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怎样应用“三线合一基本图形”解决问题


探究
一、学习目标:

怎样应用“三线合一基本图形”解决问题

1.回顾和梳理“三线合一基本图形”的有关知识。 2.探索归纳——如何创设应用“三线合一基本图形”的情境。 3.通过本次探究活动,提高基本图形分析法解决几何问题的应用意识。 4.体会到几何知识的运用也是有规律可循的,减少运用几何知识时的思维盲目性。 二、教学方法: 基本

图形分析法 三、教学过程: 一、复习检查 预设:为了根据学生自己复习达到的水平进行辅导,宜一开始就进行学生交流。估计 学生能说出等腰三角形的“三线合一”性质,在给出的基本图形上能进行判断,但可能有 两个方面的困难:一是说理不准确,二是不会自觉去构造基本图形。 1.要求学生独立解答下列各题(1、2 只要说思路,3 要求完整书写): (1)如图,已知 AB=BC,D 是 AC 的中点, ∠A=34°,则∠DBC= 度.

(2)如图,AB=AC,DE 是 AB 的垂直平分线, ∠C=70°,则∠ABE= 度

(3)△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 上的高线, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E、F. 指出图中各对相等的线段,并说明理由.

(预设:题(2)判定 EA=EB 事实上利用了线段的轴对称性质,提醒学生注意;题(3)要
1

求写出解题过程,展示部分学生解题过程,规范书写格式,有利于归纳解题思路。 ) 2.要求学生根据下列要求谈谈自己的复习成果 (1)完整叙述等腰三角形的“三线合一”性质,利用图形说出应用模式;

在△ABC 中, AB=AC, ∵??, ∴??,??。

(2)这个性质在什么条件下能够逆用,为什么? 在△ABC 中, ∵??,??, ∴AB=AC,??。 理解深化: “三线合一”的应用: ①在等腰三角形中,指出“一线” ,它就具有其他“两线”的性质; ②在△ABC 中,AB=AC,BD=CD,AD⊥BC, ∠1=∠2 等四个性质,只要满足其中两个,就能推 导出其余两个性质. (小组讨论、汇报) 二、知识小结 AB=AC ∠1=∠2 AB=AC BD=DC AB=AC AD⊥BC BD=CD AD⊥BC ∠1=∠2 AD⊥BC ∠1=∠2 BD=DC

三、解决问题
2

问题 1. 如图,已知 AB=BC,∠B=120°,DE 是 AB 的垂直平分线.请说明 CD=2 AD 【 预设思维过程:DE 是 AB 的垂直平分线→(联想 到)三线合一基本图形→(图形不完整)连接 BD, 构成三线合一基本图形→解决问题 】 (设计意图:经历在基本图形不完整的情况下通过添线补图成为完整的基本图形的过程, 帮助学生形成正确添加辅助线意识——添辅助线是为了使问题中出现完整的基本图形,从 而能够应用相关的知识解决问题) 问题 2. 在△ABC 中,∠C=2∠B,AD⊥BC,垂足是点 D,那么,BD=CD+AC。请说明理由。
A

B

D

C

学生练习: 已知, 等边三角形 ABC, 是 AC 的中点, E 在 BC 的延长线上, CE =CD。 D 点 且 若 DM⊥BC,垂足为 M,那么 M 是 BE 的中点,请说明理由。 问题 3 如图,已知∠ACB=90°,AE 平分∠BAC, BE⊥AE ,那么 BE=CE。请说明理由。 (本题有一条垂直于角平分线的线段,想到补全 “三线合一基本图形”——延长 BE 和交 AC 的延长线于点 D.) 变式训练 (机动) 如图,AB 是⊙O 的直径,D 是 ⊙O 上一点,AC 平分∠BAD, AD∥BE,已知 AD=5,BE=2, 求⊙O 的直径。 (本题是由《数学教学指南》第 14 讲三角形拓展练习 B 组第 8 题而改编, 图中只有角平分线, 通过圆中直径可以构造垂线,
3

从而应用“三线合一基本图形”解决问题) 四、归纳小结 1. 请学生谈复习体会; 2. 强调两点: (1)当题目中出现等腰三角形和“三线”之一时,直接得到其余两线的性质,但表 达要规范; (2)当题目中没有出现等腰三角形时,要善于发现“补形”的条件:是否能产生“两 线合一”的情境? (3)应用“三线合一基本图形”是一个重要的解题策略,为我们解决问题又提供了 一种手段。 五、布置作业 (见作业纸)

2008 年 4 月 17 日

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