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高考不等式经典例题


高考不等式专题精练(教师专用)

高考不等式经典例题
【例 1】已知 a>0,a≠1,P=loga(a3-a+1),Q=loga(a2-a+1),试比较 P 与 Q 的大小. 【解析】因为 a3-a+1-(a2-a+1)=a2(a-1), 当 a>1 时,a3-a+1>a2-a+1,P>Q; 当 0<a<1 时,a3-a+1<a2-a+1,P>Q;

综上所述,a>0,a≠1 时,P>Q. 【变式训练 1】已知 m=a+ A.m<n 1 1 - (a>2),n=x 2(x≥ ),则 m,n 之间的大小关系为( 2 a-2 B.m>n C.m≥n D.m≤n )

【解析】选 C.本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递. m=a+ 1 1 1- - =a-2+ +2≥2+2=4,而 n=x 2≤( ) 2=4. 2 a-2 a-2

【变式训练 2】已知函数 f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围. 【解析】由已知-4≤f(1)=a-c≤-1,-1≤f(2)=4a-c≤5. 令 f(3)=9a-c=γ(a-c)+μ(4a-c),

5 ? ? ?? , ? ?? ? 4 ? ? 9, ? 3 所以 ? ?? ?? ? ? ? ? ?1 ?? ? 8 ? 3 ?
5 8 故 f(3)=- (a-c)+ (4a-c)∈[-1,20]. 3 3 题型三 开放性问题 c d > ;③bc>ad.以其中两个作条件,余下的一个作结论,则能组 a b

【例 3】已知三个不等式:①ab>0;② 成多少个正确命题?

c d bc-ad 【解析】能组成 3 个正确命题.对不等式②作等价变形: > ? >0. a b ab bc-ad (1)由 ab>0,bc>ad? >0,即①③?②; ab (2)由 ab>0, bc-ad >0?bc-ad>0?bc>ad,即①②?③; ab bc-ad >0?ab>0,即②③?①. ab

(3)由 bc-ad>0,

故可组成 3 个正确命题. 【例 2】解关于 x 的不等式 mx2+(m-2)x-2>0 (m∈R). 【解析】当 m=0 时,原不等式可化为-2x-2>0,即 x<-1; 当 m≠0 时,可分为两种情况: 2 (1)m>0 时,方程 mx2+(m-2)x-2=0 有两个根,x1=-1,x2= . m 2 所以不等式的解集为{x|x<-1 或 x> }; m (2 )m<0 时,原不等式可化为-mx2+(2-m)x+2<0,

高考不等式专题精练(教师专用) m+2 2 2 其对应方程两根为 x1=-1,x2= ,x2-x1= -(-1)= . m m m 2 ①m<-2 时,m+2<0,m<0,所以 x2-x1>0,x2>x1, 不等式的解集为{x|-1<x< }; m ②m=-2 时,x2=x1=-1,原不等式可化为(x+1)2<0,解集为?; 2 ③-2<m<0 时,x2-x1<0,即 x2<x1,不等式解集为{x| <x<-1}. m ax-1 【变式训练 2】解关于 x 的不等式 >0. x+1 【解析】原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0. 1 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x<-1};当 a>0 时,不等式的解 集为{x|x> 或 x<-1}; a 1 当-1<a<0 时,不等式的解集为{x| <x<-1};当 a=-1 时,不等式的解集为?; a 1 当 a<-1 时,不等式的解集为{x|-1<x< }. a 【例 3】已知 ax2+bx+c>0 的解集为{x|1<x<3},求不等式 cx2+bx+a<0 的解集. 【解析】由于 ax2+bx+c>0 的解集为{x|1<x<3},因此 a<0, 1 解得 x< 或 x>1. 3

(1)z=x+2y-4 的最大值;

2y+1 (2)z=x2+y2-10y+25 的最小值; (3)z= 的取值范围. x+1

【解析】作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标 A(1,3),B(3,1),C(7,9). (1)易知直线 x+2y-4=z 过点 C 时,z 最大. 所以 x=7,y=9 时,z 取最大值 21. (2)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方, 过点 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上, |0-5+2| 2 9 故 z 的最小值是( )= . 2 2 1 y-(- ) 2 1 (3)z=2· 表示可行域内任一点(x,y)与定点 Q(-1,- )连线斜率的 2 倍. 2 x-(-1) 7 3 3 7 因为 kQA= ,kQB= ,所以 z 的取值范围为[ , ]. 4 8 4 2 【例 1】(1)设 x,y∈R+,且 xy-(x+y)=1,则( A .x+y≥2( 2+1) B .x+y≤2( 2+1) a+b , 2 ) D. x+y≥( 2+1)2 .

C. x+y≤2( 2+1)2

(2)已知 a,b∈R+,则 ab,

a2+b2 2ab , 的大小顺序是 2 a+b

x+y 2 x+y 2 【解析】(1)选 A.由已知得 xy=1+(x+y),又 xy≤( ) ,所以( ) ≥1+(x+y). 2 2 解得 x+y≥2( 2+1)或 x+y≤2(1- 2). (2)由 因为 x+y>0,所以 x+y≥2( 2+1).

a+b 2ab 2ab ≥ ab有 a+b≥2 ab,即 a+b≥ ,所以 ab≥ . 2 a +b ab

高考不等式专题精练(教师专用) a+b = 2 a2+2ab+b2 ≤ 4 2(a2+b2) ,所以 4 a2+b2 a+b ≥ , 2 2 a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ . 2 2 a +b .



所以

1 1 λ 【变式训练 1】设 a>b>c,不等式 + > 恒成立,则 λ 的取值范围是 a-b b-c a-c 【解析】(-∞,4).因为 a>b>c,所以 a-b>0,b-c>0,a-c>0. 而(a-c)( 1 1 1 1 + )=[(a-b)+(b-c)]( + )≥4,所以 λ<4. a-b b-c a-b b-c ;

5 1 【例 2】(1)已知 x< ,则函数 y=4x-2+ 的最大值为 4 4x-5

5 1 1 【解析】(1)因为 x< ,所以 5-4x>0. 所以 y=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1. 4 4x-5 5-4x 1 当且仅当 5-4x= ,即 x=1 时,等号成立. 5-4x 所以 x=1 时,ymax=1. (a+b)2 的取值范围. cd

【变式训练 2】已知 x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,求 【解析】由等差数列、等比数列的性质得 a+b=x+y, cd=xy,所以 故

(a+b)2 (x+y)2 (a+b)2 (a+b)2 x y y y = =2+ + ,当 >0 时, ≥4;当 <0 时, ≤0, cd xy y x x cd x cd

(a+b)2 的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞). cd 已知 x, y, ? 0,



2 8 ? ? 1,求 xy 的最小值。 x y
2 2

?2 8? 4 y 64 x 4 y 64 x ? ? 32 ? 2 ? 32 ? 64 。 解: xy ? xy 1 ? xy ? ? ? ? x y x y ?x y?
当且仅当

2 8 1 ? ? 时,即 x ? 4. y ? 16 ,上式取“=” ,故 ? xy ? ? 64 。 min x y 2
x ? 1 ,求函数 y ?



已知 0 ?

4 1 ? 的最小值。 x 1? x 解:因为 0 ? x ? 1 ,所以 1 ? x ? 0 。
所以

y?

4 ?1 ? x ? 4 1 1 ? x ?4 ? ?? x ? 1 ? x ? ? 5 ? ? ?9。 ? ? ? ? ? ? ? x 1? x x 1? x ? x 1? x ?
4 ?1 ? x ? x 2 ? 时,即 x ? ,上式取“=” ,故 ymin ? 9 。 3 x 1? x
?

当且仅当



已知 x, y, z ? R ,且 x ?

y ? z ? 1 ,求

1 4 9 ? ? 的最小值。 x y z

解:设 ?

? 0 ,故有 ? ? x ? y ? z ?1? ? 0 。

高考不等式专题精练(教师专用)

? ?9 1 4 9 1 4 9 ?1 ? ?4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? y ? z ? 1? ? ? ? ? x ? ? ? ? ? y ? ? ? ? ? z ? ? ? x y z x y z ?x ? ?y ? ? ?z
? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? ? ? 12 ? ? ? 。当且仅当
1 2 3 1 4 9 ? ? x, ? ? y, ? ? z 同时成立时上 x y z
x ? y ? z ? 1 , 解 得 ? ? 36
,此时

述不等式取“=” ,即

x?

?

,y?

?

,z ?

?

,代入

1 4 9 ,故 ? ? 的最小值为 36。 12 ? ? ? ? 36 x y z
例 若正实数 x,y 满足 xy

? 2x ? y ? 6

,则 xy 的最小值是

。 (变式:求 2x+y 的最小值为

______) 答案:18 解:因为 x>0,y>0 ,所以 xy ? 2x ?

y ? 6 ? 2 2xy ? 6 ,

xy ? 2 2xy ? 6 ? 0 ,解得 xy ? 3 2或 xy ? ? (舍) 2
等号当且仅当 2x=y=6 时成立,故 xy 的最小值为 18。 变式答案:12

解:因为 x>0,y>0 ,所以 xy

1 2x ? y 2 ? 2x ? y ? 6 ? ( ) 2 2

整理得 (2 x ?

y)2 ? 8(2x ? y) ? 48 ? 0 ,解得 2 x ? y ? 12或2 x ? y ? ?4(舍)

等号当且仅当 2x=y=6 时成立,故 2x+y 的最小值为 12。 例 若对任意 x

? 0,

x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2



答案: a

?

1 5

解:因为 x

1 ? 2 (当且仅当 x=1 时取等号) ,所以有 x x 1 1 1 1 x 1 ? ? ? 2 的最大值为 ,故 a ? 。 x ? 3x ? 1 x ? 1 ? 3 2 ? 3 5 ,即 2 5 x ? 3x ? 1 5 x

? 0 ,所以 x ?


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