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公开课抛物线及其标准方程教案第二课时


抛物线及其标准方程教案 2
●教学目标? (一)教学知识点? 1.利用抛物线的标准方程和定义来解决问题.? 2.抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.? (二)能力训练要求? 1.熟练掌握利用抛物线的标准方程和定义来解决问题.? 2.掌握抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.? (三)德育渗透目标? 1.训练学生分析问题与解决问题的能力, 训练学生方程同解变形、 解方程和方程组的运 算能力.? 2.培养学生数形结合、 分类讨论的思想方法, 培养学生利用圆锥曲线定义的解题思想及 方法.? ●教学重点? 1.抛物线定义的应用.? 2.抛物线的焦点弦长求法.? 3.抛物线综合知识的应用.? ●教学难点? 抛物线各个知识点的综合应用.? ●教学方法? 讲练结合法.? ●教具准备? 投影片三张? 第一张:例 1 与例 2(记作§8.5.2 A)? 第二张:例 3 与例 4(记作§8.5.2 B)? 第三张:练习题(记作§8.5.2 C)? ●教学过程? Ⅰ.课题导入? [师]通过上一节课的学习,现在请大家回答下面两个问题:? 1.抛物线的定义是什么?? 2.抛物线的标准方程有几种形式?分别是什么, 并说出对应的焦点坐标和准线方程?? [生]1.平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 2.抛物线的标准方程共四种形式:?

p p ,0),l:x=2 2 p p 2 开口向左,y =-2px(p>1),F(- ,0),l:x= 2 2 p p 2 开口向上,x =2py(p>0),F(0, ),l:x=2 2 p p 2 开口向下,x =-2py(p>0),F(0,),l:y= 2 2
开口向右,y =2px(p>0),F(
2

[师]回答得很好,下面我们看几个例题.? (打出投影片§8.5.2 A)?

Ⅱ.讲授新课? [例 1]点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方 程. [师]想想怎样求点 M 的轨迹方程?? [生]先设 M 的坐标为(x,y),接着用两点间距离公式及点到直线距离公式表示出上面 的关系及条件,则得到有关 x 与 y 的一个关系,再化简即得出结论.? [师]此同学按的是求轨迹方程的一般做法,这种方法在化简时过程比较繁琐,大家应 结合我们今天学的“抛物线及其方程” ,看能否用一种比较简便的方法做出来.? [生]由题可知,点 M 应在直线 l 的右边,否则点 M 到 F 的距离大于它到 l 的距离;其 次, “点 M 与点 F 的距离为它到直线 x+4=0 的距离” ,由此可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点,直 线 x+4=0 为准线的抛物线.? 解:如右图所示,设点 M 的坐标为(x,y)? 由已知条件可知,点 M 与点 F 的距离等于它到直线 x+4=0 的距离. 根据抛物线的定义,点 M 的轨迹是以 F(4,0)为焦点的抛物线.? ∵

p =4 ? 2

∴p=8 ? 2 因为焦点在 x 轴的正半轴上,所以点 M 的轨迹方程为 y =16x.? 2 [例 2]斜率为 1 的直线经过抛物线 y =4x 的焦点,与抛物线交于两点 A、B,求线段 AB 的长.? 先请两名学生在黑板上做,最后老师与全体同学一起订正并归纳,可得以下三种解法. 如图所示,由抛物线的标准方程可知,焦点 F(1,0) ,准线方程 x=-1.? 由题可知,直线 AB 的方程为 y=x-1 ? 2 代入抛物线方程 y =4x,整理得? x2-6x+1=0 ? 解法一:解上述方程得?

x1=3+2 2 ,x2=3-2 2
分别代入直线方程得?

y1=2+2 2 ,y2=2-2 2
即 A、B 的坐标分别为(3+2 2 ,2+2 2 )(3-2 2 ,2-2 2 )? , ∴|AB|= (3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 ) ? 2( 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ) ?
2 2

64 ? 8

解法二:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则? x1+x2=6,x1·x2=1 ? ∴|AB|= 2 |x1-x2|

? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 62 ? 4 ? 8
解法三:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知,|AF|等于点 A 到准线 x=-1 的距离 |AA′|?

即|AF|=|AA′|=x1+1 ? 同理|BF|=|BB′|=x2+1 ? ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8 ? (打出投影片§8.5.2 B)? [例 3]已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5, 求抛物线的标准方程和 m 的值.? 分析:焦点在 x 轴上的抛物线有两种形式,一种开口向右,另一种开口向左,因为 M 的横坐标是-3,所以开口向左.先设出抛物线标准方程,根据 M 在抛物线上与 M 到焦点的距 离等于 5 可得出两个方程.从而得出方程组,解方程组即可.另外也可根据抛物线定义,M 到 焦点的距离等于 M 到准线的距离.因准线方程为 x= 出抛物线方程.? 解法一:设抛物线方程 y =-2px(p>0),则焦点 F(2

p p ,则有 +3=5,即可求得 p,从而得 2 2

p ,0),由题设可得:? 2

?m 2 ? 6 p ? ? 2 p 2 ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ?
解得 ?

?p ? 4

?p ? 4 或? ? m ? 2 6 ? m ? ?2 6
2

故抛物线的方程为 y =-8x,m 的值为± 2 6 .? 解法二:设抛物线方程为 y =-2px(p>0),则焦点 F(2

p p ,0) ,准线方程为 x= . 2 2

根据抛物线的定义,M 到焦点的距离等于 5,也就是 M 到准线的距离等于 5,则?

p +3=5 ? 2
∴p=4 ? 2 因此抛物线方程为 y =-8x ? 又点 M(-3,m)在抛物线上,于是? m2=24 ? ∴m=± 2 6 评述:比较两种解法,可看出运用定义的方法简捷.? 2 [例 4]在抛物线 y =2x 上求一点 P,使 P 到焦点 F 与到点 A(3,2)的距离之和最小. 分析:P 是抛物线上任一点,如按一般思路设出坐标,再用两点间 距离表示出 P 到焦点 F 的距离及 P 到点 A 的距离,接着得出一关系,从 而求最值的话,计算上太繁;此题可用抛物线的定义,用 P 到焦点 F 的 距离等于 P 到准线 l 的距离即可作出.? 解:如下图所示,设抛物线的点 P 到准线的距离为|PQ|? 由抛物线定义可知:|PF|=|PQ|? ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|? 显然当 P、Q、A 三点共线时,|PQ|+|PA|最小.?

∵A(3,2),可设 P(x0,2)代入 y =2x 得 x0=2 ? 故点 P 的坐标为(2,2).? Ⅲ.课堂练习? (打出投影片§8.5.2 C)? 1.焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x-2y-1=0 截得的弦长为 15 , 求这抛物线的标准方程. 分析:焦点是在 y 轴正半轴上还是在 y 轴负半轴上?本题没有指明,应当有两种情况, 2 可以分两种情况来解,但我们可以统一地设抛物线方程 x =ay(a≠0).? 2 解:设抛物线方程为:x =ay(a≠0)? 由方程组 ?

2

? x 2 ? ay ?x ? 2 y ? 1 ? 0
2

消去 y 得:2x -ax+a=0 ? ∵直线与抛物线有两个交点.? 2 ∴Δ =(-a) -4×2×a>0 ? 即 a<0 或 a>8 ? 设两交点坐标为 A(x1,y1) B(x2,y2),则? 、

x1+x2=

a a ,x1·x2= 2 2

2 2 ∴|AB|= (1 ? k )( x1 ? x 2 )

1 ? a a? ? (1 ? ) ?( ) 2 ? 4 ? ? 4 ? 2 2? 1 ? 5(a 2 ? 8a ) 4
∵|AB|= 15 ∴

1 5( a 2 ? 8a ) = 15 4
2

即 a -8a-48=0 ? 解得 a=-4 或 a=12 ? ∴所求抛物线标准方程为? x2=-4y 或 x2=12y ? 2 2.已知抛物线 y=x ,动弦 AB 的长为 2,求 AB 中点纵坐标的最小值.? 分析一:要求 AB 中点纵坐标最小值,可求出 y1+y2 最小值.从形式 上看变量较多,结合图形可以观察到 y1、y2 是梯形 ABC′D′的两底, 这样就使中点纵坐标 y 成为梯形的中位线,可以利用几何图形的性质 和抛物线定义求解.? 2 解法一:设抛物线 y=x 的弦 AB 的端点 A(x1,y1) B(x2,y2),中点 、
2 M(x,y) ,抛物线 y=x 的焦点 F(0,

1 1 ) ,准线 y=- .设 A、B、M 到 4 4

准线距离分别为 AD、BC、MN.

∴2|MN|=|AD|+|BC|,且|MN|=y+ 根据抛物线定义,有? |AD|=|AF|,|BC|=|BF|? ∴2(y+

1 4

1 )=|AF|+|BF|? 4

∵在△ABF 中,|AF|+|BF|≥|AB|=2 ?

1 )≥2 ? 4 3 ∴y≥ 4
∴2(y+ 即 M 点纵坐标的最小值为

3 . 4

分析二:要求 AB 中点纵坐标的最小值,可列出纵坐标 y 关于某一变量的函数,然后求 此函数的最小值.? 2 2 2 解法二:设抛物线 y=x 上点 A(a,a )、B(b,b ),AB 中点 M(x,y).? ∴x=

a?b a 2 ? b2 ,y? 2 2

∵|AB|=2 ? 2 2 2 2 ∴(a-b) +(a -b ) =4 ? 2 2 2 2 2 2 则(a+b) -4ab+(a +b ) -4a b =4 ? 2 2 2 由 2x=a+b,2y =a +b ,得 ab=2x -y ? 2 2 2 2 2 ∴4x -4(2x -y)+4y -4(2x -y) =4 ? 整理得?

y=x2+

1
2

4x ? 1 1 1 1 2 ∴y= (4x +1)+ 2 4 4x ? 1 4
≥2

1 1 4 4
1 3 = 4 4

=1-

1 1 1 2 (4x +1)= 即 x=± 时等号成立.? 2 4 4x ? 1 2 3 ∴AB 中点纵坐标的最小值为 .? 4
当且仅当 Ⅳ.课时小结? 抛物线的定义反映了抛物线的本质,灵活利用定义往往可以化繁为简,化难为易,且思 路清晰,解法简捷,巧妙的解法常常来源于对定义的恰当运用,要很好地体会.? Ⅴ.课后作业? (一)课本 P119 习题 8.5 3、7 ? (二)预习内容:抛物线的简单几何性质.?

●板书设计? 例题 §8.5.2 抛物线及其标准方程 练习题 课时小结


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