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高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳


数列知识点总结
一、等差数列与等比数列
定义 通项公式 递推公式 中项 等差数列 a n ?1 - an =d 等比数列

a n ?1 =q(q ? 0) an
an = a 1 q n ?1 (q ? 0) an = a n ?1 q an = a m q n ? m
a n?k ? an?k (n,k 2

>G 2 ? ab 。 推广: G= ? an?k an?k (n,k + 。任意两数 a、c 不一定 ? N ;n>k>0)
有等比中项, 除非有 ac>0, 则等比中 项一定有两个

an = a 1 +(n-1)d an = a n ?1 +d,
A=

an = a m +(n-m)d
推广:A=

? N+ ;n>k>0)
前 n 项和

a?b 2

n S n = ( a 1 + an ) 2 n ( n ? 1) d S n =n a1 + 2
( 2 )数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ? 仍为等差数 列,公差为 n d ; (3)若三个成等差数列,可设为
2

a1 (1 ? q n ) 1? q a ? an q Sn = 1 1? q
Sn =

性质

(1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; ( 1 ) 若 m ? n ? p ? q , 则

am · an ? a p · aq

列, Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数

(2)Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍 为等比数列,公比为 q
n

a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别 a S 为 Sn,Tn ,则 m ? 2 m?1 bm T2 m?1
(5) ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn

( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二 次函数) (6)d=

a m ? an (m ? n) m?n

(7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列

二、求数列通项公式的方法
1、通项公式法:等差数列、等比数列 2、涉及前n项和 Sn 求通项公式,利用 an 与 Sn 的基本关系式来求。即 a n ? ? 例 1、在数列{ a n }中, Sn 表示其前n项和,且 Sn ? n ,求通项 a n .
2

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

例 2、在数列{ a n }中, Sn 表示其前n项和,且 Sn ? 2 ? 3a n ,求通项 a n 3、已知递推公式,求通项公式。 (1)叠加法:递推关系式形如 a n ?1 ? a n ? f ?n ? 型

例 3、已知数列{ a n }中, a 1 ? 1, a n ?1 ? a n ? n ,求通项 a n 练习 1、在数列{ a n }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ? 2n ,求通项 a n

a n ?1 ? f ?n ? 型 an n 例 4、在数列{ a n }中, a 1 ? 1, a n ?1 ? a n ,求通项 a n n ?1 练习 2、在数列{ a n }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ? 2n ,求通项 a n
(2)叠乘法:递推关系式形如

(3)构造等比数列:递推关系式形如 a n ?1 ? Aan ? B (A,B 均为常数,A≠1,B≠0) 例 5、已知数列{ a n }满足 a1 ? 4 , a n ? 3a n ?1 ? 2 ,求通项 a n 练习 3、已知数列{ a n }满足 a1 ? 3 , a n ?1 ? 2a n ? 3 ,求通项 a n (4)倒数法 例 6、在数列{an}中,已知 a 1 ? 1, a n ?1 ?

四、求数列的前 n 项和的方法
1、利用常用求和公式求和: 等差数列求和公式: S n ?

2a n ,求数列的通项 a n an ? 2

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
2、错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和,其中 {an } 、 {bn } 分别是等差数列和等比数列 .[例 1] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

[例 2] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 3、 倒序相加法: 数列 { an } 的第 m 项与倒数第 m 项的和相等。 即: a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a m ? a n ?m?1 [例 3] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

[例 4] 函数 f ?x ? 对任 x ? R 都有 f ?x ? ? f ?1 ? x ? ?

1 ,求: 2

?1? ?2? ? n ?1 ? f ?0? ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? f ?1? ?n? ?n? ? n ?
4、分组求和法:主要用于求数列{an ? bn}的前 n 项和,其中 {an } 、 {bn } 分别是等差数列和等比数列 [例 5] 求数列: 1 ?

1 1 1 1 ,2 ? ,3 ? ,? , n ? n ,? 的前 n 项和 2 4 8 2

[例 6] 求和: ?a ?1? ? a ? 2 ? a ? 3 ? ? ? a ? n
2 3 n

?

? ?

?

?

?

5、裂项相消法:通项分解 (1) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

(2) a n ?

1 1 1 1 ? ( ? ) n (n ? k ) k n n ? k 1 1 ? ( n ? k ? n) n?k ? n k

(3) a n ?

(4) a n ?

[例 7] 在数列{an}中, a n ?

1 2 n 2 ? ?? ? ,又 b n ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

[例 8] 已知正项数列{an}满足 a 1 ? 1且 a 2 n ?1 ? a 2 n ? 1 n ? N* (Ⅰ)求数列{an}的前 n 项的和 (Ⅱ)令 b n ?

?

?

1 ,求数列{bn}的前 n 项的和 Tn a n ? a n ?1

五、在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题
:(1)当 a 1 >0,d<0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最大值. a ? 0 ? m?1

(2)当 a 1 <0,d>0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。 ?am?1 ? 0


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