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A06 专题六 排列、组合、概率与统计


一.选择题 1. 6 个人并排站成一排, B 站在 A 的右边, C 站在 B 的右边, 则不同的排法总数为 ( A
3 4 A3 A4



B

4 A4

C

6 3 A6 ? A3

D

4 3 A4 A5


2.某人射击 8 次,命中 4 次,并且恰好有 3 次命中排在一起,则不同的结果有( ) A 20 种 B 240 种 C 480 种 D 720 种 3.两人掷一枚硬币,掷出正面者为胜,但这枚硬币不均匀,以致出现正面的概率 P1 与出 现反面的概率 P2 不相等.已知出现正面与出现反面是对立事件.设两人各掷一次成平局的概 率为 P,则 P 与 0.5 的大小关系为( ) A P<0.5 B P>0.5 C P=0.5 D 不确定 4.三边长均为整数,且最长边长为 11 的三角形的个数为( ) A 25 B 26 C 36 D 37 5.某体育彩票规定:从 01 到 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元.某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号,从 11 至 20 中选 2 个连续的号,从 21 至 30 中选 1 个号,从 31 至 36 中选 1 个号,组成一注,则这人把这种特征的号买全,至少要花( ) A 3360 元 B 6720 元 C 4320 元 D 8640 元 8 5 6.在(x?1)(x+1) 的展开式中 x 的系数是( ) A ?14 B 14 C ?28 D28 7 .若 (1 ? 2 x) =( A )
100

? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) 2 ? ? ? a100 ( x ? 1)100 , 则 a1 ? a 2 ? ? ? a100

5100 ? 3100

B

5100

C

3100
n ??

D

3100 ? 1

8.若二项式 ( x x ? ) 展开式中的第 5 项是 5,则 lim (
6

1 x

A

1 2

B

3 8

C 1

1 1 1 ? 3 ? ? ? 2 n?1 ) 等于 x x x 9 D 8


9.将 1,2,?,9 这 9 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为(

1 1 1 1 A. B. C. D. 70 336 56 420
10.为了解某校高三学生的视力情况,随机 频率 地抽查了该校 100 名高三学生的视力情 组距 况,得到频率分布直方图,如右,由于 不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的 频数成等比数列,后 6 组的频数成等差 数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 0.3 5.0 之间的学生数为 b, 则 a, b 的值分别 0.1 4.3 4.4 为( ) A.0,27,78 B.0,27,83 C.2.7,78 二.填充题

视力
4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

D.2.7,83

11 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示) 12.左口袋里装有 3 个红球,2 个白球,右口袋里装有 1 个红球.若从左口袋里取出 1 个球 装进右口袋里,掺混好后,再从右口袋里取出 1 个球,这个 球是红球的概率为__ 13.如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给它们着色,要求 相邻区域不得使用同一种颜色.若有 4 种颜色可供选择,则不同的着 色方法共有___(用数字作答) 14.某学校共有教师 490 人,其中不到 40 岁的有 350 人,40 岁及以上的有 140 人.为了了解普通话在该校中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全 体教师中抽取一个容量为 70 人的样本进行普通话水平测试,其中在不到 40 岁的教师中应 抽取的人数为_____. 三、解答题 15.假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为 1-P,且各引擎是否故障是相互独立,如 有至少 50%的引擎能正常运行,飞机就可以成功飞行,问对于多大的 P 而言,四引擎飞机 比二引擎更安全? 16.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致 相等,而每个保护区每个季度发现的违反保护条例的事件次数的分布列分别为 甲保护区 乙保护区
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?
P

0 0.3

1 0.3

2 0.2

3 0.2

?
P

0 0.1

1 0.5

2 0.4

试评定这两个保护区的管理水平. 17 某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A,有 5 次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法? 18 二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 中选取 3 个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条? 19.某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正 常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上 的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作, 只更换已坏的灯泡, 平时不换. (Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的 概率; (Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换 4 只灯泡的概率 (结果保留两个有效数字).
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20. 设函数 f n ( x) ? C n ? C n x ? C n x ? ? ? C n x
2 3 4 2 n

n?2

(n ? N , n ? 2) , 当 x>-1 且 x≠0

时,试证明: f n ( x) ? 0 恒成立. 参考答案
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1. C 提示:6 个人的全排列中,A、B、C 三人的顺序已定. 2. A 提示:将 3 次和 1 次命中看着 2 个元素插入四次未命中的空中,有 A5 种. 3. B 提 示 : 因 为 P1≠P2 , P1 + P2 = 1 , P = P 1 ? P2 , 又 因 为
2 2
2

P12 ? P22 P ? P2 2 1 ?( 1 ) ? , P12 ? P22 >0.5 2 2 4
4. C 提示:另两边边长用 x, y 表示,且不妨设 1≤x≤y≤11, 构成三角形必须 x+y≥12.当 y 取 11 时,x=1,2,3,?,11,可能有 11 个三角形;当 y 取 10 时, x=2,3,?,10,可能有 9 个三角形;??;当 y 取 6 时,x=6,有 1 个三角形; 所以所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36 个. 5. D 提示:这种特殊要求的号共有 8 ? 9 ?10 ? 6 ? 4320 (注). 6. B 7. A 提 示 : 令 x-1=0, 即 x=1 时 得 到 a 0 ? 3
100

, 再 令 x-1=1 即 x=2 时 得

a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a1 0 0 ? 51 0 0,∴ a1 ? a 2 ? ? ? a100 ? 5100 ? 3100 .
8. B 提示: T5 ? 15 x
?1

? 5 ,x=3,原式= 3
1 1? 9

1

?

3 8

9.A 提示:将 1,2,3,?,9 平均分成三组的数目为 数成等差数列,种数为 4,所以答案为 B

3 3 3 C9 C6 C3 ? 280 ,又每组的三个 3 A3

10.A 提示:由图象可知,前 4 组的公比为 3,最大频率 a ? 0.1? 3 ? 0.1 ? 0.27 ,
4

设后六组公差为 d ,则 0.01 ? 0.03 ? 0.09 ? 0.27 ? 6 ?

5? 6 d ? 1 ,解得: d ? ?0.05 , 2

后四组公差为-0.05, 所以,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为(0.27+0.22+0.17+ 0.12)×100=78(人).选 A. 11.30 提示
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因为直线过原点,所以 C=0,从 1,2,3,5,7,11 这 6 个数中任取
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2 2 个作为 A、B 两数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数为 A 6 =30

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12.

4 15

提示:分两种情况,从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里,则从右

边口袋里取出的是红球,其概率是 里取出的是红球,其概率是 13.72

3 2 ? ;从左边口袋里取出的是白球,再从右边的口袋 5 6

2 1 ? ,相加得所求概率. 5 6 350 x ,则 x= ? 140 70 ? x
4 4

14.50 提示:设不到 40 岁的教师中应抽取的人数为 x 人,则 50

15.解:四引擎飞机成功飞行的概率为 C 4 P (1 ? P) ? C 4 P (1 ? P) ? C 4 P ;二引
2 2 2 3 3

擎飞机成功飞行的概率为 C 2 P(1 ? P) ? C 2 P ,要使四引擎的飞机比二引擎的飞机更安
1 2 2

全,则 C 4 P (1 ? P) ? C 4 P (1 ? P) ? C 4 P ≥ C 2 P(1 ? P) ? C 2 P ,解得 P≥
2 2 2 3 3 4 4 1 2 2

2 3

16.解:甲保护区的违规次数的数学期望与方差分别为 1.3 和 1.21;乙保护区违规次 数的数学期望与方差分别为 1.3 和 0.41.两保护区每季度发生的违规平均次数相等,但乙 保护区的违规事件次数更集中和稳,而甲保护区的违规事件数相对分散和波动. 17 解 出牌的方法可分为以下几类
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(1)5 张牌全部分开出,有 A 5 5 种方法;
2 (2)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 5 种方法; 4 (3)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 5 种方法; 2 (4)2 张 2 一起出,3 张 A 分两次出,有 C 3 A3 5 种方法;

(5)2 张 2 分开出,3 张 A 一起出,有 A 3 5 种方法;
2 4 (6)2 张 2 分开出,3 张 A 分两次出,有 C 3 A5 种方法
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2 4 2 3 3 2 4 因此,共有不同的出牌方法 A 5 5 +A 5 +A 5 +A 3 A 5 +A 5 +C 3 A 5 =860 种
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18 解 由图形特征分析,a>0,开口向上,坐标原点在内部 ? f(0)=c<0;a<0,开口 向下, 原点在内部 ? f(0)=c>0,所以对于抛物线 y=ax2+bx+c 来讲, 原点在其内部 ? af(0)=ac < 0, 则确定抛物线时,可先定一正一负的 a 和 c ,再确定 b, 故满足题设的抛物线共有
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1 2 1 C1 3 C 4 A 2 A 6 =144 条

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19.解: (I)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为 p1 , 需要更换 2

5

2 3 只灯泡的概率为 C5 p1 (1 ? p1 ) 2 ;

(II)对该盏灯来说,在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为(1-p1)2;在第一次未更换 灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1(1-p2),故所求的概率为

p ? (1 ? p1 ) 2 ? p1 (1 ? p 2 );
(III)至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况,换 5 只的概率为 p5(其中 p 为
1 4 (II)中所求,下同)换 4 只的概率为 C 5 ,故至少换 4 只灯泡的概率为 p (1-p)

1 4 p3 ? p 5 ? C5 p (1 ? p).

又当p1 ? 0.8, p 2 ? 0.3时, p ? 0.2 2 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.6 ? p3 ? 0.6 5 ? 5 ? 0.6 4 ? 0.4 ? 0.34. 即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.
20.解: x f n ( x) ? (1 ? x) ? nx ? 1,要证 f n ( x) ? 0 由于 x>-1 且 x≠0 所以只要用
2 n

数学归纳法证明 x f n ( x) ? (1 ? x) ? nx ? 1 ? 0 即可.
2 n

【挑战自我】 已 知 数 列 { an } 满 足 an = n2n-1(n>0,n∈Z), 是 否 存 在 等 差 数 列 { bn } , 使 an =
1 2 n b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n 对一切自然数 n 成立,证明你的结论.

解:n=1 时 b1=1,当 n=2 时 b2=2,因为{bn}是等差数列,∴bn=n. 当 bn=n 时, b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n = C n ? 2C n ? ? ? nCn .
1 2 n 1 2 n

令 xn= b1C n ? b2 C n ? ? ? bn ?1C n = C n ? 2C n ? ? ? (n ? 1)C n
1 2 1 2

n ?1

n ?1

= (n ? 1)C n
1

n ?1

n?2 1 ? (n ? 2)C n ? ? ? Cn . 2 n ?1 n

2xn= n(C n ? C n ? ? ? C n ) ? n(2 ? 2) ∴xn= n(2
n ?1

? 1) .

1 2 n n n n ?1 n ?1 b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n =xn+ bn C n = n(2 ? 1) + bn C n = n2



an= b1C n ? b2 C n ? ? ? bn C n 对一切自然数 n 成立
1 2 n

【答案及点拨】

演变 1:由题意分析,如图,先把标号为 1,2,3,4 号化工 产品分别放入①②③④4 个仓库内共有 A4 ? 24
4

P 1 A 5 B 6 C 2 8 7 3 4 D

种放法;再把标号为 5,6,7,8 号化工产品对 应按要求安全存放: 7 放入①,8 放入②,5 放入③,6 放入④;或者 6 放入①,7 放入②,8 放入③, 5放 入④两种放法.综上所述:共有 A4 ? 2 ? 48 种放
4

法.故选 B. 演变 2:设四个人为 A,B,C,D. (1)设 A 选甲且回答对,则选 B、C、D 回答错有 C 3 种;余下两人答乙,一个答对,一 个答错共有:C 3 .A 2 ? 6 种.
1 1

2

(2)设 A 选甲且回答错,同(1)有 6 种. 同理 B,C,D 再同样讨论,则共有 12+12+12+12=48 种. 除去其中有 12 种重复的情况. 综合得 4 位同学不同的得分情况为 36 种.故选 B 演变 3: (3 x ?

1
3

x

2

) n 的展开式中各项系数之和为 128,所以 n=7,展开式中第 7 项为
1 21 1 ,∴ 3 的系数是 21. [答案] C 3 x x

6 T6?1 ? C7 (3x)1 ? (?

3

x

2

)6 ?

演变 4:解: ( x ?

5 4 5 r ) 的通项为 Tr ?1 ? C 4 ? x 4?r ? ( ) r ,? 4 ? r ? 3,? r ? 1 , 4 4 5 5 1 ∴ ( x ? ) 4 的展开式中 x 3 的系数是 C 4 ? ? 5, 4 4
( x cos? ? 1) 5 的通项为 TR ?1 ? C5R ? ( x cos? ) 5? R ,? 5 ? R ? 2,? R ? 3 ,
3 ? cos2 ? ? 5, ∴ ( x cos? ? 1) 5 的展开式中 x 2 的系数是 C5

∴ cos 2 ? ?

1 2 , cos? ? ? . 2 2

演变 5 : ( Ⅰ ) 依题意 , 记“甲投一次命中”为事件 A, “乙投一次命中”为事件 B, 则 P(A)=

1 2 1 3 ,P(B)= ,P( A )= ,P( B )= 2 5 2 5

甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的事件为 A ? B ? B ? A P( A ? B ? B ? A )=P( A ? B )+P( A ? B )=

1 3 2 1 1 ? ? ? ? 2 5 5 2 2 1 2

答:甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率为

1 1 3 3 9 ? ? ? ? 2 2 5 5 100 9 91 ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为 P=1- P =1? 100 100 91 答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为 100 n(n ? 1) 2 1 Cn n(n ? 1) 2 演变 6:解:(I)设袋中原有 n 个白球,由题意知 ? 2 ? ? 7?6 7 C7 7?6 2 可得 n ? 3 或 n ? ?2 (舍去)即袋中原有 3 个白球.
(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是 P ? (II)由题意, ? 的可能取值为 1,2,3,4,5

3 4?3 2 4 ? 3? 2 6 P(? ? 1) ? ; P ?? ? 2 ? ? ? ; P(? ? 3) ? ? ; 7 7?6 7 7 ? 6 ? 5 35 4 ? 3? 2 ? 3 3 4 ? 3 ? 2 ? 1? 3 1 P(? ? 4) ? ? ; P(? ? 5) ? ? ; 7 ? 6 ? 5 ? 4 35 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 35
所以 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

4

5

3 7

2 7
22 35

6 35

3 35

1 35

(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第 5 次取球,记”甲取到白球”为事件 A , 则 P( A) ? P ?? ? 1? ? P ?? ? 3? ? P ?? ? 5? ?


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