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高中数学人教B版选修2-1同步练习:3.2.4二面角及其度量(含答案)


3.2.4 二面角及其度量

一、选择题 1.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二 面角的大小关系是( A.相等 C.相等或互补 [答案] C [解析] 二面角的两个面对应平行,当方向相同时,两个二面角大小相等,当方向不同 时,两个二面角大小互补. 2. 已知平面 α 内有一个以 AB 为直径的圆, PA⊥α, 点 C 在圆

周上(异于点 A, B), 点 D、 E 分别是点 A 在 PC、PB 上的射影,则( ) ) B.互补 D.不能确定

A.∠ADE 是二面角 A—PC—B 的平面角 B.∠AED 是二面角 A—PB—C 的平面角 C.∠DAE 是二面角 B—PA—C 的平面角 D.∠ACB 是二面角 A—PC—B 的平面角 [答案] B [解析] 由二面角定义及三垂线定理知选 B. 3.正方形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,若 PA=AB,则平面 PAB 与平 面 PCD 所成的角的度数为( A.30° C.60° [答案] B [解析] ∠DPA 为二面角平面角,而在 Rt△PAD 内,∠APD=45° .故选 B. 4.如图正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1 和 DD1 的中点,则平面 ECF 与 平面 ABCD 的夹角的余弦值为( A. 3 3 ) B. D. 6 3 2 3 ) B.45° D.90°

1 C. 3 [答案] B

[解析] 以 A 为坐标原点建系,由法向量法,可得 cosθ=

6 . 3

5.已知 ABCD 是正方形,E 是 AB 的中点,将△DAE 和△CBE 分别沿 DE、CE 折起,

使 AE 与 BE 重合,A、B 两点重合后记为点 P,那么二面角 P-CD-E 的大小为( A.30° C.60° [答案] A B.45° D.90°

)

[解析] 取 CD 中点 F,由二面角定义知∠PFE 为其平面角,设 PE=a,则 EF=2a,∴ sinθ= a 1 = , 2a 2

∴二面角 P—CD—E 为 30° . 6.在边长为 a 的正三角形 ABC 中,AD⊥BC 于 D,沿 AD 折成二面角 B-AD-C 后, 1 BC= a,这时二面角 B-AD-C 的大小为( 2 A.30° C.60° [答案] C [解析] ∠BDC 就是二面角 B-AD-C 的平面角. 1 2 1 2 1 2 a+ a- a 4 4 BD2+DC2-BC2 4 1 ∵cos∠BDC= = = , 2BD· DC 1 1 2 2× a× a 2 2 ∴∠BDC=60° . 二、填空题 7.如图,二面角 α-l-β 的大小是 60° ,线段 AB?α.B∈l,AB 与 l 所成的角为 30° ,则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是________. ) B.45° D.90°

[答案]

3 4

[解析] 过点 A 作平面 β 的垂线,垂足为 C,在平面 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D, 连结 AD,由三垂线定理可知 AD⊥l,故∠ADC 为二面角 α-l-β 的平面角,为 60° ,又由 已知,∠ABD=30° ,连结 CB,则∠ABC 为 AB 与平面 β 所成的角.设 AD=2,则 AC= 3, CD=1,AB= AD AC 3 =4,∴sin∠ABC= = . sin30° AB 4

8.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2?3,则这个三棱锥的侧面和底面所成 二面角的度数为________. [答案] 60° S [解析] 设一个侧面面积为 S1,底面面积为 S,则这个侧面在底面上射影的面积为 ,由 3 1 S 3 S1 2 S 1 题意,得 = ,设侧面与底面所成二面角为 θ,则 cosθ= = = ,∴θ=60° . S 3 S1 3S1 2 三、解答题 9.如图,四棱锥 P—ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA.求二面角 A—BE—D 的 大小.

[解析] 以 B 为原点,以 BC、BA、BP 分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系. 设平面 EBD 的一个法向量为 n1=(x,y,1), → → 因为BE=(0,2,1),BD=(3,3,0), → ? ? BE=0 ?n1· ?2y+1=0, 由? 得? ?3x+3y=0. → ? ? BD=0 ?n1·

?x=2, 所以? 1 ?y=-2.
1 1 ? 于是 n1=? ?2,-2,1?.又因为平面 ABE 的一个法向量为 n2=(1,0,0), 所以,cos〈n1,n2〉= 1 6 = . 6 6 6 . 6

1

所以,二面角 A—BE—D 的大小为 arccos

一、选择题 1.二面角的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且

都垂直于 AB.已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17,则该二面角的大小为( A.150° C.60° [答案] C → → → → [解析] 由条件,知CA· AB=0,AB· BD=0, → → → → CD=CA+AB+BD. → → → → → → → → → → ∴|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA· AB+2AB· BD+2CA· BD → → =62+42+82+2×6×8cos〈CA,BD〉 1 → → =(2 17)2,∴cos〈CA,BD〉=- , 2 → → 即〈CA,BD〉=120° , ∴二面角的大小为 60° ,故选 C. B.45° D.120°

)

2.如图所示,已知点 P 为菱形 ABCD 外一点,且 PA⊥面 ABCD,PA=AD=AC,点 F 为 PC 中点,则二面角 C—BF—D 的正切值为( )

A. C.

3 6 3 3

B.

3 4

2 3 D. 3

[答案] D [解析] 如图所示,连接 BD,AC∩BD=O,连接 OF,以 O 为原点,OB,OC,OF 所 在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz,设 PA=AD=AC=1,则 BD= 3,

∴B?

1 1 3 3 → ? F?0,0,1?, 0, ,0?, 0, ,0? C? D(- , 0,0), 结合图形可知, OC=? ,0,0 , 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ?

3 1 3 1 → → → 且OC为面 BOF 的一个法向量,由BC=?- , ,0?,FB=( ,0,- ),可求得面 BCF 2 2 ? 2 2 ? 的一个法向量 n=(1, 3, 3).

21 2 7 → → ∴cos〈n,OC〉= ,sin〈n,OC〉= , 7 7 2 3 → ∴tan〈n,OC〉= . 3 3.如图所示,M,N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点,DE⊥AB 于 E,现将△ADE 沿 DE 折起,使二面角 A—DE—B 为 45° ,此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B,则 M,N 的 连线与 AE 所成的角的大小为( )

A.45° C.135° [答案] B

B.90° D.180°

[解析] 建系如图所示, 由题意知△ABE 为等腰直角三角形, 设 CD =1, 则 BE=1, AB=1, AE= 2, 设 BC=DE=2a, 则 E(0,0,0), A(1,0,1), 1 1 1 1 → → N(1,a,0),D(0,2a,0),M( ,a, ),所以MN=( ,0,- ),AE=(-1,0, 2 2 2 2 1 → → 1 → → -1),所以MN· AE=( ,0,- )· (-1,0,-1)=0.故AE⊥MN,从而 MN 与 AE 所成的角为 2 2 90° . 4.三棱锥 S-ABC 中, ∠SBA=∠SCA=90° ,△ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角 形,则以下结论中: ①异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90° ; ②直线 SB⊥平面 ABC; ③平面 SBC⊥平面 SAC; 1 ④点 C 到平面 SAB 的距离是 a. 2 其中正确结论的个数为( A.1 个 C.3 个 [答案] D [解析] 由题意知 AC⊥平面 SBC, 故 AC⊥SB, ∴SB⊥平面 ABC, 平面 SBC⊥平面 SAC, 故①②③正确;取 AB 的中点 E,连结 CE,可证得 CE⊥平面 SAB,故 CE 的长度即为 C 到 1 平面 SAB 的距离,其值为 a,故④正确. 2 二、填空题 5.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长都相等,E 为 BB1 的中点,则平面 AEC 与平面 ABC 的夹角为________. ) B .2 个 D.4 个

[答案]

π 6

→ [解析] 以 AC 中点为空间坐标系原点建系, 平面 ABC 的法向量 n1=(0,0,1), 由OA=(0, → -1,0),AE=( 3,1,1).n2=(-1,0, 3) ∴cos〈n1,n2〉= 3 π ,∴〈n1,n2〉= . 2 6

6. (2013· 龙岩高二检测)设平面 ABC 的一个法向量为 m=(1,1,0), 平面 ABD 的一个法向 量为 n=(1,0,-1),则二面角 C-AB-D 的大小为________. [答案] 60° 或 120° [解析] 由二面角定义得 cos<m,n>= ∴<m,n>=60° 或 120° . 即二面角 C-AB-D 的大小为 60° 或 120° . 7.已知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上,且 B1E=2EB,CF =2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于________. [答案] 2 3 1 1 = , 2· 2 2

[解析] 本小题考查的内容是二面角的求法,可采用几何法或向量法. 方法一:(几何法)如图,延长 FE 交 BC 于 P,则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线,连结 AC, w ∵PB=BC,∴∠CAP=90° .由三垂线定理,∴∠FAP=90° , ∴∠FAC 为二面角的平面角. 2 FC 3 2 ∴tan∠FAC= = = AC 3 2 方法二:(向量法)建立如图,令棱长为 3,

.

∴A(3,0,0),E(3,3,1),F(0,3,2), 平面 ABC 的法向量为(0,0,1), 设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z),

→ ? ? AE=0 ?n· ?3y+z=0 ∴? ,∴? , ?-3x+3y+2z=0 → ? ? AF=0 ?n· 令 x=1,∴z=3,y=-1,∴n=(1,-1,3), 3 3 2 2 令平面夹角为 θ,∴cosθ= = ,sinθ= ,∴tanθ= . 3 1×|n| 11 11 三、解答题 8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAB⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的 正方形,△PAB 为等边三角形.求二面角 B-AC-P 的大小.

[解析] 建立如图的空间直角坐标系 O-xyz, 则 A(-1,0,0), B(1,0,0), P(0,0, 3), C(1,2,0).

→ → → ∴PA=(-1,0,- 3),PC=(1,2,- 3),OP=(0,0, 3),设 n=(x,y,z)为平面 PAC → ? PA=0, ?n· ?-x- 3z=0, 的一个法向量,则? ∴? → ?x+2y- 3z=0, ? PC=0, ? n· 令 z=1,得 x=- 3,y= 3, 得 n=(- 3, 3,1). → 又∵OP是平面 ABCD 的一个法向量,设二面角 B-AC-P 的大小为 θ,且为锐角,则 → n· OP 3 7 → cosθ=|cos<n,OP>|=| |= = , → 7× 3 7 |n|· |OP| ∴二面角 P-AC-B 的大小约为 arccos 7 . 7

9.如图,在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点 D 是 BC 的中点.

(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成夹角的正弦值. [解析] (1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0), → → B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以A1B=(2,0,-4),C1D=(1,-1, -4).

→ → A1B· C1D 18 3 10 → → 因为 cos〈A1B,C1D〉= = = , 10 → → 20× 18 |A1B||C1D| 3 10 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 . 10 (2)设平面 ADC1 的法向量为 n1=(x,y,z), → → 因为AD=(1,1,0),AC1=(0,2,4), → → 所以 n1· AD=0,n1· AC1=0, 即 x+y=0 且 y+2z=0,取 z=1,得 x=2,y=-2, 所以,n1=(2,-2,1)是平面 ADC1 的一个法向量. 取平面 AA1B 的一个法向量为 n2=(0,1,0), 设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 θ. 由|cosθ|= |n1· n2 | 2 2 5 = = ,得 sinθ= . |n1||n2| 3 9× 1 3

因此,平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为

5 . 3


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