com]

例 2 要建一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,试求应当怎样设计,才能使水池总造价最低?并求此最低造价.

变式: 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件,为了估 计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量 t 与月份的 x 关系, 模拟函数可以选用二次函数或函数 y ? ab ? c(其中a, b, c为常数) .已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,
x

请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由.

课后练习与提高 一.选择题 1.客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以 80km/h 的速
110

度匀速行驶 1 小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发.经过乙地,最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中,正确的是( )

A.

B.

C.

D.

2.一种商品连续两次降价 10%后,欲 通过两次连续提价恢复原价,则每次应提价( ) A.10% B.20% C.5% D.11.1%

3.今有一组实验数据如下:

t

1.99 1.5

3.0 4.04

4.0 7 .5

5.1 12

6.12 18.01 )

v

现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( A. v ? log 2
t

B. v ? log 1
t 2

C. v ?

t 2 ?1 2

D. v ? 2t ? 2

二.填空题 4.假设某商品靠广告销售的收入 R 与广告费 A 之间满足关系 R= a ·

A ,那么 广告效应为

D ? a A ? A ,当 A=

时,取得最大广告效应.

5.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为 2 个)经过 3 小时后,这种细菌可由 1 个分裂成__________个 三.解答题 6. 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用水超过 4 吨时, 超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲 、乙两用户该月用水量分别为 5x,3x 吨. ? (1)求 y 关于 x 的函数;? (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.?
[来源:学科网 ZXXK]

参考答案

111

3.2.2 函数模型的应用举例 第二课时 自建函数模型解决实际问题
112

课前预习学案
一、预习目标:知道 5 种基本初等函数及其性质 二、预习内容: 函数 图像 定义域 值域 性质

一次函数

二次函数

指数函数

对数函数

幂函数

八.提出疑惑

[来源:Zxxk.Com]

同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标:能够通过题意,自建模型,解决实际的问题 学习重点:收集图表数据信息、拟合数据,建立函数模解决实际问题。
113

学习难点:对数据信息进行拟合,建立起函数模型,并进行模型修正。 二、探究过程: 例 1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元。销售单价与 日销售量的关系如图所示: 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480
[来源:学科网]

7 440

8 400

9 360

10 320

11 280

12 240

请根据以上的数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 探索以下问题: (1)随着销售价格的提升,销售量怎样变化?成一个什么样的函数关系?

(2)最大利润怎么表示?润大利润=收入-支出

本题的解答过程: 解:

例 2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 (身高:cm;体重:kg) 身高 体重 身高 体重 60 6.13
[来源:Z。xx。k.Com]

70 7.90 130 26.86

80 9.99 140 31.11

90 12.15 150 38.85

100 15.02 160 47.25

110 17.50 170 55.05

120 20.92

1) 根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与 身高 ykg 与身高 xcm 的函数模型的解析式。 2)若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为 175cm ,体重为 78kg 的在校男生的体重是事正常? 探索以下问题: 1)建立适当的坐标系,根据统计数据,画出它们相应的散点图; 2)观察所作散点图,你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近?

3)你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重 ykg 与身高 xcm 的函数关系比较合适?
114

4)确定函数模型,并对所确定模型进行适当的检验和评价.

5)怎样修正所确定的函数模型,使其拟合程度更好?

解答过程:解:

变式. 将沸腾的水倒入一个杯中, 然后测得不同时刻温度的数据如下表: 时间(S) 温度(℃) 时间(S) 温度(℃) 60 86.86 360 53.03 120 81.37 420 52.20 180 76.44 480 49.97 240 66.11 540 45.96 300 61.32 600 42.36

1)建立适当的坐标系,描点画出水温随时间变化的图象; 2)建立一个能基本反映该变化过程的水温 y (℃)关于时间 x ( s ) 的函数模型,并作出其图象,观察 它与描点画出的图象的吻合程度如何. 3)水杯所在的室内温度为 18℃,根据所得的模型分析,至少经过几分钟水温才会降到室温?再经过 几分钟会降到 10℃?对此结果,你如何评价? 解:

课后巩固练习与提高
1、一辆中型客车的营运总利润 y(单位:万元)与营运年数 x(x∈N)的变化关系如表所示,则客车 的运输年数为()时该客车的年平均利润最大。 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7
115

x年

4

6

8

?

y ? ax 2 ? bx ? c(万元) 7

11

7

?

2、某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行了连续 5 年的 观测,并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测: (1)如果不采取任何措施, 那么到 2010 年底,该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷; (2)如果从 2000 年底后采取植树造林等措 施,每年改造 0.6 万公顷沙漠,那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到 90 万公顷?

观测时间

1996 底



1997 底 0.4000



1998 底 0.6001



1999 底 0.7999



2000 年底

该地区沙漠比原有面积增 加数(万公顷)

0.2000

1.0001

3、 (2003 北京春,理、文 21)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部 租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元.
[来源:Zxxk.Com]

(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

参考答案 1、B

116

故到 2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。 3、 (2003 北京春,理、文 21)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租 出.当 每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未 租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

解: (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为: 了 88 辆车.

3600 ? 3000 =12,所以这时租出 50

(2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为:f(x)=(100-

x ? 3000 ) (x-150) 50

1 x2 x ? 3000 - ×50,整理得:f(x)=- +162x-21000=- (x-4050)2+307050.所以,当 x=4050 时, 50 50 50
f(x)最大,其最大值为 f(4050)=30705 0.即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大, 最大收益为 307050 元.

117


推荐相关:

新课标高中数学必修1全册导学案及答案

新课标高中数学必修1全册导学案及答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档新课标高中数学必修1全册导学案及答案_数学_高中教育_教育专区...


人教版高中数学必修1学案全套

第一章第一部分 集 合 1 、1、1 集合的含义 走进预习 【预习】教材第 3-...高中数学必修1导学案 104页 5下载券 新课标人教版高中数学必... 290页 5...


高中数学新人教版必修1--全套学案

高中数学高一上册必修一... 63页 免费 高中数学必修1导学案 104页 免费 新课程...高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 高中数学新人教必修一全套学案§1.1 ...


新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案(105页)

新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案(105页)_数学_高中教育_教育专区。新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案(课题:1.1.1 集合的含义与表示(1...


高中数学必修1导学案

高中数学必修1导学案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。集合的含义及其表示方法( 1.1.1 集合的含义及其表示方法(1) 一、课前预习新知 课前预习新知、预习...


高中数学必修1全册学案(完整word版)[精品含答案]

高中数学必修1全册学案(完整word版)[精品含答案]_数学_高中教育_教育专区。...(2) 若总运费不得超过 9000 元,问共有几种调运方案 (3) 求出总运费最低...


高一数学必修1导学案正版

高一数学必修1导学案正版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。学识教育数学必修一导学案 § 1.1.1 集合的含义与表示(1) 学习目标 1. 了解集合的含义,体会元素...


新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案

新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案_数学_高中教育_教育专区。高一数学导学案 §1.1.1 集合的含义及其表示 [自学目标] 1.认识并理解集合的含义,知道...


高中数学必修1导学案

高中数学必修1导学案_数学_高中教育_教育专区。高一数学 SX-2013-01-013 第一课时 《根式》导学案编写人: 审核人: 编写时间: 例2:计算: (1) 5 ? 2 6 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com