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2014届高考数学一轮1.3.8正弦定理、余弦定理应用举例 文


1.3.8 正弦定理、余弦定理应用举例 文
一、选择题 1.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好 是 3 km,那么 x 的值为( ) A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.3

解析:如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3,AC= 3,∠A BC=30°, 由正弦定理

= , sin∠CAB sin30° 得∠CAB=60°或 120°, 当∠CAB=60°时,∠ACB=90°,AB=2 3; 当∠CAB=120°时,∠ACB=30°,AB= 3,故选 C. 答案:C 2.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续 航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°方向,另一灯塔在船的南偏西 75°方向,则 这只船的速度是每小时( ) A.5 海里 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里 解析:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD= 5 CA=10,在直角三角形 ABC 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是 =10(海里/小时). 0.5

BC

AC

答案:C 3.如图所 示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的 北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )

A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km 2 2 2 解析:利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°,在△ABC 中,由余弦定理得 AB =A C +BC ? 1? 2 2 2 -2AC·BCcos120°=2a -2a ×?- ?=3a ,∴AB= 3a. ? 2?

1

答案:B 4. 有一长为 1 千米的斜坡, 它的倾斜角为 20°, 现要将倾斜角改为 10°, 则斜坡长为( ) A.1 千米 B.2sin10°千米 C.2cos10°千米 D.cos20°千米 答案:C 5.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°,与灯塔相距 20 海里,随 后 货轮按北偏西 30°的方向航行 30 分钟后,又测得它在货轮的东北方向,则货轮的速度为 ( )

A.20( 2+ 6)海里/小时 B.20( 6- 2)海里/小时 C.20( 3+ 6)海里/小时 D.20( 6- 3)海里/小时 答案:B 6.(2013·重庆冲刺)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水 柱的高度, 某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°, 沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点的测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( ) A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m 答案:A 二、填空题 7.(2013·潍坊质检)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km,B 船 在灯塔 C 北偏西 40°处,、 两船间的距离为 3 km, B 船到灯塔 C 的距离为__________km. A B 则 答案: 6-1

8.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且 小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走 到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该形的半径为____ ______米. 答案:50 7 9.(2013·沧州联考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度 15°的看台的 某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°, 第一排和最后一排的距离为 10 6米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国 歌长度约为 50 秒,升旗手应以__________(米/秒)的速度匀速升旗.

2

答案:0.6 三、解答题 10.甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60°方向的 B 处,两船相距 a 海里,乙船正向北 行驶,若甲船速度是乙船速度的 3倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙 船,此时乙船行驶了多少海里?

解析:如图,设甲船取北偏东 θ 角去追赶乙,在 C 点处追上,若乙船行驶的速度是 v,则 甲船行驶的速度是 3v,由于甲、乙两船到 C 的时间相等.都为 t,则 BC=vt,AC= 3vt, ∠ABC=120°. 2 2 2 由余弦定理可知 AC =AB +BC -2AB·BCcos120°, 2 2 2 2 2 即 3v t =a +v t +vat, ∴2v t -vat-a =0,∴t1= ,t2=- (舍去), v 2v ∴BC=a,∴∠CAB=30°,∴θ =60°-∠CAB=30°, ∴甲船应取北偏东 30°的方向去追乙船,在乙船行驶 a 海里处相遇 .
2 2 2

a

a

11.如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AOC,小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处,小区 里有两条笔直的小路 AD、DC,且拐弯处的转角为 120°,已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到了 A 用了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米). 解析:方法一:设该扇形的半径为 r 米.由题意,得 CD=500(米),DA=300(米),∠CDO=60°. 2 2 2 2 2 在△ CDO 中, CD + OD -2·CD·OD·cos60°= OC ,即 500 +(r -300) -2×500×(r - 1 2 300)× =r , 2 4 900 解得 r= ≈445(米). 11 答:该扇形的半径 OA 的长约为 445 米.

方法二:连结 AC,作 OH⊥AC,交 AC 于 H.

3

由题意,得 CD=500(米),AD=300(米),∠CDA=120°. 2 2 2 在△ACD 中,AC =CD +AD -2·CD·AD·cos120° 1 2 2 2 =500 +300 +2×500 ×300× =700 . 2 ∴AC=700(米), AC2+AD2-CD2 11 cos∠CAD= = . 2·AC·AD 14 11 在直角△HAO 中,AH=350(米),cos∠HAO= , 14 ∴OA=

AH 4 900 = ≈445(米). cos∠HAO 11

答:该扇形的半径 OA 的长约为 44 5 米. 12.某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位 于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时 与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相 遇,试确定小艇航行 速度的最小值; (3)是否存在 v,使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮 船相遇?若存在,试确定 v 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解析:(1)设小艇与轮船在 B 处相遇,相遇时小艇的航行距离为 S 海里.如图所 示,在△AOB 中应用余弦定理得,

S= 900t2+400-2·30t·20·cos? 90°-30°? 2 = 900t -600t+400


? 1?2 900?t- ? +300. ? 3?

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3. 3 1 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. 2 2 2 (2)由题意可得:(vt) =20 +(30t) -2·20·30t·cos(90°-30°),化简得:

v2=

400 600 ?1 3?2 - +900=400? - ? +675. t2 t ?t 4?

1 1 1 由于 0<t≤ ,即 ≥2,所以当 =2 时,v 取得最小值 10 13,即小艇航行速度的最小值为 2 t t 10 13海里/小时.

4

400 600 1 2 (3)由(2)知 v = 2 - +900,设 =u(u>0),

t

t

t

于是 400u -600u+900-v =0.(*) 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,
? ?600 -1600? 即:? 2 ? ?900-v >0
2

2

2

900-v ?

2

>0



解得 15 3<v<30. 所以 v 的取值范围是(15 3,30).

5


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