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2017


4 用向量讨论垂直与平行(一) 学习目标 1.会用待定系数法求平面的法向量.2.能用向量法证明直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的平行问题. 知识点一 空间中平行关系的向量表示 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 α ,β 的法向量分别为 μ ,v,则 线线平行 线面平行 面面平行 l∥m?________?a=kb(k∈R) l∥α ?a⊥μ ?__________ α ∥β ?μ ∥v?____________ 知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设 v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分别是直线 l1,l2 的方向向量.若直线 l1∥l2, 则向量 v1,v2 应满足什么关系. (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量, 则这两向量满足哪些条件可说明直线与 平面平行? (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么? 梳理 利用空间向量解决平行问题时,第一,建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;第二,通过向量的运 算,研究平行问题;第三,把向量问题再转化成相应的立体几何问题,从而得出结论. 类型一 求直线的方向向量、平面的法向量 例 1 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.AB= AP=1,AD= 3,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面 ACE 的一个法向量. 引申探究 若本例条件不变,试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量. 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为 n=(x,y,z). → → (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量AB,AC. (3)列方程组:由? → ? ?n?AB=0, → ? ?n?AC=0, 列出方程组. → ? ?n?AB=0, (4)解方程组:? → ? ?n?AC=0. (5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论:得到平面的一个法向量. 跟踪训练 1 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.平面 PAB⊥平面 ABCD,△PAB 是边长为 1 的正三角形,ABCD 是菱形.∠ABC=60°,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点,试建 立恰当的空间直角坐标系,求平面 DEF 的法向量. 类型二 利用空间向量证明平行问题 例 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点,求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F. 反思与感悟 利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和 平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题. 跟踪训练 2 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45°,底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC= AD=1,问在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE∥平面 PAB?若存在,求出 E 点的位置;若不存在,请说明理由. 1 2 1.若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量为( A.(1,2,3) C.(2,1,3) B.(1,3,2) D.(3,2,1) ) 2.已知直线 l1 的方向向量为 a=(2, -3,5), 直线 l2 的方向向量为 b=(

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