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2015-2016学年高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程课件 新人教B版选修1-1


第二章

圆锥曲线与方程

2.1 椭圆

2.1.1 椭圆及其标准方程

课程目标 1.掌握椭圆的定义,掌握椭圆标准方程的两 种形式及其推导过程. 2.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握待 定系数法求椭圆的标准方程.

学习脉络

1.椭圆的定义

/>
思考 1 椭圆的定义中去掉限制条件后,动点 M 的轨迹还是椭
圆吗? 提示:不一定是.当 2a<|F1F2|时,动点 M 的轨迹不存在.当 2a=|F1F2|时, 动点 M 的轨迹为线段 F1F2.

2.椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 标准方程 焦点坐标 a ,b ,c 的关系
x2 a2

焦点在 y 轴上
y2 a2

+ 2=1(a>b>0)
b

y2

+ 2=1(a>b>0)
b

x2

F1(-c,0),F2(c,0) a2=b2+c2

F1(0,-c),F2(0,c) a2=b2+c2

思考 2 椭圆的标准方程具有怎样的特征? 提示:椭圆的标准方程的几何特征是中心在坐标原点,焦点在坐标轴上. 椭圆的标准方程的代数特征是方程的右边为 1,左边是平方和的形式,并且 分母为不相等的正数.

思考 3 如何根据椭圆的标准方程确定焦点的位置? 提示:依据分母的大小来判断.焦点所在轴的对应分母大.

特别提醒在已知椭圆的标准方程解题时,应特别注意
a>b>0 这个条件.

探究一

探究二

探究三

探究四

利用椭圆的定义解题
椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点 M 的 轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.椭圆的 定义能够对一些距离进行相互转化,简化解题过程.因此,解题过程中遇到涉 及曲线上的点到焦点的距离问题时,应首先考虑是否能够利用椭圆的定义 求解.

探究一

探究二

探究三

探究四

2 2 【典型例题 1】 设 F1,F2 为椭圆 + =1 9 4 | | 点,PF1⊥PF2,且|PF1|>|PF2|,求 1 的值. |2 |

的两个焦点,P 为椭圆上的一

思路分析:利用椭圆的定义,结合直角三角形的三边关系即可求出 |PF1|,|PF2|的值. 解:因为 PF1⊥PF2,所以∠F1PF2 为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2. |1 |2 + |P2 |2 = 20, 所以有 |1 | + |P2 | = 6, | | 解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以 1 =2.
|2 |

探究一

探究二

探究三

探究四

求椭圆的标准方程
解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位”与“定量”:“定位”是要确定 焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;“定量”是确定 a2,b2 的具体数值, 常根据条件列方程(组)求解. 【典型例题 2】 求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过点(0,2)和(1,0); (3)经过点 P(-2 3,1),Q( 3,-2). 思路分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,要注意“定位”与“定 量”.

探究一

探究二

探究三

探究四

解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2 所以设它的标准方程为 2

+

2

2 =1(a>b>0).

所以 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10. 所以 a=5,所以 a2=25. 又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2 2 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 9

(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上,
2 所以设它的标准方程为 2 4 0 + 2 = 1, 2 0 1 + 2 = 1 2

+

2

2 =1(a>b>0).

又椭圆经过点(0,2)和(1,0), 所以

2 = 4, ? 2 = 1.

2 2 所以所求椭圆的标准方程为 +x =1. 4

探究一

探究二

探究三

探究四

(3)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n), 因为点 P(-2 3,1),Q( 3,-2)在椭圆上,
1 , 12 + = 1, 15 所以 解得 1 3 + 4 = 1. = . 5 2 2 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 15 5

=

点评:已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n)的形式有两个优点:(1)列出的方程组中分母 不含字母;(2)不用讨论焦点所在的坐标轴.

探究一

探究二

探究三

探究四

求与椭圆有关的轨迹方程
求与椭圆有关的轨迹方程常用两种方法:(1)定义法,即依据条件确定动 点满足的几何等式,联想椭圆的定义来确定.(2)代入法,即当问题中的动点 轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,可选用代入法求轨迹方程. 【典型例题 3】 如图,已知圆 A:(x+3)2+y2=100,圆 A 内一定点 B(3,0), 圆 P 过点 B 且与圆 A 内切,求圆心 P 的轨迹方程.

探究一

探究二

探究三

探究四

思路分析:根据两圆内切的特点,得出|PA|+|PB|=10.由于点 A 的坐标为 (-3,0),点 B 的坐标为(3,0),所以点 P 的轨迹方程是以 A,B 为焦点的椭圆的标 准方程,这就把求点 P 的轨迹方程的问题转化成了求 a2,b2 的问题. 解:设|PB|=r. 因为圆 P 与圆 A 内切,圆 A 的半径为 10, 所以两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|). 所以点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. 所以 2a=10,2c=|AB|=6, 所以 a=5,c=3. 所以 b2=a2-c2=25-9=16, 即点 P
2 2 的轨迹方程为 + =1. 25 16

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析
易错点 对椭圆的标准方程认识不清
2 2 若方程 + =1 5- -3

【典型例题 4】 错解:由

表示椭圆,求 k 的取值范围.

5- > 0, 得 3<k<5. -3 > 0, 错因分析:错解中没有注意到椭圆方程中 a>b>0 这一条件,当 a=b 时, 方程并不表示椭圆. 正解:由题意,得 5- > 0, < 5, -3 > 0, ? > 3, 5- ≠ -3 ≠ 4. 所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.

1

2

3

4

5

1.下列说法中正确的是(

)

A.已知 F1(-4,0),F2(4,0),则到 F1,F2 两点的距离之和为 8 的点的轨迹是椭圆 B.已知 F1(-4,0),F2(4,0),则到 F1,F2 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆 C.到 F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1,F2 的距离之和的点 的轨迹是椭圆 D.到 F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 解析:因为|F1F2|=8,所以 A 中轨迹应为线段 F1F2,B 中轨迹不存在,D 中轨迹 应为直线,C 中轨迹为椭圆. 答案:C

1

2

3

4

5

2 2 2.椭圆 + =1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则点 P 到另一个焦点的距 25 9

离为( A.5 答案:A

) B.6 C.4 D.12

1

2

3

4

5

3.椭圆 25x2+16y2=400 的焦点坐标为 c2=a2-b2=25-16=9,所以 c=3. 所以焦点为(0,-3),(0,3),焦距为 6. 答案:(0,3),(0,-3) 6

;焦距为

. y 轴上,又

2 2 解析:将椭圆方程化为标准形式可得 + =1,可知其焦点在 16 25

1

2

3

4

5

4.椭圆的一个焦点坐标为(0,-3),且过点(4,0),则椭圆的标准方程 为
2 2 答案: + =1 25 16

.

1
2 2 解:由 9x +5y =45,得 + =1,其焦点分别为 5 9 2 2 标准方程为 2 + 2=1(a>b>0).
2 2

2

3

4

5

5.求与椭圆 9x2+5y2=45 有相同的焦点,且经过点 M(2, 6)的椭圆的标准方程. F1(0,-2),F2(0,2).设所求椭圆的

因为点 M(2, 6)在椭圆上,所以|MF1|+|MF2|=2a,即 2a= (2-0)2 + ( 6 + 2)2 + (2-0)2 + ( 6-2)2 =4 3,即 a=2 3, 所以 b =a -c
2 2 2

2 2 =8,所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 12 8


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