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2.4等比数列学案


第二章 2.4

数列 等比数列

一、 【课标要求】 1.等比数列定义; 2.等比数列概念的理解与掌握;等比数列的通项公式的推导及应用; 3."等比"的理解、把握和应用; 二、 【知识梳理】 (根据以下提纲,预习教材第 48 页~第 51 页) 1.如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列 叫等比数列,这个数列叫等比数列,这个常数叫等比数列的 公比 . 2. an ? a1q n?1 n ? N *

?

?.
2

3. an ? a m ? q n?m 或 a m ? an ? q m?n 4.如果 a 、 G 、 b 三个数满足 G ? ab 且 a, b ? 0 .则 G 为 a 与 b 的 等比中项 . 三、 【基础练习】 1.试判断下列数列是否为等比数列. ⑴ an ? ?? 2?
n ?3

,n? N ;
*

⑵ an ? n ? 2 n , n ? N * ; ⑶ an ? ?1 ,

n? N *

四、 【方法归纳】 例 1 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18 ,求它的第 1 项与第 2 项.

16 ? a ? n ?1 1 ? ? 16 ? 3 ? ? ?a1 q ? 12 3 解:由 a3 ? 12, a4 ? 18 知 ? ,解得 ? ? an ? ? ? , ?n ? N *? 3 3 3 ?2? ? a q ? 18 ? 1 ? q? ? 2 ?
2

? a1 ?

16 , a2 ? 8 . 3

总结升华:象等差数列的计算一样,等比数列中基本量的计算式最重要最基本的方法. 例 2.等比数列的前三项和为 168 , a2 ? a5 ? 42 ,求 a5 , a7 . 解:设该等比数列的公比为 q ,首项为 a1 ,由已知

1

2 ? ?a1 ? a1 q ? a1 q ? 168 , ? 4 ? ?a1 q ? a1 q ? 42

?a1 ? 96 2 ? ?a1 1 ? q ? q ? 168 ? ?? ,解得 ? 1 , 3 q? ? ?a1 q 1 ? q ? 42 ? 2 ?

?

?

?

?

? a 5 ? 6, a 7 ?

3 . 2

总结升华:首项 a1 和公比 q 构成等比数列的基本量,从基本量入手解决相关问题是研 究等比数列的基本方法. 例 3.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an n ? N * , 求证: 数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列. 解 : 由 题 意 可 知 an?2 ? an?1 ? 2?an?1 ? an ? , 所 以

?

?

a n? 2 ? a n ?1 1 ? n ? N* ,故数列 a n ?1 ? a n 2

?

?

?an?1 ? an ?是等比数列
总结升华: 对于等比数列的证明可以采用定义,也可以采用等比中项. 五、 【高考链接】 1.(2012·南京模拟)已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2·a4=4,a1+a2+a3=14,则满足 an+an+1+an+2>的最大正整数 n 的值为________. 2.(2012·徐州模拟)已知{an}是等比数列,a2=2,则 a1a2+a2a3+…+anan+1=______. 3.(2011·东台模拟)各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=________.

答案与解析 三:⑴是;⑵不是;⑶是; 五、1.【解析】a2·a4=(a1q2)2=4,∴a1q2=2, a1(1+q+q2)=14,解得 a1=8, an(1+q+q2)>qn-1×14> ,∴n≤7. 答案:7 2.【解析】∵a2=2,a5=∴a1=4,q= a1a2+a2a3+…+anan+1=(1-4-n). 答案:(1-4-n)
2

3【解析】∵a1+a2+a3=21, ∴a1+a1·q+a1·q2=21,3+3×q+3×q2=21, 1+q+q2=7,解得 q=2 或 q=-3, ∵an>0,∴q=2, a3+a4+a5=21×q2=21×4=84. 答案:84 【误区警示】解答本题易忽略判断 an>0,而导致求错 q 值.

3


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